Hola
Efectivamente, mi teoría da soluciones escritas con radicales reales (sin números complejos o funciones trigonométricas). Sobre las soluciones de la ecuación: \( x^3-3x-1=0 \) ya se las escribirá en su momento...
Pues te diría casi que en ese momento hablamos. Lo demás son castillos en el aire... pero bueno.
Si dices que es "sencillo" pasar de una expresión con números complejos,
Yo no creo haber dicho ni que sea sencillo ni complicado. Lo que si me parecía sencillo es, si realmente tienes una forma de expresar las soluciones de cualquier ecuación cúbica con coeficientes racionales mediante combinación de sumas, productos, cocientes y raíces de tales coeficientes.. que lo mostrases con un ejemplo concreto. Era la mejor forma de ver a que te refieres con precisión y entonces poder opinar. Pero ya veo que eso "no se va a dar por ahora" ...
cómo pasas a la solución \( x=4 \) de la ecuación \( x^3-15x-4=0 \) sabiendo que la solución por la teoría standard es \( x=\sqrt[ 3]{2+11i}+\sqrt[ 3]{2-11i} \) ?;
Lo más cómodo sería previamente chequear las posibles soluciones racionales sabiendo se sólo pueden ser divisores del término indepenediente.
Pero en general intentar resolver el problema para soluciones irracionales genera una ecuación del mismo tipo que la original (o incluso una de 9no grado (de similar complejidad o mayor) ), es decir con tres soluciones irracionales que tendrán soluciones por radicales que involucran números complejos o funciones trigonométricas y que su valor real sólo se podrá obtener mediante aproximaciones utilizando trigonometría o logaritmos. Finalmente, como para aclarar un poco más el panorama, supongamos por un momento tres tipos de una solución:
i) Por radical complejo.
ii) Por funciones trigonométricas.
iii) Por radical real.
Para una ecuación cúbica con tres soluciones irracionales de coeficientes racionales, yo estaría dando por primera vez en la historia el tipo de solución 3.
Pero el Teorema 4 que citabas en este hilo indica que para el caso \( \Delta<0 \) y cuando no existen soluciones racionales ,eso no es posible. Así que difícilmente vas a conseguir tal cosa. Cuestión diferente es que realmente te refieras a algo distinto. Cuando dices por ejemplo que lo expresas con raíces de números reales, en realidad eso si es trivialmente posible. Por ejemplo en la ecuación que te puse antes \( x_1=2cos(\pi/9) \) es un número real...¡ya tengo la función expresada en función de números reales!.
. Lo que no se puede es expresarla como combinación de suma, producto, raíces,... de los coeficientes de la ecuación.
En fin, por eso digo que un ejemplo concreto sería clarificador.
Sinceramente pareces estar más preocupado de saber la importancia que tendría o dejaría de tener, que de exponer claramente a qué te refieres.
y así como hay métodos de cálculo para encontrar raíces n-ésimas de números racionales y conocer su valor aproximado, eso se aplicaría para conocer el valor aproximado real de la solución de tipo 3.
Eso es lo de menos; hay método iterativos para resolver ecuaciones polinómicas con una aproximación tan precisa como queramos que no necesitan ninguno de estos métodos explícitos de resolución.
Saludos.
