[Chorite]

Hola, tengo la siguiente demostración, ¿me dan una mano?

Sea \[  f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \] una función continua tal que \[ f(\mathbb{R}) \subseteq \mathbb{Z}. \] Entonces f es constante.

Lo único que se me ocurre para comenzar es utilizar la siguiente propiedad, pero no sé como continuar:
si \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) es continua y \( D\subseteq{R} \) es arco conexa, entonces \( f(D) \) es arco conexa.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, tengo la siguiente demostración, ¿me dan una mano?

Sea \[  f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \] una función continua tal que \[ f(\mathbb{R}) \subseteq \mathbb{Z}. \] Entonces f es constante.

Lo único que se me ocurre para comenzar es utilizar la siguiente propiedad, pero no sé como continuar:
si \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) es continua y \( D\subseteq{R} \) es arco conexa, entonces \( f(D) \) es arco conexa.

 ¿Por qué "tiras" por la arco conexión en lugar de simplemente por la conexión?.

 Lo lógico es:

- \( \Bbb R \) es conexo.
- Una función continua lleva conexos en conexos.
- Entonces \( f(\Bbb R) \) es un conexo de \( \Bbb Z \).
- Los únicos conexos de \( \Bbb Z \) son los conjuntos formados por un sólo punto.
- Por tanto \( f(\Bbb R) \) es un punto y así la función es constante.

No sé si tienes demostradas las propiedades que he citado; en caso contrario dilo e indica que cosas si has dado y en las que te puedes apoyar.

Saludos.

P.D. Algún hilo relacionado:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=110684.0

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=112084.0

[Richard R Richard]

Hola,

Spoiler

cuando Chorite se halle satisfecho  en su hilo, podrías aclararme en que falla  la siguiente  función


$$f(x)=\left\{\begin{aligned}\dfrac{x}{|x|} &\text{ si }& x\in \Bbb R\neg 0\\ 0 &\text{ si }&x=0\end{aligned}\right.$$


Resumo es un intento  de que la función tenga más de un valor constante  pero al mismo tiempo  que no sea único la imagen no es constante,  por lo que seria un contraejemplo.
Si esto no es cierto saber en  que falla mi idea, ,¿en que hay partes del dominio desconexas o cerradas?

[cerrar]

Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

Spoiler

cuando Chorite se halle satisfecho  en su hilo, podrías aclararme en que falla  la siguiente  función


$$f(x)=\left\{\begin{aligned}\dfrac{x}{|x|} &\text{ si }& x\in \Bbb R\neg 0\\ 0 &\text{ si }&x=0\end{aligned}\right.$$


Resumo es un intento  de que la función tenga más de un valor constante  pero al mismo tiempo  que no sea único la imagen no es constante,  por lo que seria un contraejemplo.
Si esto no es cierto saber en  que falla mi idea, ,¿en que hay partes del dominio desconexas o cerradas?

[cerrar]

El enunciado habla de una función continua. En el ejemplo que tu pones no es continua.

Spoiler

- Vale \( -1 \) si \( x<0 \).

- Vale \( 0 \) si \( x=0 \).

- Vale \( 1 \) si \( x>0 \).

No es continua en el cero.

[cerrar]

Saludos

[Richard R Richard]

Hola

Spoiler

cuando Chorite se halle satisfecho  en su hilo, podrías aclararme en que falla  la siguiente  función


$$f(x)=\left\{\begin{aligned}\dfrac{x}{|x|} &\text{ si }& x\in \Bbb R\neg 0\\ 0 &\text{ si }&x=0\end{aligned}\right.$$


Resumo es un intento  de que la función tenga más de un valor constante  pero al mismo tiempo  que no sea único la imagen no es constante,  por lo que seria un contraejemplo.
Si esto no es cierto saber en  que falla mi idea, ,¿en que hay partes del dominio desconexas o cerradas?

[cerrar]

El enunciado habla de una función continua. En el ejemplo que tu pones no es continua.

Spoiler

- Vale \( -1 \) si \( x<0 \).

- Vale \( 0 \) si \( x=0 \).

- Vale \( 1 \) si \( x>0 \).

No es continua en el cero.

[cerrar]

Saludos

Vale, pensé que sólo el dominio debía ser continuo, pero claro es la imagen la que debe ser continua , gracias, un lujo como siempre.

[ani_pascual]

Hola:

...
Vale, pensé que sólo el dominio debía ser continuo, pero claro es la imagen la que debe ser continua , gracias, un lujo como siempre.

La que es continua es la función. ¿A qué te refieres con lo remarcado en rojo?
Saludos

[Richard R Richard]

Hola:

...
Vale, pensé que sólo el dominio debía ser continuo, pero claro es la imagen la que debe ser continua , gracias, un lujo como siempre.

La que es continua es la función. ¿A qué te refieres con lo remarcado en rojo?
Saludos

Hola, me refería al "dominio conexo de intervalos abiertos" ( mucho léxico para mí,  apenas un poco leido)" en todo $$\Bbb R$$ .
Entre conexo y continuo me termine confundiendo entre imagen y dominio,  y si claro es la función la continua, pero para darme cuenta que es continua,  yo miro que su imagen no tiene que tener saltos, .... pensando en el dominio deje escapar lo importante del enunciado, que si es continua y perteneciente a Z , cualquier variación de $$f(x)$$ provoca un salto, luego no es continua, así que para ser continua debe ser siempre el mismo valor de $$f(x)$$ ... luego es constante. Yo creo que de eso va el hilo.(Demostrandose por las herramientas de topología que no entiendo poco y nada, por eso quería que mi duda se aclarara luego que el usuario haya satisfecho las de él primero.)

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, me refería al "dominio conexo de intervalos abiertos" ( mucho léxico para mí,  apenas un poco leido)" en todo $$\Bbb R$$ .
Entre conexo y continuo me termine confundiendo entre imagen y dominio,  y si claro es la función la continua, pero para darme cuenta que es continua,  yo miro que su imagen no tiene que tener saltos, .... pensando en el dominio deje escapar lo importante del enunciado, que si es continua y perteneciente a Z , cualquier variación de $$f(x)$$ provoca un salto, luego no es continua, así que para ser continua debe ser siempre el mismo valor de $$f(x)$$ ... luego es constante. Yo creo que de eso va el hilo.(Demostrandose por las herramientas de topología que no entiendo poco y nada, por eso quería que mi duda se aclarara luego que el usuario haya satisfecho las de él primero.)

Creo que estás confundiendo la conexidad del domino o de la imagen, con la continuidad de la función. Tienen cierta relación pero son cosas distintas. Tienen relación porque una función continua lleva conexos en conexos. Pero el recíproco no es cierto.

Spoiler

Un ejemplo de que el recíproco no es cierto es la función de Darboux:

\( f(x)=\begin{cases}{sin(1/x)}&\text{si}& x\neq 0\\0 & \text{si}& x=0\end{cases} \)

[cerrar]

Por otra parte esta función tiene dominio no conexo; imagen no conexa; pero es continua.

\( f(x):(-\infty,-1)\cup (1,+\infty)\to \Bbb R,\quad f(x)=\dfrac{ln(|x|-1)}{x}-\dfrac{x}{|x|+1} \)

[Richard R Richard]

Spoiler

Por otra parte esta función tiene dominio no conexo; imagen no conexa; pero es continua.

\( f(x) :( -\infty,-1)\cup (1,+\infty)\to \Bbb R,\quad f(x)=\dfrac{ln(|x|-1)}{x}-\dfrac{x}{|x|+1} \)

Entiendo ...
A la vez me has dejado en modo  TILT y recalculando, nunca había visto o no recuerdo haber visto una función que no esté definida en un intervalo que no contenga el mas o menos infinito , o que no este definida en un intervalo cerrado de longitud no nula....

Jugando un poco

\( f(x)(-\infty,-a)\cup (a,+\infty)\to \Bbb R,\quad f(x)=\dfrac{ln(|x-c|-a)}{x-c}-\dfrac{x-c}{|x-c|+a}+b \)

con $$a$$ pongo en $$2a$$ la longitud del intervalo donde no está definida,
con $$b$$ la subo o bajo
y con $$c$$ la muevo a izquierda y derecha.

No sé todavía para que me va a servir , pero se me hace que algo así he necesitado alguna vez o que seguro me será útil a futuro cuando compongo o anido funciones programando.

Gracias

[cerrar]

[Chorite]

Muchisimas gracias a todos por sus respuestas y el altisimo debate que se desarrollo en el hilo