[RH]

Prefiero separarlo del otro hilo.

Puse esto:

Bueno esto es un off-topic del hilo, se desvía un poco, pero prefiero ponerlo aquí:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{|\frac{n \cdot n^{(1+i)}}{\sum_{k=1}^{n} (k \cdot i - k)}}|=\sqrt[ ]{2} \)

Esto podría resultar como un límite anecdótico... pero si en vez de los números naturales, en la expresión usamos los números primos:

\( \frac{p \cdot p^{(1+i)}}{\sum_{k=1}^{p} (k \cdot i - k)} \)

En el plano complejo esta gráfica va adquiriendo una forma peculiar:



¿Qué os parece?

Pero además:
\( x\in{[-1,-\infty)} \)
\( \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{|\frac{x \cdot x^{(1+i)}}{\sum_{k=-1}^{x} (k \cdot i - k)}}|=e^{-pi}\cdot{\sqrt[ ]{2}} \)

[ani_pascual]

Hola:

Esto podría resultar como un límite anecdótico... pero si en vez de los números naturales, en la expresión usamos los números primos:

\( \frac{p \cdot p^{(1+i)}}{\sum_{k=1}^{p} (k \cdot i - k)} \)

En el plano complejo esta gráfica va adquiriendo una forma peculiar:
...
Pero además:
\( x\in{[-1,-\infty)} \)
\( \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{|\frac{x \cdot x^{(1+i)}}{\sum_{k=-1}^{x} (k \cdot i - k)}}|=e^{-pi}\cdot{\sqrt[ ]{2}} \)

¿Podrías explicar brevemente el significado de la expresión \( \displaystyle\sum\limits_{k=-1}^x(-1+i)k \) donde \( x\in \textcolor{green}{[-1,-\infty)} \)(sic)?
 
Me parece que "me queda grande" este ejercicio...
Saludos

[RH]

Sí, lo expresé así porque es simplemente el primer límite en vez de con n positivo con n negativo, sólo eso, y como en el programa basta con cambiar n por -n, pues para hacer el límite creo que se pone así.

[ani_pascual]

Hola:

Sí, lo expresé así porque es simplemente el primer límite en vez de con n positivo con n negativo, sólo eso, y como en el programa basta con cambiar n por -n, pues para hacer el límite creo que se pone así.

¿Te importaría desarrollarlo? A mí me sigue dando \( \sqrt{2} \). No sé dónde me he equivocado.
Saludos

[RH]

También se puede escribir así el límite:

\( \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(-n) \cdot (-n)^{1+i}}{\sum_{j=1}^{n} (-ji+j)} \right|  \)

Yo lo hice aproximando entre el cálculo numérico y el desarrollo de la ia, que lo hacía mal, pero me dio una pista para averiguar cual era esa constante.

La ia me puso esto tras varios intentos:

Simplificar la suma acumulativa (cumsum):
cumsum((-n)*i - (-n)) = cumsum(n - n*i)
La suma acumulativa de una constante c hasta n es simplemente n*c, por lo que cumsum(n - n*i) = n*(n - n*i) = n^2 - n^2*i
Sustituir la suma acumulativa simplificada en la expresión:
lim n→∞ |((-n) * (-n)^(1+i)) / (n^2 - n^2*i)|
Simplificar la potencia compleja:
(-n)^(1+i) = (-1)^(1+i) * n^(1+i)
(-1)^(1+i) = e^(i*pi*(1+i)) = e^(i*pi - pi) = e^(-pi) * e^(i*pi) = e^(-pi) * (-1)
Por lo tanto, (-n)^(1+i) = e^(-pi) * (-1) * n^(1+i)
n^(1+i) = n * n^i = n * e^(i*ln(n))
Sustituir la potencia compleja simplificada en la expresión:
lim n→∞ |((-n) * e^(-pi) * (-1) * n * e^(i*ln(n))) / (n^2 - n^2*i)|
lim n→∞ |(e^(-pi) * n^2 * e^(i*ln(n))) / (n^2 * (1 - i))|
Simplificar la expresión:
lim n→∞ |(e^(-pi) * e^(i*ln(n))) / (1 - i)|
Calcular el valor absoluto:
|e^(-pi) * e^(i*ln(n))| = e^(-pi) * |e^(i*ln(n))| = e^(-pi) * 1 = e^(-pi)
|1 - i| = sqrt(1^2 + (-1)^2) = sqrt(2)
Sustituir los valores absolutos en la expresión:
lim n→∞ (e^(-pi) / sqrt(2))
En este punto, la expresión ya no depende de n, por lo que el límite es simplemente:

e^(-pi) / sqrt(2) ≈ 0.048789...

y vi que cometió un error de cálculo en vez de dividir por la raíz es multiplicar.

[ani_pascual]

Hola:

También se puede escribir así el límite:

\( \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(-n) \cdot (-n)^{1+i}}{\sum_{j=1}^{n} (-ji+j)} \right|  \)

Yo lo hice aproximando entre el cálculo numérico y el desarrollo de la ia, que lo hacía mal, pero me dio una pista para averiguar cual era esa constante.

La ia me puso esto tras varios intentos:
...

y vi que cometió un error de cálculo en vez de dividir por la raíz es multiplicar.

Lo tienes bien; ya he visto el fallo que he cometido...
El resultado es \( \sqrt{2}e^{-\pi} \)
Saludos y gracias por contestar.
Como lo he hecho...
Añadido

Spoiler

\( \lim\limits_{m\to -\infty}\left|\dfrac{m\cdot m^{(1+i)}}{\sum\limits_{k=-1}^mk(-1+i)}\right|=
\lim\limits_{n\to +\infty}\left|\dfrac{(-n)\cdot (-n)^{(1+i)}}{\sum\limits_{k=1}^nk(-1+i)}\right|\stackrel{(\ast )}{=}
\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{n^2e^{-\pi }}{\left|(-1+i)\dfrac{(1+n)n}{2}\right|}=\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{2n^2e^{-\pi}}{\sqrt{2}(n^2+n)}=\boxed{e^{-\pi}\sqrt{2}} \)

\( (\ast )\,\,\,(-n)\cdot(-n)e^{(1+i)}=(-n)\cdot e^{(1+i)\log (-n)}=(-n)\cdot e^{(1+i)(\log n+\pi i)}\Longrightarrow |(-n)\cdot (-n)e^{(1+i)}|=\cdots =n^2|e^{-\pi+i(\log n+\pi)}|=n^2e^{-\pi} \)

[cerrar]

[RH]

Ok, entonces se cumple:

\( [\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{-\ln\left(\left| \frac{-n \cdot (-n)^{1+i}}{(-1+i) \cdot (1+n) \cdot \frac{n}{2}} \right|\right)] + \frac{\ln(2)}{2}}=\pi \)

Para \( n=500000000=3.14159265158979 \)

\( \pi=3.14159 26535 89793 23846 ... \)

Como no hay sumatorio el cálculo es inmediato:

Para \( n=50000000000=3.14159265356979 \)

Para \( n=5000000000000=3.14159265358960 \)

.
.
.

Está relacionada con la constante de Gelfond \( e^{\pi} \)

Quizá se pueda estimar \( \pi \) de manera eficiente con esta fórmula.

Añado:

Quedaría esta identidad:

\( [\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{- \left( \ln \left| \frac{ \left( (-n) \cdot (-e^{-\pi}) \cdot n^{1 + i} \right) }{ (-1 + i) \cdot (1 + n) \cdot \frac{n}{2} } \right| \right)] + \frac{\ln 2}{2}}=\pi \)

[ani_pascual]

Hola:

Ok, entonces se cumple:

\( [\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{-\ln\left(\left| \frac{-n \cdot (-n)^{1+i}}{(-1+i) \cdot (1+n) \cdot \frac{n}{2}} \right|\right)] + \frac{\ln(2)}{2}}=\pi \)
...
Está relacionada con la constante de Gelfond \( e^{\pi} \)

Quizá se pueda estimar \( \pi \) de manera eficiente con esta fórmula.

Añado:
...
Quedaría esta identidad:
...

Lo veo correcto,  , aunque quitaría algunos paréntesis
y corchetes, por redundantes...
y lo escribiría así:

\( \pi=\frac{\ln 2}{2}-\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\ln \left| \frac{ 2e^{-\pi}\cdot n^{2+ i} }{ (-1 + i) \cdot (1 + n) \cdot n } \right|  \)
O incluso así:
\(
\pi=\dfrac{\ln 2}{2}-\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\ln \dfrac{ \sqrt{2}e^{-\pi}\cdot \left|n^{2+ i} \right|}{ (1 + n) \cdot n }   \)
De todas formas, no le veo el sentido a aproximar el número \( \pi \) mediante una expresión que contiene explícitamente al número \( \pi \) 
Editado

Saludos

[RH]

La constante de Gelfond puede hallarse sin usar el número pi:

https://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Gelfond

[ani_pascual]

Hola:

La constante de Gelfond puede hallarse sin usar el número pi:
...

Cierto.
👍🏻
Saludos