Autor Tema: Conexión y función continua

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23 Enero, 2020, 11:08 pm
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conchivgr

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Hola.
Sea \( X \) un espacio topológico conexo y \( f:X\longrightarrow{Y} \) una función continua. Entonces,  \( f(X) \) es conexo.

Por reducción al absurdo,  si \( f(X) \) no fuera conexo,  existirían \( U \) y \( V \) abiertos disjuntos,  tales que \( f(X)=U\cup{V} \).

Obviamente,  claramente,  \( f^{-1}(U)\cup{f^{-1}(V)} \) sería una desconexión de \( X \), contradicción.

Perdonad mi torpeza,  pero me encuentro esta demostración por doquier,  y para mi ni es claro ni obvio la desconexión de \( X \).

Soy capaz de demostrarlo usando la equivalencia de que si un espacio es conexo,  no existe una función sobreyectiva del espacio en \( \left\{{0,1}\right\} \). Compongo funciones y luego a la misma contradicción.

Pero,  directamente aplicar la inversa y llegar a la contradicción,  como es?.

Besos.

23 Enero, 2020, 11:34 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Hola.
Sea \( X \) un espacio topológico conexo y \( f:X\longrightarrow{Y} \) una función continua. Entonces,  \( f(X) \) es conexo.

Por reducción al absurdo,  si \( f(X) \) no fuera conexo,  existirían \( U \) y \( V \) abiertos disjuntos,  tales que \( f(X)=U\cup{V} \).

Obviamente,  claramente,  \( f^{-1}(U)\cup{f^{-1}(V)} \) sería una desconexión de \( X \), contradicción.

Perdonad mi torpeza,  pero me encuentro esta demostración por doquier,  y para mi ni es claro ni obvio la desconexión de \( X \).

Soy capaz de demostrarlo usando la equivalencia de que si un espacio es conexo,  no existe una función sobreyectiva del espacio en \( \left\{{0,1}\right\} \). Compongo funciones y luego a la misma contradicción.

Pero,  directamente aplicar la inversa y llegar a la contradicción,  como es?.

Besos.

Como \( f \) es continua entonces \( f^{-1}(U) \) y \( f^{-1}(V) \) son abiertos. Además son disjuntos (si no lo fueran entonces \( U \) y \( V \) no serían disjuntos). Además tenemos que \( f^{-1}(U)\cup f^{-1}(V)=f^{-1}(U\cup V)=f^{-1}(f(X))=X \), lo que daría que \( X \) es inconexo. Contradicción.

24 Enero, 2020, 07:59 am
Respuesta #2

conchivgr

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Hola.
Muchas gracias por la respuesta.
Entiendo casi todo,  excepto cuando dices que \( f^{-1}(U) \) y \( f^{-1}(V) \) son disjuntos,  porque lo son \( U \) y \( V \).
Que impide que no sean disjuntos?, es decir,  por ejemplo,  que la intersección vaya toda a \( U \) y lo demás a \( V \), por ejemplo.
La continuidad?. Es lo que no entiendo.
Besos.

24 Enero, 2020, 08:36 am
Respuesta #3

conchivgr

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Hola.

Perdonad, es muy sencillo, pero a veces soy yo misma quien se complica la vida.

Si \( U \) y \( V \) son disjuntos, supongamos que \( {\color{Red}\cancel {{\color{black}f^{-1}(U)\cup{f^{-1}(V)}}}} \)  \( f^{-1}(U) \) y \( f^{-1}(V) \) no son disjuntos.

Entonces, existe al menos un \( x\in{X} \) tal que \( x\in{f^{-1}(U)\cap{}{f^{-1}(V)}} \), es decir, \( x\in{f^{-1}(U)} \) y \( x\in{f^{-1}(V)} \).

Por lo tanto, \( f(x)\in{f(f^{-1}(U))}=U \) y \( f(x)\in{f(f^{-1}(V))}=V \), es decir,

\( f(x)\in{U\cap{V}} \) lo que contradice el hecho de que \( U \) y \( V \) son disjuntos.   Es correcto?.

Besos.

24 Enero, 2020, 09:05 am
Respuesta #4

manooooh

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Hola

Si \( U \) y \( V \) son disjuntos, supongamos que \( f^{-1}(U)\cup{f^{-1}(V)} \) no son disjuntos.

¿Cómo quedaría eso en un diagrama de Venn? Si \( U \) y \( V \) son disjuntos luego:


¿Dónde iría la unión entre las inversas?

Entonces, existe al menos un \( x\in{X} \) tal que \( x\in{f^{-1}(U)\cap{}{f^{-1}(V)}} \), es decir, \( x\in{f^{-1}(U)} \) y \( x\in{f^{-1}(V)} \).

No veo por qué primero decís \( f^{-1}(U)\color{red}\cup\color{black}{f^{-1}(V)} \) y luego \( x\in f^{-1}(U)\color{red}\cap\color{black}{f^{-1}(V)} \).

Saludos

24 Enero, 2020, 09:09 am
Respuesta #5

conchivgr

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Hola.
Me equivoque.
Ya lo corregi.
Besos.

24 Enero, 2020, 10:13 am
Respuesta #6

Masacroso

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Hola.

Perdonad, es muy sencillo, pero a veces soy yo misma quien se complica la vida.

Si \( U \) y \( V \) son disjuntos, supongamos que \( {\color{Red}\cancel {{\color{black}f^{-1}(U)\cup{f^{-1}(V)}}}} \)  \( f^{-1}(U) \) y \( f^{-1}(V) \) no son disjuntos.

Entonces, existe al menos un \( x\in{X} \) tal que \( x\in{f^{-1}(U)\cap{}{f^{-1}(V)}} \), es decir, \( x\in{f^{-1}(U)} \) y \( x\in{f^{-1}(V)} \).

Por lo tanto, \( f(x)\in{f(f^{-1}(U))}=U \) y \( f(x)\in{f(f^{-1}(V))}=V \), es decir,

\( f(x)\in{U\cap{V}} \) lo que contradice el hecho de que \( U \) y \( V \) son disjuntos.   Es correcto?.

Besos.

Sí, es correcto.

24 Enero, 2020, 11:11 am
Respuesta #7

conchivgr

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Hola.

Muchas gracias por las respuestas.

Besos.