Una de las formas para ver intuitivamente que cada \(N_t\) tiene distribución binomial es que el número de descomposiciones atómicas de un material con un número finito \(N_0\) de átomos no puede tomar cualquier valor, a lo sumo se desintegran \(N_0\) átomos, no pueden desintegrarse más de los que hay. Si \(N_t\) fuese una Poisson habría entonces una probabilidad positiva para que se desintegraran más átomos de los que hay en la muestra, lo cual es imposible.
Ok, veamos si van por aquí los tiros, un átomo tiene dos posibilidades "sin decaer" o "decaído" ,la probabilidad de que esto suceda es exponencial $$p=\lambda e^{-\lambda t}$$, no $$p=e^{-\lambda t}$$ en una muestra de $$N$$ átomos entonces la probabilidad de encontrar $$N_t$$ átomos sin decaer se puede estimar como una distribución binomial para cierto tiempo $$t$$ fijado.
Comprendo lo de Poisson porque por definición física del problema el mismo átomo no puede decaer 2 veces.
Creo que ahora veo algo que no te entendía porque creo haces la esperanza de tal binomial obtienes $$E(N_t)=N_0 p=N_0e^{-\lambda t}$$, y debería ser $$E(N_t)=N_0 p=N_0\lambda e^{-\lambda t}$$ lo que todavía me dificulta entender cual de las dos es correcta, mas en particular lo que significaba y es que si se repite la prueba una cantidad de veces y se evalúa el material todavía activo a un tiempo $$t$$ definido entonces la cantidad de átomos que se espera encontrar responde a la esperanza de dicha binomial para ese tiempo dado. Esto en la práctica lo vez reflejado como que el decaimiento sigue la función exponencial negativa. Si es cierto a dónde es que se ha ido ese $$\lambda$$ de diferencia
Si \(X\sim\operatorname{Bin}(n,p)\) entonces \(\operatorname{E}[X]=np\). En este caso \(N_t\sim \operatorname{Bin}(N_0,e^{-\lambda t})\), ya que la probabilidad de permanecer sin desintegrarse de cualquiera de los átomos de la muestra inicial \(N_0\) pasado un tiempo \(t\) es \(e^{-\lambda t}\), luego \(\operatorname{E}[N_t]=N_0e^{-\lambda t}\).
Añado: podemos describir \(D_t=\sum_{k=1}^{N_0}X_k\) y \(\tilde D_t=\sum_{k=1}^{N_0}Y_k\) donde \(X_k\sim \operatorname{Ber}(1-e^{-\lambda t})\) e \(Y_k\sim \operatorname{Poi}(\lambda t)\) donde todas las \(X_k\) e \(Y_k\) son independientes. Por tanto se puede modelar tal aproximación como suma de aproximaciones, donde cada \(X_k\) es aproximada por una \(Y_k\). No sé si esto esto pueda ser útil, pero es interesante.
Usando lo anterior, conociendo que el espacio de medidas finitas con signo es un álgebra de Banach respecto a la convolución como producto y la norma de variación total, y conociendo la identidad \(\sup_{A}|\mu (A)-\nu (A)|=\frac1{2}\|\mu -\nu \|\), donde la norma \(\left\| \,\cdot\, \right\|\) es la ya mencionada variación total de una medida con signo, obtengo el siguiente resultado
\[
\sup_{A\subset \mathbb{N}_{\geqslant 0}}|P_{D_t}(A)-P_{\tilde D_t}(A)|\leqslant \epsilon \,\text{ cuando }\,3-(1+2\epsilon )^{1/N_0}\leqslant 2(1+\lambda t)e^{-\lambda t}\tag6
\]
Aunque seguro que hay cotas más ajustadas para relacionar el error máximo de la aproximación, dado por \(\sup_{A}|P_{D_t}(A)-P_{\tilde D_t}(A)|\), con los valores de \(\lambda\), \(t\) y \(N_0\).
Demostración
Sea \(P\) la medida de distribución de cada \(X_k\) y \(\tilde P\) la medida de distribución de cada \(Y_k\) y \(\mathcal{E}:=\tilde P-P\), entonces si usamos la convolución como el producto de medidas en las siguientes identidades, tenemos que
\[
\begin{align*}
\|P^{N_0}-{\tilde P}^{N_0}\|&=\|P^{N_0}-(\mathcal{E}+P)^{N_0}\|\\
&=\left\| \sum_{k\geqslant 1}\binom{N_0}{k}\mathcal{E}^k P^{N_0-k} \right\|\\
&\leqslant \sum_{k\geqslant 1}\binom{N_0}{k}\|\mathcal{E}\|^k \|P\|^{N_0-k}\\
&=\sum_{k\geqslant 1}\binom{N_0}{k}\|\mathcal{E}\|^k\\
&=(\|\mathcal{E}\|+1)^{N_0}-1\tag7
\end{align*}
\]
Luego es fácil de calcular que \(\|\mathcal{E}\|=2(1-(1+\lambda t)e^{-\lambda t})\), de donde se sigue fácilmente el resultado en (6) haciendo uso de la identidad mencionada y algo de álgebra.
La parte de la derecha en (6) puede cambiarse por
\[
\text{ cuando }\,t\leqslant \frac1{\lambda }\sqrt{(1+2\epsilon )^{1/N_0}-1}\tag{8a}
\]
que es una cota algo menos fina, pero más práctica para hallar los valores de \(t\) que cumplan con un error estadístico asumido \(\epsilon\leqslant 1/2 \). Otra cota más burda, pero más sencilla de calcular, sería
\[
\text{ cuando }\, t\leqslant \epsilon (2^{1/N_0}-1)t_{1/2},\quad t_{1/2}:=\frac{\ln 2}{\lambda }\tag{8b}
\]
También válida sólo cuando \(\epsilon \leqslant 1/2\). Resultados muy semejantes se obtienen si en vez de la anterior aproximación utilizamos una tal que \(Y_k\sim \operatorname{Poi}(1-e^{-\lambda t})\).
Añado que, ya que en general \(N_0\) es un número inmenso, el error al aproximar la binomial por una normal va a ser despreciable y seguramente mucho más bajo que el que se obtiene al aproximar por una Poisson.
Actualización: mirando en internet veo que existe un método matemático, llamado método de Stein-Chen,
que demuestra que\[
d_{TV}(\operatorname{Bin}(n,p),\operatorname{Poi}(np))\leqslant np^2 \cdot \min\{1,\frac1{np} \}
\]
Además ya he descubierto por qué en muchos libros de texto la ley de decaimiento se enuncia como \( N_t=N_0e^{-\lambda t} \), en vez de la fórmula correcta que sería \( \mathrm{E}[N_t]=N_0e^{-\lambda t} \), y es porque el coeficiente de variación de \( N_t \) es muy pequeño, lo cual quiere decir que \( N_t \) tiene una desviación típica muy pequeña respecto a su media, y por tanto \( N_t\approx \mathrm{E}[N_t] \) (en términos relativos).
