[lorena.zambrano]

Luis he intentado Derivar el problema dual para resolver por el método del gradiente, el problema es que al parecer no lo he hecho correctamente porque al aplicar el método del gradiente al problema dual, el resultado en la función objetivo es muy diferente al problema primal, ayúdame por favor. Te adjunto lo que hice  :'(

[Luis Fuentes]

Hola

Luis he intentado Derivar el problema dual para resolver por el método del gradiente, el problema es que al parecer no lo he hecho correctamente porque al aplicar el método del gradiente al problema dual, el resultado en la función objetivo es muy diferente al problema primal, ayúdame por favor. Te adjunto lo que hice  :'(

Es que has introducido (no se porqué) variables de más. La función objetivo era:

\( z = -2x_1 + 8x_2 + x_1x_2 + x_1^2+6x_2^2 \)

Pero tu ahí en ese PDF pones:

\( z = -2x_1 + 8x_2 + x_1x_2 + \color{red}y_1^2+6y_2^2\color{black} \)

¡Olvídate de esas \( y_i \), cámbialas por las \( x_i \) originales y vuelve a intentarlo!.

Saludos.

[lorena.zambrano]

Entonces primero introducimos los multiplicadores de Lagrange λ₁ y λ₂ para las dos primeras restricciones:

\( L(x_1 x_2, λ_1, λ_2) = -2x_1 + 8x_2 + x_1x_2+ x_2^2 + 6x_2^2 + λ_1(x_1 + 2x_2 - 4) + λ_2(2x_1 + x_2 - 5) \)

Se Deriva el Lagrangiano respecto a \( x_1 \), \( x_2, λ_1 y λ_2 \) e igualamos a cero:

\( ∂L/∂x_1 = -2 + x_2 + λ_1 + 2λ_2 = 0\\
∂L/∂x_2 = 8 + x_1 + 2x_2 + 2λ_1 + λ_2 = 0\\
∂L/∂λ_1 = x_1 + 2x_2 - 4 = 0\\
∂L/∂λ_2 = 2x_1 + x_2 - 5 = 0 \)

Las dos últimas ecuaciones forman un sistema de ecuaciones lineales en términos de \( x_1 \) y \( x_2 \). Resolvamos este sistema:

\( x_1 + 2x_2 = 4\\
2x_1 + x_2 = 5 \)

Al multiplicar la primera ecuación por \( -2 \) y sumándola a la segunda, obtenemos:

\( -3x_2 = -3
 \)

Por lo tanto, \( x_2= 1 \). Sustituyendo \( x_2 = 1 \) en la primera ecuación:

\( x_2 + 2(1) = 4 \)
Entonces, \( x_1 = 2 \).

Ahora, sustituyendo \( x_1 = 2 \) y \( x_2 = 1 \) en las dos primeras ecuaciones del sistema original, podemos encontrar los valores de \( λ_1 \) y \( λ_2 \):

\( -2 + 1 + λ_1 + 2λ_2 = 0 \\
8 + 2 + 2 + 2λ_1 + λ_2 = 0
 \)

Simplificando:

\( λ_1+ 2λ_2 = 1\\
2λ_1 + λ_2 = -12
 \)
Solución del sistema:

\( λ_1 = -25/3\\
λ_2 = 14/3
 \)
 Luis por favor ayúdame a resolverlo paso a paso, el valor de lambda 1 es negativo, pero tengo las condiciones de no negatividad, entonces ya no sé cómo plantearlo.