Observemos que el número \( t \) es una combinación algebraica de los números \( \alpha := \sqrt[6]{2} \), \( \beta := \sqrt[6]{3} \) y \( \gamma := \sqrt{11} \). Se puede simplificar la expresión hasta quedar
\( t = \displaystyle\left( \frac{2}{3\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2}\right)\!\frac{\gamma}{\beta} - \left( \frac{\alpha}{\beta} \right)^{\!\! 4} - \frac{2}{3}. \)
A partir de aquí, vamos a aplicar la teoría de extensiones de cuerpos. Sea \( K = \mathbb{Q}(\alpha, \beta, \gamma) \), es decir, el menor subcuerpo de \( \mathbb{R} \) generado por \( \alpha \), \( \beta \) y \( \gamma \) sobre \( \mathbb{Q} \). Así, por ejemplo, \( t \in{} K \).
Definición. Un
automorfismo de \( K \) es una aplicación \( \sigma \colon K \longrightarrow K \) que cumple:
\( \sigma(x + y) = \sigma(x) + \sigma(y), \)
\( \sigma(xy) = \sigma(x)\sigma(y), \)
\( \sigma(0) = 0, \quad\sigma(1) = 1 \)
para todo \( x, y \in{} K \).
Si evaluamos un automorfismo \( \sigma \) de \( K \) cualquiera a \( t \), nos queda:
\( \sigma(t) = \displaystyle\left( \frac{2}{3\sigma(\alpha)^2} + \frac{1}{\sigma(\beta)^2}\right)\!\frac{\sigma(\gamma)}{\sigma(\beta)} - \left( \frac{\sigma(\alpha)}{\sigma(\beta)} \right)^{\!\! 4} - \frac{2}{3}. \)
Una consecuencia inmediata de la definición de automorfismo de un cuerpo es que fija todos los números racionales.
Teorema. Si \( \sigma \colon K \longrightarrow K \) es un automorfismo, entonces \( \sigma(q) = q \) para todo \( q \in{} \mathbb{Q} \).Este resultado es clave para probar la irracionalidad de \( t \): basta con hallar un automorfismo \( \sigma_0 \) tal que \( \sigma_0(t) \neq t \).
En efecto, sea \( \sigma_0 \colon K \longrightarrow K \) el automorfismo determinado por
\( \sigma_0(\alpha) = \alpha, \qquad \sigma_0(\beta) = \beta, \qquad \sigma_0(\gamma) = -\gamma \).
Evaluamos dicho automorfismo en \( t \):
\( \sigma_0(t) = \displaystyle-\!\left( \frac{2}{3\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2}\right)\!\frac{\gamma}{\beta} - \left( \frac{\alpha}{\beta} \right)^{\!\! 4} - \frac{2}{3}. \)
Ahora calculamos \( t - \sigma_0(t) \):
\( t - \sigma_0(t) = \displaystyle 2\!\left( \frac{2}{3\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2}\right)\!\frac{\gamma}{\beta}. \)
Si fuera \( t - \sigma_0(t) = 0 \), entonces \( \alpha^2 = -\frac{2}{3}\beta^2 < 0 \), lo cual es imposible. Por tanto, necesariamente \( t - \sigma_0(t) \neq 0 \), es decir, \( \sigma_0(t) \neq t \).
