Discúlpame, ya lo he corregido, entonces
El problema dado es:
\( z(x_1, x_2) = -2x_1 + 8x_2 + x_1x_2 + x_1^2 + 6x_2^2 \)
Para encontrar un mínimo local sin restricciones, primero calculamos las derivadas parciales con respecto a
\( x_1 \ y \ x_2 \), luego resolvemos el sistema de ecuaciones resultantes.
Derivada parcial con respecto a
\( x_1 :
\frac{\partial z}{\partial x_1} = -2 + x_2 + 2x_1
\)
Derivada parcial con respecto a\( x_2 : \)
\(
\frac{\partial z}{\partial x_2} = 8 + x_1 + 12x_2
\)
Para encontrar el punto crítico, igualamos ambas derivadas parciales a 0:
\(
-2 + x_2 + 2x_1 = 0 (1)
\\
8 + x_1 + 12x_2 = 0 (2)
\)
De la ecuación (1), resolvemos para
\( x_2 :
\\
x_2 = 2 - 2x_1
\)
Se sustituye esta expresión en la ecuación (2):
\(
8 + x_1 + 12(2 - 2x_1) = 0
\\
8 + x_1 + 24 - 24x_1 = 0
\\
32 - 23x_1 = 0
\\
x_1 = \frac{32}{23}
\)
Al sustituir \( x_1 = (\frac{32}{23} ) \ \ en \ x_2 = 2 - 2x_1 :
\\
x_2 = 2 - 2 \left(\frac{32}{23}\right) = \frac{64}{23} = \frac{46}{23} = \frac{64}{23} - \frac{46}{23} = -\frac{18}{23}
\)
Por lo tanto, el punto crítico es:
\(
(x_1, x_2) = \left(\frac{32}{23}, - \frac{18}{23}\right)
\)
Para verificar si este punto es un mínimo, examinamos la matriz Hessiana ( H ) de las segundas derivadas parciales de\( ( z(x_1, x_2) ): \)
\(
H = \begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 z}{\partial x_{1}^{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}} & \frac{\partial^2 z}{\partial x_{1}\partial x_{2}} \\[5pt]
\frac{\partial^2 z}{\partial x_{2}\partial x_{1}} & \frac{\partial^2 z}{\partial x_{22}}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\[5pt]
1 & 12
\end{pmatrix}
\)
El determinante de ( H ) es:
\(
det(H) = 2\times12 - 1\times1 = 24 - 1 = 23 >0
\)
Esto está correcto?
Ahora, para determinar si este punto crítico también es una solución óptima del problema con restricciones, se debe verificar si cumple con las restricciones impuestas:
\( (x_1 + 2x_2 \leq 4)
(2x_1 + x_2 \leq 5)
(x_1, x_2 \geq 0) \)
Al sustituir los valores de \( (x_1) \ y \ (x_2):
\) para la primera restriccion:
\( x_1 + 2x_2 = \frac{32}{23} + 2 \cdot -\frac{18}{23} = \frac{32}{23} + \frac{36}{23} = \frac{68}{23} \approx 2.96
\)
Como (2.96 < 4), se cumple la restricción.
Para la segunda restricción:
\( 2x_1 + x_2 = 2 \cdot \frac{32}{23} + \frac{18}{23} = \frac{64}{23} + (-\frac{18}{23} )= \frac{82}{23} \approx 3.57 \)
Como \( (3.57 < 5) \), se cumple la restricción.
Para las condiciones no negativas:
Ambos valores son positivos:
\( (x_1 = \frac{32}{23} > 0) \ y \ (x_2 = \frac{18}{23} > 0) \)
Entonces como el punto crítico cumple todas las restricciones del problema, podemos concluir que este punto no solo es un mínimo local del problema sin restricciones, sino que también es una solución óptima del problema con restricciones? .
Cómo soluciono la parte b) ? Si elijo como método de descenso, el método del gradiente para resolver el problema sin restricciones, los resultados obtenidos deben coincidir con este punto mínimo encontrado?
