[Masacroso]

Debido a este tema, he estado buscando/pensando una derivación probabilística del fenómeno de la desintegración radiactiva, y he encontrado lo siguiente (que puede ser más o menos correcto, que alguien me corrija):

Primero vamos a hacer la siguiente suposición: la desintegración radiactiva es un fenómeno espontáneo que no depende de ningún factor externo, esto último significa que si tenemos \(N\) átomos de un mismo material entonces estos átomos se van a comportar como variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, respecto al tiempo en el cual se descomponen. Al ser un fenómeno espontáneo no existen estadíos intermedios: o bien se ha descompuesto ya el átomo o no, blanco o negro, lo que nos lleva a considerar que si \(T\) es el tiempo de existencia de cada átomo (de un material determinado) entonces

\[
\Pr [T>t+\epsilon ]=\Pr [T>t+\epsilon |T>t]\Pr [T>t]=\Pr [T>\epsilon ]\Pr [T>t]\tag1
\]

ya que el tiempo de existencia del átomo no depende del momento en el que comencemos a contar. Por tanto de (1) encontramos que

\[
\begin{align*}
\frac1{\epsilon }(\Pr [T>t+\epsilon ]-\Pr [T>t])&=\frac1{\epsilon }(\Pr [T>\epsilon ]\cdot \Pr [T>t]-\Pr [T>t])=-\frac1{\epsilon }\Pr [T\leqslant \epsilon ]\cdot \Pr [T>t]\\
\therefore\quad F'_T(t)&=F'_T(0)  (1-F_T(t))\,\land\, F_T(0)=0\implies F_T(t)=1-e^{-F_T'(0) t}\tag2
\end{align*}
\]

Es decir, que si asumimos que \(F_T(t):=\Pr [T\leqslant t]\) es diferenciable entonces necesariamente \(F_T\) representa una función de distribución exponencial de parámetro \(\lambda:=F'_T(0)\).

De ahí inmediatamente se deduce que si \(N_t\) es la variable aleatoria que cuenta cuántos átomos de un material quedan pasado un tiempo \(t\) entonces \(N_t\sim \operatorname{Bin}(N_0, p_t)\) con \(p_t:=e^{-\lambda t}\), es decir, que \(N_t\) tiene una distribución binomial de parámetros \(N_0\) y \(p_t\), de ahí inmediatamente se sigue que \(\operatorname{E}[N_t]=N_0 e^{-\lambda t}\) (*), es decir, que el número esperado de átomos que quedan al tiempo \(t\) sigue la archiconocida fórmula de descomposición radiactiva.

Ahora bien, dadas las suposiciones anteriores imagino que esto no será así cuando el entorno interviene en la descomposición radiactiva, por ejemplo en reacciones nucleares en cadena dentro de una central nuclear. También me parece extraño que, en algunas "derivaciones" de (*) aparece una distribución de Poisson que no sé muy bien de dónde sale (donde lo he visto es en algunos artículos, donde parten de la idea a priori de una distribución de Poisson, en vez de lo que me parece mucho más obvio expuesto arriba).

[delmar]

Hola Masacroso

El planteo me parece correcto, T el tiempo de existencia de un atómo radiactivo, es una variable aleatoria y  un conglomerado de  \( N_0 \) atómos, se puede considerar una muestra aleatoria, con las razonables hipótesis de que  las variables son independientes e idénticamente distribuidas. En este punto independientemente del tipo de distribución (necesariamente continua) se ha de obtener para cada t una \( Pr(T>t) \) y \( N_t \) (atómos que quedan en la muestra después de un tiempo t) será una variable aleatoria binomial con parámetros \( N_0, \ Pr(T>t) \) y en efecto \( E(N_t)=N_0 \ Pr(T>t) \), eso es cierto. La demostración de que la distribución es exponencial no la entiendo, exactamente  el último paso de la ecuación (1). Por otro lado las pruebas de  bondad de ajuste se usan para probar que una distribución tiene una determinada forma y requieren de datos concretos. Mas tarde veré respecto a  Poisson.

Saludos

[Richard R Richard]

Hola a todos, yo le buscaré un fundamento más físico a lo que quieres plantear, y en base a eso que modelo matematico ajusta

La población N es de características discretas, el numero de átomos , no es una variable continua. si tiene que graficar la cantidad de elementos activos en función del tiempo, encontraras una función que decae en escalera como la dibujada en azul, que por las razones matemáticas que luego vengan van describiendo una curva muy similar a una exponencial inversa , la dibujada esquemáticamente en rojo.
Como bien dices el tiempo en que se cae de un escalón al siguiente  (la longitud del peldaño o meseta) es independiente de lo que haya pasado previamente y de lo que pase después... ahora y porque la forma de la curva entonces y no una recta decreciente en la que todos lo peldaños del mismo tamaño... la respuesta es que la cantidad de decaimientos del activo  se reduce con el tiempo justamente por haber menos cantidad susceptible de descomponerse.

Si  con varias muestras de cantidades N de activo registras la tasa de decaimientos cercanas a un tiempo t ,ves que dicha tasa es proporcional, tanto a la concentración inicial de activo como al tiempo transcurrido , como la variación $$C=\dfrac{\Delta N}{\Delta t}$$ es negativa porque reduce la concentración de activo puedes establecer la siguiente relación

$$-\dfrac{\Delta N}{\Delta t} =K\cdot N$$

En un proceso donde la cantidad de partículas es elevada la precisión se reduce y es aceptable estimar por medio de una función continua y pasamos a

$$\color{blue}-\color{black}\dfrac{\partial N}{\partial t} = \lambda N $$

aquí los matemáticos lo pasan a formas diferenciales y los burritos simplificamos pasando terminos y planteando una EDO

$$\dfrac{dN}{N}=-\lambda  dt$$

resolvemos la Ed entre un tiempo inicial 0 y un tiempo T

$$\ln N\big |^{N(T)}_{N_0}=-\lambda t \big |^{T}_{0}$$

que lleva a 

$$N_(T)=N_0e^{-\lambda T}$$

todo esto lo sabes al dedillo pero lo dejo para el que lea el hilo buscando algún tipo de respuesta

como en todos los experimentos con partícula radiactivas sucede lo mismo lo único que modela su diferencia es la tasa propia a la que desintegran para poder estimar ese parámetro se calcula el área bajo la curva azul , pasado al continuo el área debajo de la curva roja puede tener relación con esa constante de desintegración.

Si se deja el material el tiempo suficiente  es posible estimar un valor de dicha constante sin esperar un tiempo infinito, solo despreciando una área pequeña.

de allí surge la integral que planteo en ese hilo ani_pascual  para hallar el tiempo medio de desintegración

se independiza  del número de átomos de la muestra original y queda una función de densidad exponencial cuya media  se calcula

$$\tau=\displaystyle\int_0^{\infty}\lambda te^{-\lambda t}\,dt=\dfrac{1}{\lambda}$$

Así que conociendo el área bajo la curva podemos tener el parámetro $$\lambda$$ y con el estimar  concentraciones de ciertos activos históricamente o a futuro.

Sinceramente la introducción de la binomial cuando la probabilidad de éxito-fracaso depende del tiempo no me cierra, pero si el análisis tipo Poisson, esta variable se usa para determinar fallas en productos a lo largo del tiempo así que aquí en vez de probabilidad de falla es probabilidad de decaer radiactivamente... No le veo mayor inconveniente.

[Masacroso]

La demostración de que la distribución es exponencial no la entiendo, exactamente  el último paso de la ecuación (1).

La clave de ese paso es que la distribución de probabilidad es invariante respecto al tiempo debido a que sólo hay dos estados (átomo íntegro y átomo desintegrado) y estamos asumiendo que no afecta el entorno en ese proceso aleatorio. Es decir: si yo tengo un átomo (sin desintegrar) entonces no cambia en nada la probabilidad de que se desintegre en los próximos cinco minutos si lo observo a partir de ahora o en cualquier otro momento (suponiendo que aún no se haya desintegrado), ya que si no fuese así entonces o bien tendría más estados que representen una evolución hacia el estado desintegrado, o bien el medio le estaría afectando de algún modo y cambiando la probabilidad de desintegrarse.

Es decir: supongamos que \(p\in [0,1]\) es la probabilidad de que un átomo no se desintegre en los próximos cinco minutos, entonces ese valor de \(p\) no va a depender del momento que yo elija para hacer esa predicción, será la misma probabilidad de que no se desintegre en los próximos cinco minutos o, si no se desintegra dentro de una hora, que no se desintegre en los cinco minutos siguientes a esa hora. Eso es exactamente lo que significa la igualdad \(\Pr [T>t+s|T>t]=\Pr [T>s]\), en el ejemplo anterior \(t\) es una hora y \(s\) cinco minutos, es decir, la probabilidad de que no se desintegre en un intervalo de tiempo \(t+s\) sabiendo que no se ha desintegrado en un espacio de tiempo \(t\), es la misma probabilidad de que no se desintegre en un intervalo de tiempo \(s\).

No sé si ha quedado más claro.


Además de lo dicho en el primer mensaje debo añadir que es suficiente con suponer que la función \(F_T\) es continua para deducir que es necesariamente una distribución exponencial, es decir, no hace falta suponer que es diferenciable: sea \(S:=1-F_T\) entonces si \(F_T\) es una función de distribución continua y se cumple que \(S(t)S(s)=S(t+s)\) para todo \(t,s\geqslant 0\) se sigue que la función \(H:=\ln S\) es totalmente aditiva en su dominio (con \(H(0)=0\)), de ahí podemos deducir que \(q H(t)=H(qt)\) para cualesquiera \(q\in \mathbb{Q}_{\geqslant 0}\) y \(t\in \mathbb{R}_{\geqslant 0}\) (primero deducimos que se cumple para \(q\in \mathbb{N}_{\geqslant 0}\)), y por continuidad que también se cumple para cualquier \(q\in \mathbb{R}_{\geqslant 0}\), por tanto resulta que \(H(t)=tH(1)\) para todo \(t\in \mathbb{R}_{\geqslant 0}\), luego \(S(t)=(S(1))^t\), lo que finalmente nos deja que \(F_T(t)=1-(1-F_T(1))^t\), que es exponencial (ahí tendríamos que \(\lambda =-\ln (1-F_T(1))\)).

[Masacroso]

Sinceramente la introducción de la binomial cuando la probabilidad de éxito-fracaso depende del tiempo no me cierra, pero si el análisis tipo Poisson, esta variable se usa para determinar fallas en productos a lo largo del tiempo así que aquí en vez de probabilidad de falla es probabilidad de decaer radiactivamente... No le veo mayor inconveniente.

Lo de la binomial es una consecuencia lógica de las suposiciones iniciales, ya que si los tiempos de desintegración son variables aleatorias idénticamente distribuidas con distribución exponencial, entonces si defines \(N_t\) como el número de átomos aún sin desintegrar pasado un tiempo \(t\) eso es igual a

\[
N_t=\sum_{k=1}^{N_0}𝟙_{\{T_k>t\}}\tag3
\]

donde cada \(T_k\) es una de esas variables aleatorias de las que hablábamos antes que definen el tiempo de vida del \(k\)-ésimo átomo (de un total de \(N_0\) átomos iniciales). Si \(T_k\sim \operatorname{Exp}(\lambda )\) para cada \(k\in \{1,\ldots ,N_0\}\) entonces \(𝟙_{\{T_k>t\}}\sim \operatorname{Ber}(e^{-\lambda t})\), es decir que cada \(X_k:=𝟙_{\{T_k>t\}}\) es una variable aleatoria con distribución de Bernoulli (no se desintegró después de \(t\) tiempo o sí lo hizo) con probabilidad de no haberse desintegrado aún \(p=e^{-\lambda t}\) (ya que \(\Pr [X_k=1]=\Pr [T_k>t]\)). Suma de v.a. i.i.d. con distribución de Bernoulli es lo que definen una binomial, es decir que \(N_t\sim \operatorname{Bin}(N_0,e^{-\lambda t})\).

Además, en el enlace al artículo que posteo al final de mi primera respuesta (en este hilo) hablan de tal modelo en la parte tres. Tengo que echarle otra mirada a lo de la Poisson, qué representa exactamente o que aproximación hace (si es que hace alguna).

[delmar]

La demostración de que la distribución es exponencial no la entiendo, exactamente  el último paso de la ecuación (1).

La clave de ese paso es que la distribución de probabilidad es invariante respecto al tiempo debido a que sólo hay dos estados (átomo íntegro y átomo desintegrado) y estamos asumiendo que no afecta el entorno en ese proceso aleatorio. Es decir: si yo tengo un átomo (sin desintegrar) entonces no cambia en nada la probabilidad de que se desintegre en los próximos cinco minutos si lo observo a partir de ahora o en cualquier otro momento (suponiendo que aún no se haya desintegrado), ya que si no fuese así entonces o bien tendría más estados que representen una evolución hacia el estado desintegrado, o bien el medio le estaría afectando de algún modo y cambiando la probabilidad de desintegrarse.

Es decir: supongamos que \(p\in [0,1]\) es la probabilidad de que un átomo no se desintegre en los próximos cinco minutos, entonces ese valor de \(p\) no va a depender del momento que yo elija para hacer esa predicción, será la misma probabilidad de que no se desintegre en los próximos cinco minutos o, si no se desintegra dentro de una hora, que no se desintegre en los cinco minutos siguientes a esa hora. Eso es exactamente lo que significa la igualdad \(\Pr [T>t+s|T>t]=\Pr [T>s]\), en el ejemplo anterior \(t\) es una hora y \(s\) cinco minutos, es decir, la probabilidad de que no se desintegre en un intervalo de tiempo \(t+s\) sabiendo que no se ha desintegrado en un espacio de tiempo \(t\), es la misma probabilidad de que no se desintegre en un intervalo de tiempo \(s\).

No sé si ha quedado más claro.

Ahora sí, esta entendido completamente, se esta haciendo uso de una hipótesis el atómo no tiene memoria esto es razonable, la determinación del parámetro ha de hacerse con observaciones empíricas, y es característica del material radiactivo.

Saludos

[delmar]

Hola Richard R Richard

Hola a todos, yo le buscaré un fundamento más físico a lo que quieres plantear, y en base a eso que modelo matematico ajusta

La población N es de características discretas, el numero de átomos , no es una variable continua. si tiene que graficar la cantidad de elementos activos en función del tiempo, encontraras una función que decae en escalera como la dibujada en azul, que por las razones matemáticas que luego vengan van describiendo una curva muy similar a una exponencial inversa , la dibujada esquemáticamente en rojo.
Como bien dices el tiempo en que se cae de un escalón al siguiente  (la longitud del peldaño o meseta) es independiente de lo que haya pasado previamente y de lo que pase después... ahora y porque la forma de la curva entonces y no una recta decreciente en la que todos lo peldaños del mismo tamaño... la respuesta es que la cantidad de decaimientos del activo  se reduce con el tiempo justamente por haber menos cantidad susceptible de descomponerse.

Si  con varias muestras de cantidades N de activo registras la tasa de decaimientos cercanas a un tiempo t ,ves que dicha tasa es proporcional, tanto a la concentración inicial de activo como al tiempo transcurrido , como la variación $$C=\dfrac{\Delta N}{\Delta t}$$ es negativa porque reduce la concentración de activo puedes establecer la siguiente relación

$$-\dfrac{\Delta N}{\Delta t} =K\cdot N$$

En un proceso donde la cantidad de partículas es elevada la precisión se reduce y es aceptable estimar por medio de una función continua y pasamos a

$$\dfrac{\partial N}{\partial t} = \lambda N $$

Esta muy bien el aporte, es lo que ocurre físicamente las observaciones que  llevan a una ley, en donde puede estimarse \( \lambda \) y se tiene \( \displaystyle\frac{dN}{dt}=-\lambda N \) y sencillamente  suponiendo que \( N>0 \) se tiene \( \displaystyle\frac{N'(t)}{N(t)}=-\lambda\Rightarrow{\displaystyle\int_{0}^{\tau}\displaystyle\frac{N'(t)}{N(t)} \ dt=-\lambda \tau} \) acá se aplica el teorema de integración por sustitución y se llega a la expresión que has obtenido.

Saludos

[Masacroso]

Tengo que echarle otra mirada a lo de la Poisson, qué representa exactamente o que aproximación hace (si es que hace alguna).

En el artículo adjunto veo que, efectivamente, la distribución de Poisson es una aproximación a la verdadera distribución de desintegración radiactiva, que es binomial. En el citado artículo (muy cortito) se ponen a prueba los límites y usos de tal aproximación.

Añado: adjunto otro artículo que trata el mismo tema, más antiguo (de 1983) y mucho más extenso.

[ani_pascual]

Hola:

...
aquí los matemáticos lo pasan a formas diferenciales y los burritos simplificamos pasando terminos y planteando una EDO

$$\dfrac{dN}{N}=-\lambda  dt$$

resolvemos la Ed entre un tiempo inicial 0 y un tiempo T

$$\ln N\big |^{N(T)}_{N_0}=-\lambda t \big |^{T}_{0}$$

que lleva a 

$$N_(T)=N_0e^{-\lambda T}$$
...

Esto me ha hecho gracia...  Yo creía que era al revés, que ahí los ingenieros usan las diferenciales, pasándolas de un miembro a otro...
\( \dfrac{dN}{dt}=-\lambda N\Longrightarrow \dfrac{dN}{N}=-\lambda dt\Longrightarrow \ln N=-\lambda t+C\Longrightarrow N(t)=Ke^{-\lambda t} \) y como es \( N(0)=N_0 \) resulta \( K=N_0 \), y queda \( N(t)=N_0e^{-\lambda t} \)
y que los matemáticos resuelven el PVI
\( \left\{\begin{array}{l}N'(t)+\lambda N(t)=0\\N(0)=N_0\end{array}\right. \)
razonando que al ser  \( r+\lambda=0 \) la ecuación característica de la EDO lineal de primer orden, cuya solución es \( r=-\lambda \), resulta que la solución general de la EDO es  \( N(t)=Ke^{-\lambda t} \) y, al aplicar la condición inicial, queda \( K=N_0\Longrightarrow N(t)=N_0e^{-\lambda t} \)
El asunto probabiístico lo tengo muy olvidado ... No obstante, quiero decir me parece muy interesante el no off-topic de Masacroso 
Saludos

[Masacroso]

El tema de la utilización de una Poisson es el siguiente: sea \(N_0\) una cierta cantidad de átomos que se descomponen radiactivamente (que como vimos antes tal ley de descomposición respecto al tiempo transcurrido es una distribución binomial), entonces podemos definir recursivamente los tiempos \(\tau _k\) de descomposición del material así

\[
\tau _0:=0\quad  \text{ y }\quad  \tau _{k+1}:=\min\{ t>0: N_{t+\tau _k}-N_{\tau _k}<0 \}\quad \text{ para }k\geqslant 0\tag4
\]

Arriba las variables aleatorias \(\tau _k\) se denominan tiempos de entre llegadas, representan los tiempos en los que se suceden las diferentes descomposiciones radiactivas del material contando desde la última descomposición registrada (donde además contamos como una única desintegración los casos en los que haya más de una desintegración al mismo tiempo, ya que esos eventos tienen probabilidad cero). Entonces la aproximación de Poisson es buena cuando los \(\tau _k\) son aproximadamente independientes e idénticamente distribuidos, es decir, cuando sean muy semejantes a los tiempos de entre llegadas de un verdadero proceso de Poisson.

Por construcción tenemos que \(N_{\tau_k}-N_{t+\tau _k}\) son los átomos que se desintegran en un tiempo \(t\) de un total de \(N_{\tau _k}=N_0-k\) (casi seguro) átomos, es decir que \(N_{\tau_k}-N_{t+\tau _k}\sim \operatorname{Bin}(N_0-k, e^{-\lambda t})\). De ahí se sigue sin mucha dificultad que \(\tau _k\sim \operatorname{Exp}(\lambda (N_0-k+1))\) para \(k\geqslant 1\).

Por tanto \(\tau _1\) y \(\tau _k\) tendrán distribuciones más o menos semejantes dependiendo de los valores de \(N_0\), \(k\) y \(\lambda \). Por tanto los tiempos de entre llegada \(\tau _k\) que ocurran en un rango \(L\) de tiempo de medición de las descomposiciones radiactivas, serán más o menos parecidos en distribución dependiendo de \(N_0\) y \(\lambda \). Es decir, dado una cierta cantidad de material radiactiva \(N_0\) inicial con vida media \(\lambda^{-1}\), el error estadístico que se obtiene asumiendo un proceso de Poisson de parámetro \(\lambda N_0\) depende del tiempo total \(L\) que tomemos para hacer la medición de descomposición radiactiva. A mayor tiempo, mayor el error estadístico. Para valores adecuados de \(L\) el error será pequeño y la aproximación por una distribución de Poisson será adecuada.