[Luis Fuentes]

Hola

¿No sobran tres ceros?

¡Si!. Lo he corregido. Gracias.

Saludos.

[Norges Grey Pérez]

Hola, les agradezco a todos por el interés mostrado en el hilo.
Felicitaciones a los frecuentes y a los nuevos participantes.

Sí, creo que a la hora de copiar puse mal 1 cero.
Gracias a Luis y ani-pascual por la corrección.



A continuación voy a introducir al hilo dos nuevas versiones de Diagonalización cuadrática en llenados espirales.

Existen distintas formas de rellenar un cuadrado \( n \times n \) con los números consecutivos del \( 1 \) al \( n^2 \). 
Dos métodos notables son el **llenado espiral exterior-interior** y el **interior-exterior**. 
En ambos se define la **diagonalización cuadrática** como la suma de los elementos en la diagonal principal: posiciones \( (i,i) \), para \( i = 1, 2, \dots, n \).

---

### 1. Espiral exterior-interior

Comienza en la esquina superior izquierda (\( a_{11} \)). 
Avanza hacia la derecha, luego abajo, luego a la izquierda, luego arriba, formando capas concéntricas hacia el centro.

#### Ejemplo: \( n = 3 \)

```
1  2  3
8  9  4
7  6  5
```

- Secuencia: 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7 → 8 → 9
- Diagonal principal: \( a_{11}=1 \), \( a_{22}=9 \), \( a_{33}=5 \)
- Suma: \( D_{\text{esp-out}}(3) = 1 + 9 + 5 = 15 \)

Este patrón continúa para cualquier \( n \), cerrando anillos hacia el centro.

---

### 2. Espiral interior-exterior

Comienza en el centro del cuadrado (si \( n \) impar). 
Se expande hacia afuera mediante giros horarios: derecha, abajo, izquierda, arriba, etc., aumentando progresivamente la longitud de cada segmento.

#### Ejemplo: \( n = 3 \)

```
7  8  9
6  1  2
5  4  3
```

- El número \( 1 \) está en el centro
- Se avanza a la derecha: \( 2 \)
- Luego gira hacia abajo: \( 3 \), izquierda: \( 4,5 \), arriba: \( 6,7 \), derecha: \( 8,9 \)
- Diagonal principal: \( a_{11}=7 \), \( a_{22}=1 \), \( a_{33}=3 \)
- Suma: \( D_{\text{esp-in}}(3) = 7 + 1 + 3 = 11 \)

Ejercicio

Sea \( D_{\text{esp-out}}(n) \) la diagonalización cuadrática de 2 cuadrados separados \( n \times n \) cada uno con llenado en espiral diferente (exterior-interior/ interior-exterior)

Calcule, estime o analice el comportamiento asintótico de:
$$
D_{\text{esp-out}}(1\,000\,000)
$$

Dado el tamaño, no se puede calcular a mano, por lo que se requiere  una estrategia viable para poder realizar estos ejercicios.

Espero sea del agrado de todos.


nota: No se si debí subirlo a otro hilo.

Gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

### 1. Espiral exterior-interior

Comienza en la esquina superior izquierda (\( a_{11} \)). 
Avanza hacia la derecha, luego abajo, luego a la izquierda, luego arriba, formando capas concéntricas hacia el centro.

#### Ejemplo: \( n = 3 \)

```
1  2  3
8  9  4
7  6  5
```

- Secuencia: 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7 → 8 → 9
- Diagonal principal: \( a_{11}=1 \), \( a_{22}=9 \), \( a_{33}=5 \)
- Suma: \( D_{\text{esp-out}}(3) = 1 + 9 + 5 = 15 \)

Este patrón continúa para cualquier \( n \), cerrando anillos hacia el centro.

Si llamamos \( d_i \) a los términos de la diagonal antes de sobrepasar el medio (\( 1<i\leq n/2 \)) se tiene que:

\( d_i=d_{i-1}+4(n-2*i+1) \) con \( d_1=1 \).

Por tanto:

\( d_i=1+\displaystyle\sum_{k=1}^{i-1}{}4(n-2*k+1)=-3 + 4 n (i-1) + 8 i - 4 i^2 \)

Ahora el término simétrico de la diagonal respecto al centro se obtiene sumando dos veces el lado del cuadrado que las tiene por esquinas menos uno, es decir;

\( d_{n+1-i}=d_i+2(n-(2i-1)) \) para \( 1\leq i\leq n/2 \)

Entonces:

- Si \( n \) es par, la suma de los elementos de la diagonal queda:

\( D(n)=\displaystyle\sum_{i=1}^n/2{}d_i+2(n-(2i-1))=\ldots=\dfrac{1}{6} n (2 - 3 n + 4 n^2) \)

- Si \( n \) es impar

\( D(n)=d_{(n+1)/2}+\displaystyle\sum_{i=1}^(n-1)/2{}d_i+2(n-(2i-1))=\ldots=\dfrac{1}{6} (3 + 2 n - 3 n^2 + 4 n^3) \)

Saludos.

[Richard R Richard]

Tratando de pensar mi solución , desviando la vista de lo hecho por Luis, pregunto, ¿Cuál es el punto de partida para la espiral interior exterior  cuando $$n$$ es par?  Pues los ejemplos son para espirales de $$n$$ impar.  Hay 4 posibles y dos sentidos de circulación . Supongo que es $$n/2,n/2$$ sobre la diagonal, pero si es otro casillero por favor comentar, de esa manera se puede hacer la continuación a derecha y luego hacia abajo.

[Norges Grey Pérez]

!! Impresionante Luis !! 👏👏👏👏👏👏👏👏
No te tomó casi tiempo 😱😱😱😱😱.

Richard:
Te muestro en esta imagen la forma en que lo he pensado yo.
La diagonalización siempre debería ser aquella que tome al 1, de esquina a esquina


Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Te muestro en esta imagen la forma en que lo he pensado yo.
La diagonalización siempre debería ser aquella que tome al 1, de esquina a esquina

En este caso si numeramos los términos de la diagonal a medida que vamos añadiendo capas exteriores:

\( d_1=1,\quad d_2=3,\quad d_3=7,\quad d_4=13,\quad d_5=21,\ldots \)

Es fácil ver que \( d_{n+1}=d_n+2n \).

Por tanto:

\( d_n=1+2+4+6+\ldots+2(n-1)=2+4+6+\ldots +2(n-1)+1=n(n-1)+1 \)

Y la suma es:

\( D_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n{}d_k=\displaystyle\sum_{k=1}^n{}k(k-1)+1=\dfrac{n^3+2n}{3} \)

Saludos.

[anartesi]

Hola, estuve pensando el primer caso impar, fui sumando cuadrados y para varios impares conseguí polinomios cuadráticos. Querría pensar que sería posible a partir de ellos llegar al polinomio que indicó Luis Fuentes en cada caso, pero no se me ocurre cómo. De todas formas fue entretenido, parecía que estaba haciendo un sudoku.

[Norges Grey Pérez]

Hola.

Felicitaciones Luis 👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏.
Nuevamente has dado con la fórmula correcta.
Todas han sido verificadas por la IA Qwen y verdaderamente son impecables.

Saludos.

[feriva]

Hola, Norges, buenas tardes.

Esta suma total la llamo **diagonalización cuadrática**

Aunque no tiene importancia, eso se llama traza; el nombre que le has puesto puede dar lugar a que la gente piense (al ver el título en la portada) que pueda ser un problema rutinario de universidad en vez de un desafío. No es una confusión que tenga importancia, pero por mencionarlo.

...

Se aprecia que los elementos de la traza (llenando la matriz de números naturales ordenados en las filas) van así:

\( 1 \)

\( 2+n \)

\( 3+2n \)

\( 4+3n \)

\( 5+4n \)

...

\( (n-1)+(n-2)n \)

\( n+(n-1)n \)

Entonces podemos considerar dos sumas; la suma de los naturales hasta n-1, que por la famosa fórmula de la progresión aritmética es:

\( \dfrac{(n-1)n}{2} \)

y la otra suma hasta (n-2)n; que va así:

1n+ 2n+ 3n+4n+...+(n-2)n

Es decir, tenemos el factor común n que podemos sacar fuera

\( n(1+2+3+...+n-2) \)

Usando una vez más la famosa fórmula de antes, tienes

\( n(\dfrac{(n-2)(n-1)}{2}) \)

Ya ahora sumamos las dos sumas

\( \dfrac{(n-1)n}{2}+n(\dfrac{(n-2)(n-1)}{2}) \)

sacamos factor común \( \dfrac{n}{2}(n-1) \) :

\( \dfrac{n}{2}(n-1)[1+(n-2)] \).

Ahora, como \( 1+n-2=n-1 \), lo simplificamos

\( \dfrac{n}{2}(n-1)(n-1) \).

es decir

\( \dfrac{n}{2}(n-1)^{2}= \)

\( \dfrac{n}{2}(n^{2}-2n+1)= \)

\( \dfrac{n^{3}-2n^{2}+n}{2} \)

Y esa es la fórmula de la suma hasta el penúltimo término.

Ay, perdón, que pedías el valor del penúltimo elemento, no la suma hasta el penúltimo elemento. Bueno, pues ya tienes un problema distinto

Saludos.

[Norges Grey Pérez]

Hola ferriva.
Muchas gracias por la docencia, siempre sacando tu don del profesorado.
No sabía del nombre original, pero la verdad que me gusta más el nombre que le he puesto, siento como que se relaciona más.
Pero por supuesto, si su nombre es Traza entonces en lo adelante así hay que llamarle.

Por otra parte, gracias por subir tu solución al nuevo desafío que creaste del original.
Muy interesante.

Saludos.