Mira, le pregunté a la IA ( Chatgpt ) que si mi planteamiento era una conjetura o una igualdad y mira su respuesta:
...
Norges: Las IA no se pueden usar con los ojos cerrados sobre todo en matemáticas. Pero también es importante cómo se formula la pregunta.
Hoy yo prefiero DeepSeek aunque no hay gran diferencia con las otras. Incluso con la última versión de ChatGPT (de pago) que tengo en el trabajo, si bien algunas respuestas son mas elaboradas, cuando falla DeepSeek también falla ChatGPT.
Le hice esta pregunta a DeepSeek:
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Toma desde 1 un conjunto de números enteros sucesivos hasta n, con n impar y súmalos. Duplica y divide por n. Eleva al cuadrado el resultado y posteriormente divide por el producto entre la mediana y el sucesivo de n.
Existe una expresion cerrada para el resultado?
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Y su respuesta:
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Vamos a seguir los pasos indicados y ver si podemos encontrar una expresión cerrada para el resultado.
**Dado:**
- Un conjunto de números enteros sucesivos desde 1 hasta \( n \), con \( n \) impar.
- Definimos la mediana de este conjunto como el valor central, que para \( n \) impar es \( \frac{n + 1}{2} \).
**Pasos:**
1. **Suma de los números desde 1 hasta \( n \):**
\[
S = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}
\]
2. **Duplicar y dividir por \( n \):**
\[
\frac{2S}{n} = \frac{2 \cdot \frac{n(n + 1)}{2}}{n} = \frac{n(n + 1)}{n} = n + 1
\]
3. **Elevar al cuadrado el resultado:**
\[
(n + 1)^2
\]
4. **Dividir por el producto entre la mediana y el sucesivo de \( n \):**
- La mediana es \( \frac{n + 1}{2} \).
- El sucesivo de \( n \) es \( n + 1 \).
- El producto es \( \frac{n + 1}{2} \cdot (n + 1) = \frac{(n + 1)^2}{2} \).
Dividimos el cuadrado anterior por este producto:
\[
\frac{(n + 1)^2}{\frac{(n + 1)^2}{2}} = 2
\]
**Resultado final:**
\[
2
\]
**Conclusión:**
No importa el valor de \( n \) (siempre que sea impar), el resultado final siempre es **2**. Por lo tanto, la expresión cerrada para el resultado es:
\[
\boxed{2}
\]
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En la conclusión restringe a los impares, pero eso es porque asume que se debe trabajar con enteros (para pares la mediana no sería entera) , si se admiten racionales entonces vale \( \forall n \)
