Sí, es cierto. Esto es porque al ser \( X \) conexo y \( f \) continua, \( f(X) \) debe ser conexo. Pero los únicos conjuntos conexos de un espacio métrico numerable son (el vacío y) los que contienen un único punto (es decir, los espacios métricos numerables son totalmente disconexos).
Para ver esto último, sea \( (Y,d) \) un espacio métrico numerable y \( x,y \in Y \) dos puntos distintos. Entonces, \( r:=d(x,y)>0 \). Como en \( Y \) solamente hay un número numerable de elementos pero hay un número no numerable de reales en el intervalo \( (0,r) \), necesariamente existe un \( r' \in (0,r) \) tal que no existe ningún \( z\in Y \) con \( d(x,z)=r' \).
Así tenemos que \( B(x,r') = \overline{B(x,r')} \) es abierto y cerrado a la vez, de donde se sigue que \( x,y \) pertenecen a componentes conexas distintas (porque \( y \in Y - B(x,r') \)).
