[RH]

Siendo n los números naturales y p los primos, parece que se estanca en 0.4834

\( \displaystyle\lim_{p,n \to{+}\infty}{ \frac{\sum_{i=1}^{\pi(p)} p_i}{n \cdot p^{1 + \frac{1}{p}}}} \)

[RH]

Parece ser que el límite se incrementa muy despacito. Entonces he mirado el límite de su logaritmo, y se va acercando desde valor negativo muy despacio hacia 0.

Esto da a indicar que el valor del límite que he puesto es 1.

Corregidme si me he equivocado.

[martiniano]

Hola.

No me queda muy clara la definición de la sucesión. ¿Podrías escribir el desarrollo para los 2 ó 3 primeros términos?

[RH]

para p = 1 y n = 1:

\( \displaystyle\frac{2}{1*2^{1+\displaystyle\frac{1}{2}}} \)

para p = 2 y n = 2:

\( \displaystyle\frac{2+3}{2*3^{1+\displaystyle\frac{1}{3}}} \)


Corregido

[RH]

Da una gráfica así, parece plana, pero se incrementa muy poquito.

[martiniano]

Por acabar de aclararlo, el siguiente término de tu sucesión sería \[ \displaystyle\frac{2+3+5}{3\cdot{5^{1+1/5}}} \], ¿no?.

Es decir, si \[ p_n \] es el enésimo número primo, entonces el límite que buscas es:

\[ \displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{p_i}}{n\cdot{p_n^{1+\frac{1}{p_n}}}} \]

[RH]

Sí, así es.

[martiniano]

Igual el límite se puede simplificar un poco aplicando el teorema de los números primos.

\[ \displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{p_i}}{n\cdot{p_n^{1+\frac{1}{p_n}}}}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{p_i}}{\pi(p_n)\cdot{p_n}}\cdot{\displaystyle\frac{p_n}{
p_n^{1+\frac{1}{p_n}}}}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{\ln(p_n)\displaystyle\sum_{i=1}^n{p_i}}{p_n\cdot{p_n}}\cdot{\displaystyle\frac{1}{
p_n^{\frac{1}{p_n}}}}\cdot{\displaystyle\frac{p_n}{\pi(p_n)\ln(p_n)}}=
 \]

\[ \displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{\ln(p_n)\displaystyle\sum_{i=1}^n{p_i}}{p_n\cdot{p_n}} \]

Y aquí a lo mejor bajando el logaritmo y aplicando Stolz para quitar el sumatorio llegas a algo.

Un saludo.

[Juan Pablo Sancho]

En este caso el límite es equivalente a \( \displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{p_i}}{n\cdot{p_n}}  \)
Editado
Contesto martiniano entonces este mensaje no aporta nada.

[RH]

Pues gracias a vuestros análisis, parece esto:

Aproximación de la suma de primos:

\( \sum_{i=1}^n p_i \approx \frac{n \cdot p_n}{2} \)

Aproximación del n-ésimo primo (Teorema de los Números Primos):

\( p_n \approx n \cdot \ln(n) \)

Sustitución y simplificación:

\( \lim_{n\to\infty} \frac{\ln(p_n) \cdot \frac{n \cdot p_n}{2}}{p_n^2} = \lim_{n\to\infty} \frac{\ln(p_n) \cdot n}{2 \cdot p_n} \)

Sustitución de la aproximación del TNP:

\( \lim_{n\to\infty} \frac{\ln(n \cdot \ln(n)) \cdot n}{2 \cdot n \cdot \ln(n)} = \lim_{n\to\infty} \frac{\ln(n \cdot \ln(n))}{2 \cdot \ln(n)} \)

Propiedad del logaritmo:

\( \lim_{n\to\infty} \frac{\ln(n) + \ln(\ln(n))}{2 \cdot \ln(n)} \)

Dividiendo por ln(n):

\( \lim_{n\to\infty} \frac{1 + \frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}}{2} \)

Límite de ln(ln(n)) / ln(n):

\( \lim_{n\to\infty} \frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)} = 0 \)

Resultado final:

\( \lim_{n\to\infty} \frac{1 + 0}{2} = \frac{1}{2} \)