Hola.
Tengo muy olvidados los criterios de convergencia y el teorema de Stolz y todas esas cosas (además de que las estudié muy por encima) pero si lo dice martiniano no dudo de ello, es un 1/2 seguro.
A ver, martiniano se puede equivocar, sólo faltaría.
Sobre la regla de Stolz puedes leer
aquíDe todas formas, voy a detallar más los pasos del cálculo que hice por si alguien no ve claro algún paso concreto.
\[ \displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{p_i}}{n\cdot{p_n^{1+\frac{1}{p_n}}}}= \]
\[
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{p_i}}{\pi(p_n)\cdot{p_n}}\cdot{\displaystyle\frac{p_n}{ p_n^{1+\frac{1}{p_n}}}}= \]
\[ \displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{\ln(p_n)\displaystyle\sum_{i=1}^n{p_i}}{p_n\cdot{p_n}}\cdot{\underbrace{\displaystyle\frac{1}{ p_n^{\frac{1}{p_n}}}}_{1}}\cdot{\underbrace{\displaystyle\frac{p_n}{\pi(p_n)\ln(p_n)}}_{1}}=
\]
\[ \displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{\ln(p_n)\displaystyle\sum_{i=1}^n{p_i}}{p_n^2}=
\]
\[ \lim_{n\to\infty}\underbrace{\displaystyle\frac{\ln p_n}{\ln n}}_{1}\cdot{}\underbrace{\displaystyle\frac{n^2(\ln n)^2}{p_n^2}}_{1}\cdot{}\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{p_i}}{n^2\ln n}=
\]
\[ \lim\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{p_i}}{n^2\ln n}=
\]
\[ \lim \displaystyle\frac{p_n}{n^2\ln n-(n-1)^2\ln(n-1)}= \]
\[ \lim\underbrace{\displaystyle\frac{p_n}{n\ln n}}_{1}\cdot{}\displaystyle\frac{n\ln n}{n^2\ln n-(n-1)^2\ln(n-1)}=
\]
\[ \lim \displaystyle\frac{n\ln n}{n^2\ln \left(\displaystyle\frac{n}{n-1}\right)+2n\ln(n-1)-\ln (n-1)}=
\]
\[ \lim \displaystyle\frac{\ln n}{n\ln \left(1+\displaystyle\frac{1}{n-1}\right)+2\ln(n-1)-\displaystyle\frac{1}{n}\cdot{}\ln (n-1)}=
\]
\[ \lim\displaystyle\frac{1}{\underbrace{\displaystyle\frac{1}{\ln n}}_{0}\cdot{}\ln\left[\underbrace{\left(1+\displaystyle\frac{1}{n-1}\right)^{(n-1)}}_{e}\right]^{\underbrace{\frac{n}{n-1}}_{1}}+2\cdot{}\underbrace{\displaystyle\frac{\ln(n-1)}{\ln n}}_{1}-\underbrace{\displaystyle\frac{1}{n}}_{0}\cdot{}\underbrace{\displaystyle\frac{\ln(n-1)}{\ln n}}_{1}}= 1/2
\].
En cuanto a esto:
Como martiniano ha demostrado que \( {\displaystyle \lim_{n\to\infty}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{p_{i}}}}{n\cdot{p_{n}^{1+\frac{1}{p_{n}}}}}}}=\displaystyle\frac{1}{2} \), entonces por lógica:¿\( {\displaystyle \lim_{n\to\infty}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{p_{i}}}}{n\cdot{p_{n}}}}}=\infty \)?
No. El último límite no da infinito, y la razón es que:
Añado:
Creo que son equivalentes, como se puso al principio.
Efectivamente son equivalentes, es decir, el último límite da también \[ 1/2 \]. La razón de esto es que si \[ a_n \] tiende a infinito, entonces:
\[ \lim a_n^{\displaystyle\frac{1}{a_n}}=\lim e^{\displaystyle\frac{\ln a_n}{a_n}}=e^0=1 \]
Si hay dudas sobre algo especificadlo.
Un saludo.
