Hola
Luis pero que procedimiento usaste para llegar a la conclusión de que el mínimo se encuentra en el punto (1,0)?
¡Pero te lo he indicado¡¿lo has intentado? Si no lo has entendido, ¿por qué no dices algo así cómo "cuando propones esto (indicas que) no lo entiendo".
Mi propuesta (por tercera vez) es esta:
Si el mínimo es uno de ellos no tienes más que evaluar la función en los cuatro y quedarte con aquel donde toma el valor más pequeño.
Pero antes has de comprobar si el mínimo se alcanza sobre alguna de esas restas. Eso se puede hacer con Lagrange con restricciones o sustituyendo en la función y trabajando en una variable.
Por ejemplo sobre la recta \( x_1+2x_2=4 \), puedes considerar la función de Lagrange:
\( L(x_1,x_2,\lambda)=f(x_1,x_2)+\color{red}\lambda(x_1+2x_2-4)\color{black} \) (CORREGIDO)
y analizar los puntos críticos donde se anulan las parciales (si no cumplen todas las restricciones los descartas de inmediato).
O bien despejar \( x_1=4-2x_2 \) y analizar el mínimo de la función en una variable:
\( g(x_2)=f(4-2x_2,x_2) \).
Si detallo el ejemplo. Por Lagrange:
\( L(x_1,x_2,\lambda)=f(x_1,x_2)+\lambda(x_1+2x_2-4)=0 \)
con \( f(x_1,x_2)= -2x_1 + 8x_2 + x_1x_2 + x_1^2 + 6x_2^2 \).
Las derivadas parciales igualadas a cero te llevan a las ecuaciones:
\( -2+x_2+2x_1+\lambda=0 \)
\( 8+x_1+12x_2+2\lambda=0
\)
\( x_1+2x_2-4=0 \)
Resolviendo se llaga al punto crítico \( (x_1,x_2)=(4,0) \); pero NO cumple todas las otras restricciones, luego en este tramo no hay candidatos a mínimos.
Por ejemplo sobre la restricción \( x_2=0 \) con el otro método que te indicaba. Consideramos la función:
\( f(x_1)=z(x_1,0)=-2x_1+x_1^2 \)
Su derivada es:
\( f'(x_1)=-2+2x_1 \)
que se anula en \( x_1=1 \).
Por tanto \( (x_1,x_2)=(1,0) \) que SI cumple las otras restricciones SI es un candidato a punto donde se alcanza el mínimo.
Te faltaría analizar la restricción \( x_1=0 \) y \( 2x_!+x_2=5 \).
Saludos.
