[Richard R Richard]

Hola, no lo veo converger a  0.4834 yo lo he superado

$$0.5409332443746809$$ para $$n=10$$
$$0.4335313507602628$$ para $$n=100$$
$$0.4540544724725943$$ para $$n=1000$$
$$0.46796548410861344$$ para $$n=10000$$
$$0.47376197897821554$$ para $$n=100000$$
$$0.4783688752091704$$ para $$n=1000000$$
$$0.48200853988461556$$ para $$n=10000000$$
$$0.48461685135037824$$ para $$n=100000000$$
$$0.4865430371648579$$ para $$n=1000000000$$

Es el promedio de los números primos dividido la raíz $$p+1$$   de la potencia $$p$$ de $$p$$,  es cociente de dos secuencias que divergen, el denominador  tiene una tendencia lineal al infinito $$p^1$$, pero el numerador para mi por ser un sumatorio tiene tendencia cuadrática dividido p por ser promedio tipo $$p(p-1)/2p$$, luego el cociente tendría que diverger, lo hace pero muy lentamente.

Leyendo esto último

Puede que sí vaya a 1/2

$$\cong\dfrac{p(p-1)/2p}{p^1}\to \dfrac12$$

[RH]

Es verdad Richard R Richard, pero parece que converge a 1/2, según lo que hemos visto en la página 1, con las aproximaciones de primos.

Parece ser que es por el teorema de los números primos, \( \sum_{i=1}^n p_i \approx \frac{n \cdot p_n}{2} \) aunque sea una aproximación.

[feriva]

No sé...

El Teorema de los números primos se suele malinterpretar cuando se habla de “función contadora de primos”.

La función \( \dfrac{x}{log(x)} \) lo que da es un mínimo de primos hasta x, y este mínimo cada vez se va quedando más pequeño respecto de la cantidad real. Por ejemplo, hasta 100 hay realmente 25 primos; y la parte entera de \( \dfrac{100}{log(100)} \) nos da 21; o sea, en realidad hay 4 más. Si tomamos hasta 1000, hay realmente 168 primos, pero considerando la parte entera de la función \( \dfrac{1000}{log(1000)} \) da 144; es decir, en realidad hay 24 más. Y así, cuando “x” tiende a infinito, en realidad habrá infinitos primos más de los que da teóricamente la función.

Si tenemos dos números a,b muy parecidos, \( \dfrac{a}{b} \) se aproximará a 1, y se aproximará más cuanto más parecidos sean a y b. Eso es cierto a partir de lo pequeña que se queda la unidad en comparación con las cantidades, pero en ningún momento quiere decir a=b ni que haya una diferencia despreciable en cuanto a unidades. Por ejemplo, \( \dfrac{11}{12}=0.916... \) y la diferencia es 12-11=1; son muy parecidos en cuanto a diferencia. Pero tomando por ejemplo \( \dfrac{100000010}{100000090} \) tenemos que se acerca mucho más a 1 que antes, da 0.9999992..., y, sin embargo, la diferencia entre las cantidades es mucho mayor, es de ochenta unidades en vez de una. Así, eligiendo cantidades adecuadas, podemos tener que el límite de \( a/b \) tienda a 1 y el límite de \( b-a \) tienda a infinito y no a cero.

De igual modo, si \( \Pi(x) \) es la cantidad real de primos y \( \pi(x) \) la cantidad mínima de primos que da la función, tendremos que cuando x tienda a infinito el límite de \( \dfrac{\pi(x)}{\Pi(x)} \) será 1, pero el límite de \( \Pi(x)-\pi(x) \) no existirá, la diferencia será infinita.

Saludos.

[RH]

A raíz del hilo de "¿es cierto esto?" donde vimos que:

Si  \( \displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{|{\displaystyle\sum_{k=1}^n{{-k}^i}|}}{n} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}} \)

entonces:

\( \displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{|{\displaystyle\sum_{k=1}^n{{-p_k}^i}|}}{n}=?  \)

Lo pongo porque tiene un comportamiento muy parecido al límite de este hilo, se queda en 0.68 (muy cerca de \( 0.7071=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}} \)) y va avanzando muy lentamente, pero ¿hasta dónde?.

Además, feriva nos explica que la aproximación de primos no es suficiente y Richard R Richard llega al límite con un razonamiento novedoso de \( \displaystyle\frac{1}{2} \).

[Richard R Richard]

A raíz del hilo de "¿es cierto esto?" donde vimos que:

Si  \( \displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{|{\displaystyle\sum_{k=1}^n{{-k}^i}|}}{n} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}} \)

entonces:

\( \displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{|{\displaystyle\sum_{k=1}^n{{-p_k}^i}|}}{n}=?  \)

Lo pongo porque tiene un comportamiento muy parecido al límite de este hilo, se queda en 0.68 (muy cerca de \( 0.7071=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}} \)) y va avanzando muy lentamente, pero ¿hasta dónde?.

Además, feriva nos explica que la aproximación de primos no es suficiente y Richard R Richard llega al límite con un razonamiento novedoso de \( \displaystyle\frac{1}{2} \).

Solo por explicar la idea un poco mejor , no siendo muy riguroso y trabajando con analogías.

$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{p_i}}{n}=$$ Esta parte de la ecuación es un promedio de los números primos, mas números pones en el sumatorio mayor será el promedio.
Si la densidad de números primos fuera constante podríamos sin mucho temor a equivocarnos suponer que el promedio tendería a $$p/2$$ siendo $$p$$ el mayor de los primos de la sumatoria. 
La analogía viene del sumatorio de los naturales hasta cierto numero $$n$$ que es $$n(n-1)/2$$ y el promedio de los naturales se obtiene dividiendo por $$n$$ luego el promedio sería $$(n-1)/2$$ que es menor a $$n/2$$, pero para $$n$$ grandes no habría diferencia casi con $$n/2$$ .
Como los números primos son mas densos para número bajos que para los mas grandes es lógico que el promedio sea un poco menor todavía a $$p/2$$, por eso no vemos que sea exactamente $$1/2$$ el limite.
 
Pero claro el limite total esta dividido por otro valor de un límite que es $$\sqrt[p]{p^{p+1}}$$ cuyo límite cuando $$p\to \infty$$ tiende $$p\to\infty$$ entonces la sucesión que nos propones es el cociente de ambos limites.


$$S\cong \lim_{p\to\infty} \dfrac{p/2}{p}\cong 1/2$$   


Estoy seguro que no es $$1/2$$ porque como dije esto depende de la densidad de números primos, entonces  tampoco converge a un numero exacto, depende de como van apareciendo los primos o sea de su distribución dentro de los naturales, y sería mas fácil entender que fuera $$1/2$$ si la densidad fuese constante, pero repito no lo es.
 

[RH]

Se desvía del hilo por lo que está aquí aparte:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=129433.0


Modificado.

[martiniano]

Hola.

En cuanto al límite original, a partir de mi última respuesta, yo habría hecho esto:

\[ \lim \displaystyle\frac{\ln p_n\displaystyle\sum_{i=1}^n{p_i}}{p_n^2}=\lim\displaystyle\frac{\ln p_n}{\ln n}\cdot{}\displaystyle\frac{n^2(\ln n)^2}{p_n^2}\cdot{}\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{p_i}}{n^2\ln n}
 \]

Los dos primeros factores dan 1 por el teorema de los números primos. En el tercero se aplica Stolz y se llega a:

\[ \lim \displaystyle\frac{p_n}{n^2\ln n-(n-1)^2\ln(n-1)}=\lim\displaystyle\frac{p_n}{n\ln n}\cdot{}\displaystyle\frac{n\ln n}{n^2\ln n-(n-1)^2\ln(n-1)}
 \]

Aquí, de nuevo por el teorema de los números primos, el primer factor da 1. El segundo se calcula por equivalencias habituales y me acaba dando \[ 1/2 \]

Saludos.

[martiniano]

He separado alguna respuesta para hablar de otro límite.

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=129428.msg535401;topicseen#msg535401

[Richard R Richard]

Sin dejar de lado los Límites
Si $$\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{\pi(n)}p_i}{\pi(n) p_n}\cong 0.487\quad \to\quad \sum\limits_{i=1}^{\pi(n)}p_i\cong 0.487\pi(n) p_n$$
por el postulado de Bertrand sabemos que existe al menos un primo entre $$p_n$$ y $$2p_n$$  en el peor de los casos ese único primo es $$2p_n-1$$


luego agregando ese primo



$$\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{\pi(2n)}p_i}{\pi(2n) (2p_n-1)}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{\pi(n)}p_i +2p_n-1}{\pi(2n) (2p_n-1)}\cong \dfrac{0.487\pi(n) p_n+2p_n-1}{\pi(2n) (2p_n-1)}$$
como $$\pi(2n) =\pi(n)+1$$ debido al postulado para $$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\pi(2n)}{\pi(n)}=1$$
luego
$$\dfrac{0.487\pi(n) p_n+2p_n-1}{\pi(2n) (2p_n-1)}\cong \dfrac{0.487\pi(n) p_n+2p_n}{\pi(2n) (2p_n)}=\dfrac{(0.487\pi(n)+2) \cancel {p_n}}{\pi(2n) (2\cancel{p_n})}=\dfrac{(0.487\pi(n)+2)}{\pi(2n) 2}\cong\dfrac{(0.487\pi(n))}{\pi(2n) 2} $$
en el limite
$$\dfrac{0.487...}{2}\cong 0.248...$$ es decir que dependiendo del tamaño del gap luego del último primo, la sumatoria puede ir cayendo por debajo de $$0.5$$ abruptamente se puede pensar nunca llegar a cero y como máximo será $$0.5$$.
Para superar $$0.5$$ necesariamente entre $$n$$ y $$2n$$ tiene que haber mas primos que entre $$0$$ y $$n$$ y eso sabemos que no puede suceder luego,


$$\displaystyle\lim_{p,n \to{+}\infty}{ \frac{\sum_{i=1}^{\pi(p)} p_i}{n \cdot p^{1 + \frac{1}{p}}}}$$ no tiene un límite definido pero está en el intervalo $$(0,0.5)$$


el sumatorio de los 10 primeros primos es 129  el promedio 12.9 y dividido el máximo 0.44482758620689655  en ese punto el promedio de los naturales 0.5172413793103449
para 100 primos 24133 promedio  241.33 al dividir por el máximo 0.44608133086876156 y el promedio de los naturales 0.5009242144177449
para 1000 suman 3682913 promedio 3682.913 al dividir por el máximo  0.46507298901376437 y el promedio de los naturales  0.5000631392852632
para 10000 suman 496165411el promedio  49616.5411 al dividir por el máximo  0.47376124187187885 y el promedio de los naturales  0.500004774226814
para 100000 suman 62260698721 el promedio  622606.98721 al dividir por el máximo  0.47903568199496965 y el promedio de los naturales  0.5000003847014985
para 1000000 suman 7472966967499 el promedio  7472966.967499 al dividir por el máximo  0.4825670333967826 y el promedio de los naturales  0.5000000322875128
para 10000000 suman 870530414842019 el promedio  87053041.4842019 al dividir por el máximo  0.4851787662681258 y el promedio de los naturales  0.5000000027866848
para 100000000 suman 99262851056183695 el promedio  992628510.561837 al dividir por el máximo  0.48704225101220294  y el promedio de los naturales 0.5000000002453295
para 1000000000 suman 11138479445180240497 el promedio 11138479445.18024 al dividir por el máximo 0.48849201731934694 y el promedio de los naturales 0.5000000000219281 agregado
pero nada impide que el primo ubicado en posición 1000000001 sea casi el doble del primo en posición 1000000000 bajando el promedio a 0.244246... no se si puedo ser mas claro.

[martiniano]

Hola.

A ver, hay alguna cosa que no me queda muy clara en tu exposición, Richard.

Sin dejar de lado los Límites
Si $$\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{\pi(n)}p_i}{\pi(n) p_n}\cong 0.487\quad \to\quad \sum\limits_{i=1}^{\pi(n)}p_i\cong 0.487\pi(n) p_n$$

No sé lo que quieres decir con el símbolo \[ \cong \], pero en cualquier caso una cosa es \[ \displaystyle\sum_{i=1}^n{p_i} \] y otra
\[ \displaystyle\sum_{i=1}^{\pi(n)}{p_i} \]

Yo al principio no tenía muy claro en qué situación estábamos, pero RH me aclaró por ahí arriba que era la primera.

por el postulado de Bertrand sabemos que existe al menos un primo entre $$p_n$$ y $$2p_n$$  en el peor de los casos ese único primo es $$2p_n-1$$

No sé qué quieres decir con "el peor de los casos", pero ese primo no tiene por qué ser el único entre \[ p_n \] y \[ 2p_n \], es más, el teorema de los números primos nos asegura que la densidad asintótica de primos es mayor.

luego agregando ese primo



$$\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{\pi(2n)}p_i}{\pi(2n) (2p_n-1)}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{\pi(n)}p_i +2p_n-1}{\pi(2n) (2p_n-1)}\cong \dfrac{0.487\pi(n) p_n+2p_n-1}{\pi(2n) (2p_n-1)}$$
 

Claro, pero es que son muchos más los primos que hay que agregar. Piensa que todos los primos que faltan hacen aumentar el denominador.

como $$\pi(2n) =\pi(n)+1$$ debido al postulado
 

Lo que nos asegura Bertrand es que $$\pi(2n) \geq{}\pi(n)+1$$ , pero eso no nos sirve para calcular el límite de abajo.

 $$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\pi(2n)}{\pi(n)}=1$$
 

No creo. Por el teorema de los números primos y si no me equivoco:

 $$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\pi(2n)}{\pi(n)}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(2n)/\ln(2n)}{n/\ln n}=2
$$

luego
$$\dfrac{0.487\pi(n) p_n+2p_n-1}{\pi(2n) (2p_n-1)}\cong \dfrac{0.487\pi(n) p_n+2p_n}{\pi(2n) (2p_n)}=\dfrac{(0.487\pi(n)+2) \cancel {p_n}}{\pi(2n) (2\cancel{p_n})}=\dfrac{(0.487\pi(n)+2)}{\pi(2n) 2}\cong\dfrac{(0.487\pi(n))}{\pi(2n) 2} $$
en el limite
$$\dfrac{0.487...}{2}\cong 0.248...$$ es decir que dependiendo del tamaño del gap luego del último primo, la sumatoria puede ir cayendo por debajo de $$0.5$$ abruptamente se puede pensar nunca llegar a cero y como máximo será $$0.5$$.
Para superar $$0.5$$ necesariamente entre $$n$$ y $$2n$$ tiene que haber mas primos que entre $$0$$ y $$n$$ y eso sabemos que no puede suceder luego,


$$\displaystyle\lim_{p,n \to{+}\infty}{ \frac{\sum_{i=1}^{\pi(p)} p_i}{n \cdot p^{1 + \frac{1}{p}}}}$$ no tiene un límite definido pero está en el intervalo $$(0,0.5)$$

Disculpa pero aquí me he perdido. No entiendo la conclusión que sacas. ¿Qué quiere decir que un límite no esté definido pero a la vez que se encuentre en un determinado intérvalo? ¿Quieres decir que el límite no existe pero la sucesión está acotada a partir de un cierto valor de \[ n \]?

Es que eso contradice lo de que el límite dé \[ 1/2 \]. Igual me he equivocado en el mensaje de antes en el que creo haber demostrado que el límite existe y da \[ 1/2 \]. Si no estás de acuerdo en esto último, ¿te importaría buscar el error en el cálculo que realicé?

nada impide que el primo ubicado en posición 100000001 sea casi el doble del primo en posición 100000000 bajando el promedio a 0.2435... no se si puedo ser mas claro.

Sí. El teorema del número primo no impide que pase eso para algún \[ n \] concreto, pero eso tampoco impide que el límite siga existiendo.

Un saludo.