[Norges Grey Pérez]

Hola.
!! Un feliz año nuevo para todos !!

Me despido en este año con una nueva conjetura.
Espero que al menos llegue a un lustro sin ser negada.

Conjetura:

En un tablero imaginario se escriben de manera horizontal,  concatenados y sin espacios todos los naturales; en la fila inferior se vuelven a escribir de la misma manera pero corridos un espacio hacia la izquierda. La filas concatenadas y desplazadas a un espacio hacia la izquierda respecto a la fila superior se repiten infinitamente.
Conjeturamos que en el tablero aparecerán al menos una vez todos los primos en direcciones no horizontales.

Formulación

Sea \( S = 1234567891011121314151617181920212223\ldots \) la concatenación infinita de todos los números naturales, formada al escribir los enteros positivos en orden y sin espacios.

Se define un tablero infinito de dimensión \( \mathbb{N}^+ \times \mathbb{N}^+ \), donde:
- La fila 1 es la secuencia \( S \),
- La fila 2 es \( S \) desplazada un dígito hacia la izquierda,
- La fila 3 es \( S \) desplazada dos dígitos hacia la izquierda,
- En general, la fila \( k \) comienza con el \( k \)-ésimo dígito de \( S \).

Este proceso continúa indefinidamente, generando un tablero infinito cuya estructura presenta un borde izquierdo diagonal descendente.

Lo que expresa la conjetura:

Todo número primo aparece al menos una vez como subsecuencia consecutiva de dígitos en el tablero, utilizando exclusivamente direcciones no horizontales.

Las direcciones permitidas son:
- Vertical (↓, ↑)
- Diagonal (↘, ↗, ↙, ↖)
- Transversal (caminos finitos sobre celdas adyacentes, incluyendo cambios de dirección)
- Circular (recorridos cerrados sobre celdas vecinas)

Quedan excluidas todas las lecturas horizontales (→ o ←).

Esta conjetura propone que, más allá de la aparición trivial de primos en la dirección horizontal (garantizada por la normalidad de la constante de Champernowne), estos también emergen en direcciones no triviales, gracias a la estructura infinita y auto-simil parcial del tablero.

Su validez dependería de propiedades combinatorias profundas sobre la distribución de patrones digitales en progresiones desplazadas.

Autor: [ Dr Norges Grey Pérez] 
Fecha: 31 de diciembre de 2025

[feriva]

Esta conjetura propone que, más allá de la aparición trivial de primos en la dirección horizontal (garantizada por la normalidad de la constante de Champernowne)...

Hola,, Norges, Feliz Año.

No sé si entiendo, pero fíjate en que 1, 12, 123, 1234. 12345... 12345678910... no son primos ni se se encuentran aunque se siga. De hecho, yo conjeturé que no se encontrarían en un hilo de este foro (Luis me dijo que ya existía la conjetura. ¡Quién si no podría ser! )

Feliz año en general.

[Luis Fuentes]

Hola

 Para feriva:

No sé si entiendo, pero fíjate en que 1, 12, 123, 1234. 12345... 12345678910... no son primos ni se se encuentran aunque se siga. De hecho, yo conjeturé que no se encontrarían en un hilo de este foro (Luis me dijo que ya existía la conjetura. ¡Quién si no podría ser! )

No sé a que conjetura hecha por ti te refieres, pero desde luego lo que dices no tiene nada que ver con lo que está expresando Norges. Él no dice que las cifras de los números naturales consecutivos formen un primo empezando desde 1. Nada de eso.

Lo que dice es que si colocas los números naturales en una fila uno a continuación de otro; y vas añadiendo filas desplazando a la izquierda una la anterior. Cualquier primo aparecerá en vertical (o alguna otra dirección horizontal) en esa tabla. Por ejemplo si represetnamos un trozo:

1234567891011121314151617181920...
2345678910111213141516171819202...
3456789101112131415161718192021...
4567891011121314151617181920212...
5678910111213141516171819202122...
6789101112131415161718192021222...

Pues por ejemplo el 17 (que es primo) aparece en vertical en muchos sitios (lo he marcado en rojo uno en la primera y segunda fila); el conjetura que cualquier número primo va a aparecer de esa forma (en vertical) en esa tabla.

Para Norges:

Tu conjetura es trivialmente cierta.

Dado al ir bajando en cada fila esta se obtuvo desplazando la anterior una posición a la izquierda; desde cada casilla el número que puede leerse hacia abajo es el mismo que podría leerse horizontalmente hacia la derecha. Otro ejemplo en rojo

1234567891011121314151617181920...
2345678910111213141516171819202...
3456789101112131415161718192021...
4567891011121314151617181920212...
5678910111213141516171819202122...
6789101112131415161718192021222...

Por tanto cualquier número primo aparece obviamente en la tabla. Basta ir en la primera fila a la posición donde aparece su primera cifra y desde ahí se encuentra igual leído hacia abajo. De hecho eso no sólo ocurre para los primos sino para cualquier otro número.

Y más aún; cada número aparece infinitas veces en vertical. Basta tener en cuenta que cualquier número, por ejemplo y por decir algo, 7824 tiene infinitos números con esa misma terminación. Por ejemplo:

\( 17824,107284,1007284,10007284,\ldots  \)

Por tanto 7824 aparece infinitas veces en cada fila y leyendo desde el 7 en vertical hacia abajo, aparece cada una de esas veces.

De las misma forma se puede ver que cualquier número aparece infinitas veces en diagonal a la derecha y bajando; basta tener en cuenta que una lectura en diagonal y a la derecha equivale a tomar cifras en horizontal saltándose una:

1234567891011121314151617181920...
2345678910111213141516171819202...
3456789101112131415161718192021...
4567891011121314151617181920212...
5678910111213141516171819202122...
6789101112131415161718192021222...

Por tanto para conseguir cualquier número en esa dirección diagonal, basta buscar uno en la primera fila cuyas cifras alternas coincidan con el buscado. Por ejemplo rellenando con 1s el resto. Sí queremos el 2338 buscamos en la primera fila 2131318 y leyendo en diagonal desde el 2 aparecerá el 2338.

En diagonal hacia la izquierda sólo se obtienen números con todas las cifras iguales.

Saludos.

[feriva]

Hola

 Para feriva:

No sé si entiendo, pero fíjate en que 1, 12, 123, 1234. 12345... 12345678910... no son primos ni se se encuentran aunque se siga. De hecho, yo conjeturé que no se encontrarían en un hilo de este foro (Luis me dijo que ya existía la conjetura. ¡Quién si no podría ser! )

No sé a que conjetura hecha por ti te refieres

Hola, Luis, Feliz Año.

La conjetura era, si no recuerdo mal (no la encuentro, pero está en un hilo mío, será fácil de buscar) que si encadenamos los números naturales así

1

12

123

1234

...

12345678910

1234567891011

etc.

todos son compuestos.

Y, si tampoco recuerdo mal, me dijiste que existía y me pusiste un enlace, pero como estoy tan viejo... pues lo mismo sí recuerdo mal.

Gracias, Luis.

[Luis Fuentes]

Hola

La conjetura era, si no recuerdo mal (no la encuentro, pero está en un hilo mío, será fácil de buscar) que si encadenamos los números naturales así

1

12

123

1234

...

12345678910

1234567891011

etc.

todos son compuestos.

Y, si tampoco recuerdo mal, me dijiste que existía y me pusiste un enlace, pero como estoy tan viejo... pues lo mismo sí recuerdo mal.

No encuentro el hilo. Pero si, es algo sobre lo que se ha trabajado. Un tal primo se llamaría primo de Smarandache. Y no se ha encontrado ninguno. Por ahora se ha explorado hasta concatenar el primer millón de naturales.

Mira por aquí:

https://mathworld.wolfram.com/SmarandacheNumber.html

https://mathworld.wolfram.com/SmarandachePrime.html

Saludos.

[feriva]

Hola

La conjetura era, si no recuerdo mal (no la encuentro, pero está en un hilo mío, será fácil de buscar) que si encadenamos los números naturales así

1

12

123

1234

...

12345678910

1234567891011

etc.

todos son compuestos.

Y, si tampoco recuerdo mal, me dijiste que existía y me pusiste un enlace, pero como estoy tan viejo... pues lo mismo sí recuerdo mal.

No encuentro el hilo. Pero si, es algo sobre lo que se ha trabajado. Un tal primo se llamaría primo de Smarandache. Y no se ha encontrado ninguno. Por ahora se ha explorado hasta concatenar el primer millón de naturales.

Mira por aquí:

https://mathworld.wolfram.com/SmarandacheNumber.html

https://mathworld.wolfram.com/SmarandachePrime.html

Saludos.

Muchas gracias, Luis.

Curiosamente, en base tres, por ejemplo, el 12 es primo, no se cumple la conjetura.

Buenas noches.

[Norges Grey Pérez]

Hola ferriva.

Comenzamos esta conversación en un año y la continuamos en otro 😱😱😱😱😀😀😀😀.

No, al parecer no has comprendido bien la conjetura.
Lo que plantea es: que en un tablero infinito formado por desplazamientos sucesivos de  S, cada número primo puede encontrarse al menos una vez como subsecuencia consecutiva, pero solo mediante lecturas no horizontales (vertical, diagonal, transversal, circular, etc.).
Es decir, no se trata de si 123...n es primo, sino de si, por ejemplo, el número 13 puede formarse bajando en diagonal o siguiendo un camino entre celdas adyacentes, sin usar la horizontal.

Mira, he hecho un pequeño gráfico para que de forma gráfica tengas una mejor idea.
Solo he señalado algunos de los primos que se logran identificar.



Saludos

[feriva]

Hola ferriva.

Comenzamos esta conversación en un año y la continuamos en otro 😱😱😱😱😀😀😀😀.

No, al parecer no has comprendido bien la conjetura.
Lo que plantea es: que en un tablero infinito formado por desplazamientos sucesivos de  S, cada número primo puede encontrarse al menos una vez como subsecuencia consecutiva, pero solo mediante lecturas no horizontales (vertical, diagonal, transversal, circular, etc.).
Es decir, no se trata de si 123...n es primo, sino de si, por ejemplo, el número 13 puede formarse bajando en diagonal o siguiendo un camino entre celdas adyacentes, sin usar la horizontal.

Mira, he hecho un pequeño gráfico para que de forma gráfica tengas una mejor idea.
Solo he señalado algunos de los primos que se logran identificar.


Saludos

Gracias, Norges. Sí, ya veo, pensé que era más complicada, sin tomar fragmentos de fila o diagonal, etc.

Feliz año.

Buenas noches.

[Norges Grey Pérez]

Hola Luis.
Feliz inicio de año para ti también. Gracias por tu intervención, gracias por dedicarle un tiempo a la conjetura.
Mientras exploraba el tablero inicialmente observé algo parecido y llegué a pensar que sería tribial, pero luego me percaté que ni en vertical, ni horizontal podrían aparecer una secuencia tal, y te demostraré de manera sencilla el error fundamental en tu razonamiento: al parecer piensas que la correspondencia entre lectura horizontal y vertical se mantiene indefinidamente.
Pero esta solo existe mientras los números ocupen una sola cifra. A partir de 10 cada número ocupa más de 1 espacio,  lo que rompe cualquier sincronización regular entre dichas filas. ( en tu tablero solo usas 6 filas, pero si usaras 10 filas te percatarías que cuando en la fila 9 coincide el 9 que viene en una secuencia vertical desde el 1; entonces en la fila 10 debajo de ese 9 no podría ir el 10 sino solo 1, porque hay que recordar que se está leyendo verticalmente, de arriba hacia abajo y solo corresponde un espacio y este solo lo puede ocupar el 1. Esto ocurre también en la lectura diagonal, etc. Asi, cuando se trata de números un poco grandes, no es cierto que leer hacia abajo reproduzca lo que se lee hacia la derecha. La longitud variable de los números introduce una desalineación creciente que destruye cualquier patrón entre direcciones.

De esta manera tu conclusión de que todos los números (y primos) aparecen trivialmente en vertical o diagonal.

Gracias.



Para ferriva:

No se si aún tienes alguna duda, pero no se toman porciones de filas, solo un # por fila.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Pero esta solo existe mientras los números ocupen una sola cifra. A partir de 10 cada número ocupa más de 1 espacio,  lo que rompe cualquier sincronización regular entre dichas filas. ( en tu tablero solo usas 6 filas, pero si usaras 10 filas te percatarías que cuando en la fila 9 coincide el 9 que viene en una secuencia vertical desde el 1; entonces en la fila 10 debajo de ese 9 no podría ir el 10 sino solo 1, porque hay que recordar que se está leyendo verticalmente, de arriba hacia abajo y solo corresponde un espacio y este solo lo puede ocupar el 1.

 No. No es cierto lo que dices, al menos tal como has descrito tu tabla. Tu pones:

Formulación

Sea \( S = 1234567891011121314151617181920212223\ldots \) la concatenación infinita de todos los números naturales, formada al escribir los enteros positivos en orden y sin espacios.

Se define un tablero infinito de dimensión \( \mathbb{N}^+ \times \mathbb{N}^+ \), donde:
- La fila 1 es la secuencia \( S \),
- La fila 2 es \( S \) desplazada un dígito hacia la izquierda,
- La fila 3 es \( S \) desplazada dos dígitos hacia la izquierda,
- En general, la fila \( k \) comienza con el \( k \)-ésimo dígito de \( S \).

 Un dígito siempre ocupa una casilla; lo que dices es que cada fila se desplaza un digito hacia la izquierda y esto es independiente de si los dígitos forman parte de un numero de 2,3  o 57 cifras.

 Es decir la tabla que tu mismo describes es:

1234567891011121314151617181920...
2345678910111213141516171819202...
3456789101112131415161718192021...
4567891011121314151617181920212...
5678910111213141516171819202122...
6789101112131415161718192021222...
7891011121314151617181920212223...
8910111213141516171819202122232...
9101112131415161718192021222324...
1011121314151617181920212223242...
0111213141516171819202122232425...
1112131415161718192021222324252...
1121314151617181920212223242526...
1213141516171819202122232425262...


 En rojo he marcado la fila 10 y sucesivas y según tu propio enunciado dice, se sigue desplazando un DÍGITO hacia la izquierda o equivalente la fila \( k \) comienza con el \( k \)-ésimo dígito de la fila \( 1 \).

 Si no es esa la tabla que quieres construir indica entonces exactamente a que tabla de refieres; explica correctamente tu idea.

 Quizá lo que quisieses decir es que la fila \( k \) comienza con el NÚMERO \( k \) que es distinto. Si es así la tabla sería:

1234567891011121314151617181920...
2345678910111213141516171819202...
3456789101112131415161718192021...
4567891011121314151617181920212...
5678910111213141516171819202122...
6789101112131415161718192021222...
7891011121314151617181920212223...
8910111213141516171819202122232...
9101112131415161718192021222324...
1011121314151617181920212223242...
1112131415161718192021222324252...
1213141516171819202122232425262...
1314151617181920212223242526272...
1415161718192021222324252627282...


 Antes de explorar como se comportaría tu conjetura si fuese de esta forma, indica a cuál de las dos tablas te refieres. Si es a la segunda la descripción que habías planteado está mal hecho.

AÑADIDO:

 Si efectivamente se tratase de esta segunda conjetura, igualmente puede conseguirse cualquier número natural en la dirección diagonal hacia la derecha.

 Dado un número \( M=a_na_{n-1}\ldots a_1 \) de \( n \) cifras basta añadirle detrás tantos ceros como cifras tiene \( n \):

\( C=a_na_{n-1}\ldots a_100\ldots 0 \)

 Entonces la fila \( C \) comienza con \( a_na_{n-1}\ldots a_100\ldots 0 \), la fila \( C+1 \) con  \( a_na_{n-1}\ldots a_100\ldots 1 \),  la fila \( C+2 \) con  \( a_na_{n-1}\ldots a_100\ldots 2 \), y así sucesivamente

 \( a_na_{n-1}\ldots a_100\ldots 0\ldots \)
 \( a_na_{n-1}\ldots a_100\ldots 1\ldots \)
 \( a_na_{n-1}\ldots a_100\ldots 2\ldots \)
 \( a_na_{n-1}\ldots a_100\ldots 3\ldots \)
 \( a_na_{n-1}\ldots a_100\ldots 4\ldots \)

 y así leyendo en diagonal hacia la derecha y hacia abajo aparece precisamente el número \( M \) buscado.

 Por ejemplo para \( M=7682 \) sería \( C=76820 \) y la tabla a partir de la fila \( C \) sería:

76820768217682276823768247682576826...
76821768227682376824768257682676827...
76822768217682476825768267682776828...
76823768217682576826768277682876829...
76824768217682676827768287682976830...
76825768217682776828768297683076831...

Saludos.