[hear]

Un contraejemplo al "Casus Irreducibilis" sería digno de un paper...

[Guli-Guli]

En el caso hipotético de que \( c_0 \) sea racional, contradeciría el teorema 4 que allí se expone y habría cierto revuelo...

El "teorema 4" que citas en el artículo es exactamente el teorema 7.31 del libro de Álgebra de Carlos Ivorra que te referencié al principio. Ahí también aparece toda una teoría que estudia las soluciones de una ecuación polinómica y su resolución por radicales, que es lo que se usa en el artículo para probar la irracionalidad de \( c_0 \).

Yo ya medio sospechaba que había una relación algebraica entre los números \( t \) y \( c_0 \), e igual podría haberte comentado algo más tirando por ahí, pero tú nos pediste que te diéramos referencias de la teoría y la metodología usada necesaria para estudiar la irracionalidad de esos números. Dado que no me suena ninguna referencia que dé una metodología para hallar la irracionalidad de números con expresiones largas, yo te puse un método general que sirve siempre basándome en la teoría de extensiones de cuerpos. Luego cada caso particular se podrán hacer más cosas usando más teoría, por supuesto, pero eso no era lo que nos pediste.

Primero debes abrirte a la posibilidad de que ese teorema no está bien

Carlos Ivorra, el autor de un teorema que aparece en el artículo que citas, es un usuario de este foro, así que si tienes alguna duda puedes consultar con él en todo momento.

[hear]

Hola, Guliguli, por cierto muchas gracias por tu aporte. No siempre se continúa con una duda o consulta si no que hay veces que se continúa con una propuesta, ahora este es el caso, yo estoy proponiendo que el teorema 4 está equivocado sin embargo comprendo muy bien porqué no se acepta mi proposición ya que no he dado ningún contraejemplo al respecto. Sin embargo es de apreciar en el paper que ambos ejemplos tienen todos los coeficientes que acompañan a la variable, racionales y sólo el término independiente sería irracional, esto debe hacernos sospechar que una generalización de este resultado sería plausible.

[JaMeSan]

Si con 15 decimales no se observa un patrón de repetición, es plausible pensar que no es racional. Pero como digo, no está claro.

Buenos días, me pregunto si estos 15 decimales que citas son suficientes para determinar irracionalidad. En el caso de números primos distintos de 2 y 5 se dan periodos de repeticón de más de 3000 decimales, si no recuerdo mal.
¿Cuantos decimales se habrán obtenido de la raíz de dos para confirmar su irracionalidad?

[ani_pascual]

Hola:

Si con 15 decimales no se observa un patrón de repetición, es plausible pensar que no es racional. Pero como digo, no está claro.

Buenos días, me pregunto si estos 15 decimales que citas son suficientes para determinar irracionalidad. En el caso de números primos distintos de 2 y 5 se dan periodos de repeticón de más de 3000 decimales, si no recuerdo mal.
¿Cuantos decimales se habrán obtenido de la raíz de dos para confirmar su irracionalidad?

Pero la irracionalidad de \( \sqrt{2} \) no se deduce de la cantidad de decimales encontrados en su expresión decimal sino de un razonamiento ejemplar.
Añadido:Por cierto, 'bienvenido al foro! 
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Si con 15 decimales no se observa un patrón de repetición, es plausible pensar que no es racional. Pero como digo, no está claro.

Buenos días, me pregunto si estos 15 decimales que citas son suficientes para determinar irracionalidad. En el caso de números primos distintos de 2 y 5 se dan periodos de repeticón de más de 3000 decimales, si no recuerdo mal.
¿Cuantos decimales se habrán obtenido de la raíz de dos para confirmar su irracionalidad?

El número de decimales sin que aparezca un patrón, nunca va a ser un criterio para confirmar la irracionalidad. El período siempre podría aparecer más tarde.

Hay otras técnicas para intentar demostrar la irracionalidad de un número.

Spoiler

La de \sqrt{2} de manera autocontendia por ejemplo por reducción al absurdo. Si fuese racional tendríamos \( \sqrt{2}=a/b \) con \( a,b \) naturales coprimos. Elevando al cuadrado y quitando denominadores:

\( 2b^2=a^2 \)

De donde \( a \) es par, es decir, \( a=2c \) para \( c \) natural. Pero entonces sustituyendo y simplificando \( b^2=2c^2 \) y \( b \) sería par. Pero eso contradice que \( a,b \) sean coprimos.

[cerrar]

En este caso dado que la racionalidad del número supondría que un Teorema (demostrado y revisado) es falso, eso ya es una prueba de que es irracional.

Hear parece sugerir: ¿y porqué no barajar que el Teorema citado está mal?. Pues porque no hay ningún indicio para ello; no es un teorema nuevo; es un teorema contrastado, en cuanto que aparece en la teoría estándar sobre el asunto y su demostración es revisada y releída por estudiantes, profesores e investigadores que estudian el tema. Por otro lado tampoco hay ningún indicio de que esa expresión tenga que ser racional, sino más bien al contrario.

Entonces tomar ese ejemplo como  punto de partida para replantearse el Teorema me parece extravagante y fuera de lugar.

Saludos.

[feriva]

¿Cuantos decimales se habrán obtenido de la raíz de dos para confirmar su irracionalidad?

Para entender esto tienes que tener en cuenta que para cualquier número racional siempre existe un periodo que se repite sin fin (tiene que ser sin fin, si no, no se llama periodo, sera una colección de fragmentos, pero no un periodo). Aunque sea un periodo de ceros, no deja de ser un periodo. Por ejemplo, el número natural 253 siempre se puede escribir como 253,000... con un periodo de infinitos ceros; el número racional 536,789 siempre se puede escribir como 536,789000... y así con cualquier racional; esos ceros no cambian nada el número; siempre que sean infinitos.

Esta idea está íntimamente relacionada con el hecho de que un número \( \dfrac{a}{b} \) sólo es racional si a,b son enteros o la fracción se puede transformar en un quebrado de dos enteros: es decir:

si \( \dfrac{\left(\dfrac{e}{f}\right)}{\left(\dfrac{g}{h}\right)} \) siendo enteros e,f,g,h, entonces \( \dfrac{\left(\dfrac{e}{f}\right)}{\left(\dfrac{g}{h}\right)}=\dfrac{eh}{fg}=\dfrac{a}{b} \); siendo “eh=a” y “fg=b” enteros por ser producto de enteros, por la propiedad de cerradura algebraica.

Si no ocurre eso, lo que implica es que la división no se termina (entendiendo que cuando se repite una secuencia ya sabemos que se va a repetir siempre y a eso le llamamos "terminar"; porque también podríamos seguir la división si el periodo fuera de ceros, poniendo un cero más en el cociente, multiplicando el divisor por cero y poniendo ceros en los “restos”, etc.).

Por tanto, un número irracional es el que no repite ninguna secuencia nunca, digamos hasta el infinito; cosa que no se puede comprobar de forma directa, como es evidente.

En la demostración de raíz de 2 se emplea el argumento de la fracción irreducible, pero también se puede emplear otro argumento; muy semejante o igual a lo que se llama descenso al infinito ( https://es.wikipedia.org/wiki/Descenso_infinito ).

Voy a mostrarlo:

No partimos de considerar si la fracción es irreducible o no:

\( \sqrt{2}=\dfrac{a}{b} \)

\( 2=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{2} \)

\( 2=\dfrac{a^{2}}{b^{2}} \)

\( 2b^{2}=a^{2} \)

Entonces “a” es par, pues 2 es primo y tiene que dividir a “a”. Hagamos pues \( a=2c \)

Seguimos despejando así

\( 2b^{2}=4c^{2} \)

\( b^{2}=\dfrac{4c^{2}}{2} \)

\( b^{2}=2c^{2} \)

Y, por la misma razón, “b” resulta par. Hagamos \( b=2d \).

Volviendo arriba del todo podemos escribir sustituyendo

\( 2=\left(\dfrac{2c}{2d}\right)^{2} \)

o sea, cancelando los doses, tenemos

\( 2=\left(\dfrac{c}{d}\right)^{2} \)

\( 2=\dfrac{c^{2}}{d^{2}} \).

Si repites el proceso de antes (despejando \( 2d^{2}=c^{2} \)... etc.) se llega a los mismo, “c” y “d” también son pares; luego podrías escribir 2c=x, 2d=y (o con las letras que sea) y repetir el proceso y después llegar a otras letras que representarán pares y así sin fin.

Esto implica que los “números” iniciales, “a” y “b”, tendrían que ser producto de al menos infinitos doses, con lo cual sería un “número” que habría que escribir con infinitas cifras; y eso no es un número natural por definición, los números enteros tienen que acabar en una última cifra; para poder ser pares o impares (o múltiplos de quien sea).

Con los números racionales ocurre algo similar; cualquier número racional "acaba" en la última cifra de un periodo; y siempre existe una base numérica (que no es siempre base diez) tal que cualquier número racional se puede escribir con un periodo de infinitos ceros; o sea, como cuando no son periódicos en base 10.

A lo largo de muchos años en el foro, he explicado esto en distintos hilos, pero, si me pongo a buscar, tardo más que en volver a contar la historia; así que lo explico otra vez:

Supón que se quiere dividir 2/3, por ejemplo. Cuando dividimos a mano, lo que hacemos es esto

\( \dfrac{1+1}{3} \), y subdividimos las unidades del dividendo en diez partes cada una: \( \dfrac{10_{sub}+10_{sub}}{3} \), después ponemos el cero en el cociente, la coma y tal.

Pero esto es arbitrario, uno puede dividir una tarta en 10 partes o en 3, o en las que sea, y sigue siendo la misma cantidad de tarta.

Por tanto, si elegimos como base el divisor (en este caso base 3) y subdividmos las unidades en tres en vez de en diez, la división acaba; es decir, el periodo será de ceros, porque tenemos \( \dfrac{3_{sub}+3_{sub}}{3} \), es una simple cuestión de divisibilidad.

Si observas, cualquier número dividido por 2 o por 5, nunca da periódico en base diez, porque diez se descompone en esos factores primos, 2 y 5.

¿Es periódico 6789/5? En base diez no (es imposible, por lo dicho) pero en base 7, por poner un caso, sí lo es. Para verlo puedes ir a Wolframalpha y escribir: “6789/5 a base 7”

https://www.wolframalpha.com/input?i=6789%2F5+a+base+7&lang=es

Luego no existen sin más los números “periódicos”, no sin especificar la base.

En conclusión, los números irracionales no pueden repetir nunca un periodo porque no existe ninguna base numérica natural para dividirlos por otro número de manera que el resultado tenga una última cifra distinta de cero.

Saludos.

[hear]

Estimados, me di cuenta de algo bonito que lo voy a dejar escrito por aquí y se relaciona con teoría de números:
Supongamos que mi teoría es cierta, entonces cualquier ecuación cúbica \( x^3+b'x^2+c'x+d'=0 \) con tres raíces irracionales de coeficientes racionales  se podrá escribir como:

Sean: \( x_1\ x_2\ y\ x_3 \) números irracionales y raíces de la ecuación cúbica dada, con \( x_1=f_1(b',c',d'),\ x_2=f_2(b',c',d')\ y\ x_3=f_3(b',c',d')  \) proporcionados por mi teoría, entonces:

\( x^3+b'x^2+c'x+d'=(x-x_1) (x-x_2) (x-x_3)=0 \).

Luego tendríamos por la propiedad de las raíces de una ecuación cúbica las identidades:

\( -b'=x_1+x_2+x_3,\  c'=x_1*x_2+x_1*x_3+x_2*x_3 \)  y \(  -d'=x_1\  x_2\  x_3 \)

Ahora salgo con dos preguntas: se sabe de ternas de irracionales diferentes que cumplan estas propiedades al mismo tiempo? y si no, se debe al teorema 4?

[Luis Fuentes]

Hola

Estimados, me di cuenta de algo bonito que lo voy a dejar escrito por aquí y se relaciona con teoría de números:
Supongamos que mi teoría es cierta, entonces cualquier ecuación cúbica \( x^3+b'x^2+c'x+d'=0 \) con tres raíces irracionales de coeficientes racionales  se podrá escribir como:

No se a que te refieres exactamente con "tu teoría".

Sean: \( x_1\ x_2\ y\ x_3 \) números irracionales y raíces de la ecuación cúbica dada, con \( x_1=f_1(b',c',d'),\ x_2=f_2(b',c',d')\ y\ x_3=f_3(b',c',d')  \) proporcionados por mi teoría, entonces:

\( x^3+b'x^2+c'x+d'=(x-x_1) (x-x_2) (x-x_3)=0 \).

Luego tendríamos por la propiedad de las raíces de una ecuación cúbica las identidades:

\( -b'=x_1+x_2+x_3,\  c'=x_1*x_2+x_1*x_3+x_2*x_3 \)  y \(  -d'=x_1\  x_2\  x_3 \)

Con la Teoría standard todo lo que dices es correcto, es decir, una cúbica \( x^3+b'x^2+c'x+d'=0 \) con coeficientes racionales y tres raíces irracionales puede escribirse como \( (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) \) con \( x_1,x_2,x_3 \) las raíces que son funciones de los coeficientes del polinomio.

Y por supuesto esas raíces cumplen esas relaciones que indicas (las de Cardano).

Ahora salgo con dos preguntas: se sabe de ternas de irracionales diferentes que cumplan estas propiedades al mismo tiempo? y si no, se debe al teorema 4?

Pues claro, por ejemplo las raíces de \( x^3-3x-1=0 \) que pueden ser obtenidas de la forma usual, llegando a unas expresiones que involucran raíces de números complejos (o equivalentemente funciones trigonométricas), aunque el resultado final sea real. El Teorema 4 lo que haces es restringir que características pueden tener las expresiones que dan esas raíces.

Saludos.

[hear]

Hola! Es todo un placer responder tus preguntas, sobre mí teoría, pues me refiero a que según mi estudio sobre este tema, he concluido que existen \( f_1,\ f_2\ y\ f_3 \) perfectamente irracionales es decir sin expresiones que involucren números complejos, por eso lo nuevo es tener \( x_1,\ x_2\ y\ x_3 \) números irracionales con todas sus características en su forma y fondo de números reales y qué dice la teoría de números por lo tanto sobre esas relaciones que se cumplan simultáneamente con esos números irracionales plenos?; se estaría contribuyendo con algo nuevo a la teoría de números o ya hay casos conocidos de números irracionales que cumplen con esas propiedades en el sentido del conjunto de pertenencia del resultado de esas operaciones siempre el mismo conjunto de los racionales siendo los elementos que se operan irracionales; hay ejemplos concretos de esos números?