[Delvalle]

No entiendo para nada está demostración, se me dificulta mucho. ¿Será que alguno tendrá tiempo para que me ayude y me explique bien detallado la demostración?

Pruebe que \( f(x,y)=xy^2 \)
1. satisface una condición de Lipschitz sobre cualquier rectángulo R1 donde            \( a≤ x≤ b \) y  \( c ≤  y ≤ d;  \)
1. no satisface una condición de Lipschitz sobre ninguna banda \( a≤ x≤ b \) y               
\(  −∞ ≤ y≤ ∞   \)

[ani_pascual]

No entiendo para nada está demostración, se me dificulta mucho. ¿Será que alguno tendrá tiempo para que me ayude y me explique bien detallado la demostración?

Pruebe que \( f(x,y)=xy^2 \)
1. satisface una condición de Lipschitz sobre cualquier rectángulo R1 donde            \( a≤ x≤ b \) y  \( c ≤  y ≤ d;  \)
1. no satisface una condición de Lipschitz sobre ninguna banda \( a≤ x≤ b \) y               
\(  −∞ ≤ y≤ ∞   \)

Hola:
Se me ocurre que podrías aplicar la desigualdad triangular y cierta cota (que existe, por ser \( (x,y),(u,v)\in [a,b]\times [c,d] \)) para demostrar que  \( |f(x,y)-f(u,v)|\leq L\|(x,y)-(u,v)\| \)
Por ejemplo,

\( |xy^2-uv^2|=|xy^2-uy^2+uy^2-uv^2|\leq |x-u|y^2+|u||y^2-v^2|\leq \\\quad \leq |x-u|y^2+|u||y-v||y+v|\leq C(|x-u|+|y-v|)\leq L\|(x,y)-(u.v)\| \)
Si hay algún error ya nos corregirán 

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Para la segunda parte ten en cuenta que fijado \( x\neq 0 \):

\( |f(x,n^2)-f(x,n^2+1/n)|=|x||n^4-(n^2+1/n)^2|=\color{red}2|xn||1+1/(2n^3)|\geq 2|x|n\color{black} \)

que es tan grande como queramos para \( n \) suficientemente grande. Eso quiere decir que si no acotamos \( y \) podemos tomar \( (x,y)=(x,n) \) y  \( (x',y')=(x,n^2+1/n) \) tan próximos como queramos pero de manera que \( f(x,y) \) y \( f(x',y') \) están tan lejos como queramos.

Saludos.

CORREGIDO

[ani_pascual]

Hola

 Para la segunda parte ten en cuenta que fijado \( x\neq 0 \):

\( |f(x,n^2)-f(x,n^2+1/n)|=|x||n^4-(n^2+1/n)^2|=2|xn^2||1+1/n^2|\geq 2|x|n^2 \)

que es tan grande como queramos para \( n \) suficientemente grande. Eso quiere decir que si no acotamos \( y \) podemos tomar \( (x,y)=(x,n) \) y  \( (x',y')=(x,n^2+1/n) \) tan próximos como queramos pero de manera que \( f(x,y)[tex] y [tex]f(x',y') \) están tan lejos como queramos.

Saludos.

Hola, Luis:
La idea se entiende bien, pero ¿están bien hechas las cuentas? ¿No sería así
\( |f(x,n^2)-f(x,n^2+1/n)|=|x||n^4-(n^2+1/n)^2|=|xn||2+1/n^3|\geq 2|x||n| \)?
aunque se llegue a la misma conclusión
No sé, igual estoy equivocado
Saludos

[Delvalle]

Para la parte a) entonces:

\( |xy^2-uv^2|= |xy^2-uy^2+uy^2-uv^2|≤|xy^2-uy^2|+|uy^2-uv^2|= \)

\( |y^2| |x-u|+|u| |y^2-v^2|= \)

\( |y^2| |x-u|+|u| |y-v| |y + v| \)

Si  \( |y^2| ≤A^2, |u| |y+u| ≤ B^2 \)

Al tomar:
\( A≥ max \{|b| |u| \}  \) y \( B ≥ max\{|a|, |c|, |b|+|d| \} \)

\( |xy^2 - uv^2|≤A^2|x-u|+ B^2|y-v| ≤ max\{A^2, B^2\} (|x-u|+|y-v|)≤(\|(x,u)-(y,v)\|_1 \) está correcto? Necesito me ayuden a demostrar la segunda parte por favor.

[ani_pascual]

Para la parte a) entonces:

\( |xy^2-uv^2|= |xy^2-uy^2+uy^2-uv^2|≤|xy^2-uy^2|+|uy^2-uv^2|= \)

\( |y^2| |x-u|+|u| |y^2-v^2|= \)

\( |y^2| |x-u|+|u| |y-v| |y + v| \)

Si  \( |y^2| ≤A^2, |u| |y+\textcolor{red}{|u|} ≤ B^2 \)

Al tomar:
\( \textcolor{red}{A≥ max \{|b| |u| \} } \) y \( B ≥ max\{|a|, |c|, |b|+|d| \} \)

\( \textcolor{red}{|xy^2 - uv^2|≤A^2|x-u|+ B^2|y-v| ≤ max\{A^2, B^2\} (|x-u|+|y-v|)≤(\|(x,u)-(y,v)\|_1} \) está correcto? Necesito me ayuden a demostrar la segunda parte por favor.

Hola:
\( \forall\,(x,y),(u,v)\in[a,b]\times [c,d] \) se tiene que \( |u|\leq max\{|a|,|b|\}=K_1\\|y|\leq max\{|c|,|d|\}=K_2\\|v|\leq  max\{|c|,|d|\}=K_2 \) por tanto la parte en rojo yo la expresaría así:
\( |xy^2 - uv^2|≤ \cdots\leq  |y|^2 |x-u|+|u||y + v||y-v|\leq K_2^2|x-u|+2K_1K_2|y-v|\leq L\|(x,y)-(u,v)\|_1 \)
donde es \( L=max\{K_2^2,2K_1K_2\} \)
La parte 2 ya la ha explicado Luis Fuentes

[Delvalle]

Perdona mi ignorancia pero ¿cómo reemplazo lo que me estás en diciendo en lo que ya he hecho? Estoy muy confundida

[ani_pascual]

Perdona mi ignorancia pero ¿cómo reemplazo lo que me estás en diciendo en lo que ya he hecho? Estoy muy confundida

Solo tienes que copiar la primera parte de lo que has hecho
\( |xy^2-uv^2|= |xy^2-uy^2+uy^2-uv^2|≤|xy^2-uy^2|+|uy^2-uv^2|=|y^2| |x-u|+|u| |y^2-v^2|=|y^2| |x-u|+|u| |y-v| |y + v| \)
y añadir lo siguiente
\(  \cdots\leq K_2^2|x-u|+2K_1K_2|y-v|\leq L\|(x,y)-(u,v)\|_1 \)
donde las cotas son
\( K_1=max\{|a|,|b|\}\\K_2=max\{|c|,|d|\}\\L=max\{K_2^2,2K_1K_2\} \)
ya que  \( \forall\,(x,y),(u,v)\in[a,b]\times [c,d] \)

[Delvalle]

Para la parte b)como queda ver qué la distancia entre los dos puntos que se ha considerado es \( 1/n \)?
Así el cociente \( |f(x,y)-f(x',y')| / |(x,y)-(x',y')| ≥2|x|n^2 \) el cual claramente no es acotado. Porque se puede tomar un n cualquiera al no estar acostada la variable y.

[ani_pascual]

Para la parte b)como queda ver qué la distancia entre los dos puntos que se ha considerado es \( 1/n \)?
Así el cociente \( |f(x,y)-f(x',y')| / |(x,y)-(x',y')| ≥2|x|n^2 \) el cual claramente no es acotado. Porque se puede tomar un n cualquiera al no estar acostada la variable y.

Hola:
En efecto, así es:

\( \forall\,L>0\,\,\exists\,n\in\mathbb{N} \) y existe \( x\in [a,b] \) no nulo tal que \( n^2>\dfrac{L}{2|x|} \), de tal manera que cumplen
\( (x,n^2),\left(x,n^2+\frac{1}{n}\right)\in[a,b]\times ]-\infty,+\infty[\, \) tales que
\( \dfrac{\left|f(x,n^2)-f\left(x,n^2+\frac{1}{n}\right)\right|}{\left\|(x,n^2)-\left(x,n^2+\frac{1}{n}\right)\right\|}=n\left|f(x,n^2)-f\left(x,n^2+\frac{1}{n}\right)\right|\geq 2|x|n^2>L \)
Saludos
Corregido