[Juan Pablo Sancho]

El enunciado dice:
En cierta roca lunar se encontró igual contenido en el número de átomos de potasio que de argón.Considere que todo el argón es el resultado del decrecimiento radioactivo del potasio(su vida media es de alrededor de \( 1.28 \cdot 10^9 \) años ) y que una de cada nueve desintegraciones del átomo de potasio produce un  átomo de argón,¿cuál es la edad de la roca,medida desde el tiempo en que contenía potasio solamente?
Respuesta del libro:
Cerca de 1250 millones de años
El resultado no se parece ni por asomo a lo que propongo, gracias por la ayuda.
El planteo que pongo:
Sea \( C_{p_0} \) el potasio original , \( C_{p_f} \) y \( C_{a_f} \) la cantidad de potasio y  argón en el momento de estudio, entonces:
\( \dfrac{1}{9} \cdot (C_{p_0} - C_{p_f}) = C_{a_f}  \) luego \( C_{p_0} = C_{p_f} + 9 \cdot C_{a_f} = C_{p_f} + 9 \cdot C_{p_f} = 10 \cdot C_{p_f}  \) entonces:
\( \dfrac{C_{p_0}}{10} = C_{p_0} \cdot e^{-kt}  \) donde \( k = 5.415212348 \cdot 10^{-10}  \) me sale \(  t = 4252067962  \) años

[delmar]

Hola Juan Pablo Sancho veo correcto el procedimiento y la respuesta a la que llegas.


Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Muchas gracias (muchísimas) delmar.

[ani_pascual]

Hola:

El enunciado dice:
En cierta roca lunar se encontró igual contenido en el número de átomos de potasio que de argón.Considere que todo el argón es el resultado del decrecimiento radioactivo del potasio(su vida media es de alrededor de \( 1.28 \cdot 10^9 \) años ) y que una de cada nueve desintegraciones del átomo de potasio produce un  átomo de argón,¿cuál es la edad de la roca,medida desde el tiempo en que contenía potasio solamente?
...

Hay algo que no me cuadra ..
Si inicialmente toda la muestra era potasio y en la actualidad la mitad de ella es potasio, eso quiere decir que la edad de la roca es precisamente la semivida del potasio, es decir, \( t_{\frac{1}{2}} \) y como se conoce la vida media, \( \tau \) y se tiene que \( t_{\frac{1}{2}}=\tau\ln 2 \), resulta que la edad de la roca es \( 1,28\cdot 10^9 \ln 2\simeq 887,3 \) millones de años.
En definitiva, que sobraría el dato de que una de cada nueve desintegraciones del átomo de Potasio produce un átomo de Argón.
Saludos

[Richard R Richard]

Hola:

El enunciado dice:
En cierta roca lunar se encontró igual contenido en el número de átomos de potasio que de argón.Considere que todo el argón es el resultado del decrecimiento radioactivo del potasio(su vida media es de alrededor de \( 1.28 \cdot 10^9 \) años ) y que una de cada nueve desintegraciones del átomo de potasio produce un  átomo de argón,¿cuál es la edad de la roca,medida desde el tiempo en que contenía potasio solamente?
...

Hay algo que no me cuadra ..
Si inicialmente toda la muestra era potasio y en la actualidad la mitad de ella es potasio,

Hola ani_pascual , observa que eso no es la mitad del potasio original, sino que la cantidad del potasio actual es igual a la de argón, en todo caso es la mitad de la suma del potasio y argón actuales.

Si llamas $$C_o$$ a la cantidad original de potasio, y $$C_d$$ a la cantidad desintegrada , lo que tienes es que la cantidad de argón $$C_a$$  es la 9na parte de la cantidad desintegrada, los otros 8/9 pueden haber resultados en átomos de otro número atómico. Lo que te dice que la cantidad actual de potasio $$C_k$$ es igual  la de argón.

Tienes las siguientes relaciones

$$C_o-C_d=C_a=C_k$$ Ec1

$$C_a=\dfrac{C_d}{9}\quad\to\quad C_d=9C_a$$ Ec2

si reemplazas en la Ec1

$$C_o-9C_a=C_a\quad\to\quad C_a=\dfrac{C_o}{10}$$

si el tiempo dado es el de semivida la constante de desintegración resulta  $$\lambda=\dfrac{ln 2}{t_{1/2}}=\dfrac{0.693..}{1.28 \cdot 10^9} = 5.415212348 \cdot 10^{-10}\text{años}^{-1}$$

luego $$C_a=C_k=\dfrac{C_o}{10}=C_oe^{-\lambda t}$$

despejando $$t$$ y calculando te queda lo que han ya posteado $$t = 4252067962$$ años

[ani_pascual]

...
si el tiempo dado es el de semivida la constante de desintegración resulta  $$\lambda=\dfrac{ln 2}{t_{1/2}}=\dfrac{0.693..}{\textcolor{red}{1.28 \cdot 10^9}} = \textcolor{red}{5.415212348 \cdot 10^{-10}\text{años}^{-1}}$$

luego $$C_a=C_k=\dfrac{C_o}{10}=C_oe^{-\lambda t}$$

despejando $$t$$ y calculando te queda lo que han ya posteado $$t = 4252067962$$ años

Gracias Richard R Richard por las explicaciones. Me queda más claro.    excepto lo que he marcado en rojo. 
No obstante, tenía entendido que la semivida es el tiempo que transcurre para que la muestra se reduzca a la mitad de la original, es decir, \( C_k=\dfrac{C_0}{2} \) en cuyo caso es \( t_{\frac{1}{2}}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}=\tau\ln 2 \), donde es \( \dfrac{1}{\lambda}=\tau=1,28\cdot 10^9\, \) años, la vida media, que a mi juicio es el dato que dan en el enunciado.
Así pues, a mí los cálculos me dan que la edad de la roca es \( t=-\tau \ln 0,1\simeq 2947\, \) millones de años.
Por cierto, no sé cómo habéis calculado, tanto Juan Pablo Sancho como tú, el valor de \( k=\lambda \). A mí me sale, usando que la vida media del potasio es \( \tau=1,28\cdot 10^9\, \) años, que es \( \lambda=k=\dfrac{1}{\tau}=7,812\cdot 10^{-10}\neq 5,4152 \cdot 10^{-10} \) 
Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Te faltó multiplicar por \( \ln(2) \)
Si \( P(0) \) es la cantidad inicial entonces \( \dfrac{P(0)}{2} = P(0) \cdot e^{-k \cdot 1.28 \cdot 10^9}  \) para el tiempo de la vida media luego:
\( \dfrac{1}{2} = e^{-k \cdot 1.28 \cdot 10^9}  \) queda \( -\ln(2) = -k \cdot 1.28 \cdot 10^9  \) entonces \( k = \dfrac{\ln(2)}{1.28 \cdot 10^9}  \) y tu estás poniendo:
\( k = \dfrac{1}{1.28 \cdot 10^9}  \)

[Richard R Richard]

El dato del que disponemos según el enunciado es el tiempo de semivida. Si reemplazamos ese valor en la ecuación de la concentración en funcion del tiempo

$$C(t)=C_0e^{-\lambda t}$$

obtenemos

$$\dfrac{C_0}{2}=C_0e^{-\lambda t_{1/2}}$$

operando

$$\dfrac{1}{2}=e^{-\lambda 1.28\times 10^{9} }$$

podemos entonces despejar la constante de desintegración $$\lambda$$  por pasaje de términos

$$ln\left(\dfrac12\right)=-ln2=ln\left(e^{-\lambda 1.28\times 10^{9} }\right)=-\lambda 1.28\times 10^{9} $$

$$ln2=\lambda 1.28\times 10^{9}\quad \to \quad \lambda=\dfrac{ln2}{1.28\times 10^{9}}=5.415212348 \cdot 10^{-10}\text{años}^{-1}$$

con ese valor de constante de desintegración  $$\lambda$$ calculamos el tiempo para que la concentración se reduzca a la decima parte

$$\dfrac{1}{10}= e^{-5.415212348 \cdot 10^{-10}\cdot  t}\quad \to \quad ln\left(\dfrac1{10}\right)=-ln10=-5.415212348 \cdot 10^{-10}\cdot  t$$

$$t=\dfrac{ln10}{5.415212348 \cdot 10^{-10}}=4.252.067.961,45\text{años}$$


si te fijas $$t=\dfrac{ln10}{ln2}1.28\times 10^{9}\text{años}$$

[ani_pascual]

El enunciado dice:
En cierta roca lunar se encontró igual contenido en el número de átomos de potasio que de argón.Considere que todo el argón es el resultado del decrecimiento radioactivo del potasio(su vida media es de alrededor de \( 1.28 \cdot 10^9 \) años ) y que...

 

El dato del que disponemos según el enunciado es el tiempo de semivida...

Me he guiado por el enunciado donde hablan de vida media (\( \tau \)) en vez de semivida (\( t_{1/2}) \) 
Saludos

[Juan Pablo Sancho]

En la wikipedia dice lo mismo que mencionas, pero si tomo cualquier libro (sólo lo he visto en dos) de edo define la vida media como en el ejercicio.