[Luis Fuentes]

Hola

Para la parte b)como queda ver qué la distancia entre los dos puntos que se ha considerado es \( 1/n \)?
Así el cociente \( |f(x,y)-f(x',y')| / |(x,y)-(x',y')| ≥2|x|n^2 \) el cual claramente no es acotado. Porque se puede tomar un n cualquiera al no estar acostada la variable y.

Si cumpliese la condición de Lipchitz en una banda \( a\leq x\leq b,\quad y\in \Bbb R \), existiría una constante \( C \) tal que:

\( |f(x,y)-f(x',y')|\leq C\|(x,y)-(x',y')\| \) (*)

Si tomas \( x\in [a,b] \) fijo y no nulo \( y=n^2 \) e \( y'=n^2+1/n \) tienes que:

\( |f(x,y)-f(x',y')|=\ldots=2|x|n(1+\color{blue}1/(2n^3)\color{black})\geq 2|x|n \)

y entonces en (*) tendríamos:

\( 2|x|n\leq C|(x,y)-(x',y')|=C/n^2 \)

\( 2|x|n^3\leq C \) para cualquier \( n \) lo cuál es imposible ya que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}2|x|n^3=\infty \)

Saludos.

P.D. Mientras escribía esto se adelantó ani_pascual. Pero cuidado, si tomas \( K=min\{|a|,|b|\} \) entonces \( K \) podría ser nulo y no puedes dividir por \( K \). En realidad basta con trabajar con una x no nula fija en el rango \( [a,b] \).

CORREGIDO

[ani_pascual]

Hola

Para la parte b)como queda ver qué la distancia entre los dos puntos que se ha considerado es \( 1/n \)?
Así el cociente \( |f(x,y)-f(x',y')| / |(x,y)-(x',y')| ≥2|x|n^2 \) el cual claramente no es acotado. Porque se puede tomar un n cualquiera al no estar acostada la variable y.

Si cumpliese la condición de Lipchitz en una banda \( a\leq x\leq b,\quad y\in \Bbb R \), existiría una constante \( C \) tal que:

\( |f(x,y)-f(x',y')|\leq C\|(x,y)-(x',y')\| \) (*)

Si tomas \( x\in [a,b] \) fijo y no nulo \( y=n^2 \) e \( y'=n^2+1/n \) tienes que:

\( |f(x,y)-f(x',y')|=\ldots=2|x|n(1+1/n)\geq 2|x|n \)

y entonces en (*) tendríamos:

\( 2|x|n\leq C|(x,y)-(x',y')|=C/n^2 \)

\( 2|x|n^3\leq C \) para cualquier \( n \) lo cuál es imposible ya que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}2|x|n^3=\infty \)

Saludos.

P.D. Mientras escribía esto se adelantó ani_pascual. Pero cuidado, si tomas \( K=min\{|a|,|b|\} \) entonces \( K \) podría ser nulo y no puedes dividir por \( K \). En realidad basta con trabajar con una x no nula fija en el rango \( [a,b] \).

Hola:
Sí, llevas razón; no me había percatado de eso.
Una observación sin importancia, en las "cuentas" de esta parte
\( \textcolor{red}{|f(x,y)-f(x',y')|=\ldots=2|x|n(1+1/n)\geq 2|x|n} \)
¿no debería ser
\( |f(x,y)-f(x',y')|=\ldots=2|x|n(1+\frac{1}{2n^3})\geq 2|x|n \)?
Y ese \( x \) que se escoge ¿no dependería de la constante \( L \) de partida?
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola:
Sí, llevas razón; no me había percatado de eso.
Una observación sin importancia, en las "cuentas" de esta parte
\( \textcolor{red}{|f(x,y)-f(x',y')|=\ldots=2|x|n(1+1/n)\geq 2|x|n} \)
¿no debería ser
\( |f(x,y)-f(x',y')|=\ldots=2|x|n(1+\frac{1}{2n^3})\geq 2|x|n \)?

Si, gracias.

Y ese \( x \) que se escoge ¿no dependería de la constante \( L \) de partida?

No veo porqué. Yo le he llamado \( C \) y no \( L \) pero eso es lo de menos. La cosa es que si fijamos un \( x \) no nulo, de lo que he discutido tendríamos que:

\( 2|x|n^3\leq C \) para cualquier \( n \) lo cual es imposible

Saludos.

[lorena.zambrano]

Chicos les comparto un documento que tengo con esta demostración, me demoraría más de una hora en copiarlo en látex, pido disculpas por eso chicos pero me enredo toda, quiero saber si está bien desarrollada.

[Luis Fuentes]

Hola

Chicos les comparto un documento que tengo con esta demostración, me demoraría más de una hora en copiarlo en látex, pido disculpas por eso chicos pero me enredo toda, quiero saber si está bien desarrollada.

Más allá de algunas erratas en la primera parte cuando llegas a:

\( \leq |y_2|^2|x_1-x_2|+|x_1||y_2^2-y_1^2|  \)

y pasas a:

\( \leq |y_2|^2\|(x_2,y_2)-(x_1,y_1)\|+|x_1|\color{red}\|(x_2,y_2)-(x_1,y_1)\|\color{black}  \)

No es cierto en general que:

\( |y_2^2-y_1^2|\leq \|(x_2,y_2)-(x_1,y_1)\| \)

Tendrías que usar que:

\( |y_2^2-y_1^2|=|y_2+y_1||y_2-y_1|\leq |y_2+y_1|\|(x_2,y_2)-(x_1,y_1)\| \)

De manera que al final llegarías a:

\( \leq (|y_2|^2+|x_1||y_2+y_1|)\|(x_2,y_2)-(x_1,y_1)\| \)

y usando que \( |y_2|^2+|x_1||y_2+y_1| \) es acotado en el rectángulo el argumento funciona igualmente.

La segunda parte está bien, salvo que tienes que suponer que \( x\neq 0 \).

Saludos.

[lorena.zambrano]

Me interesa esta demostración porque la quiero utilizar para una exposición referente al tema. Hice las correcciones espero ahora si esté correcto:
 Para simplificar la desigualdad podemos acotar la diferencia absoluta utilizando la desigualdad triangular.

\( |f (x_2,y_2)-f(x_1,y_1)|=|x_2y_2^2-x_1y_1^2| |x_2y_2^2-x_1y_2^2|+|x_1y_2^2-x_1y_1^2| \)
\( =|y_2^2(x_2-x_1)|+|(x_1(y_2^2-y_1^2)| \)
\( ≤|y_2^2||(x_2-x_1)|+|x_1||y_2^2-y_1^2| \)
\( = |y_2+y_1||y_2-y_1| \)
\( ≤|y_2+y_1| ||(x_2,y_2)-(x_1,y_1)|| \)
\( ≤(|y_2|^2+|x_1||y_2+y_1|)||(x_2,y_2)-(x_1,y_1)|| \)

Podemos elegir L como constante máxima entre \( |y_2|^2+|x_1||y_2+y_1| \) para todos los puntos en el rectángulo, como es acotado, está constante L existe.

Chicos aparte de esto, transcribir en látex a ustedes les toma bastante tiempo? Digo porque me demoré bastante para poder transcribir esto.

[Luis Fuentes]

HOla

Me interesa esta demostración porque la quiero utilizar para una exposición referente al tema. Hice las correcciones espero ahora si esté correcto:
 Para simplificar la desigualdad podemos acotar la diferencia absoluta utilizando la desigualdad triangular.

\( |f (x_2,y_2)-f(x_1,y_1)|=|x_2y_2^2-x_1y_1^2| |x_2y_2^2-x_1y_2^2|+|x_1y_2^2-x_1y_1^2| \)
\( =|y_2^2(x_2-x_1)|+|(x_1(y_2^2-y_1^2)| \)
\( ≤|y_2^2||(x_2-x_1)|+|x_1||y_2^2-y_1^2| \)
\( = |y_2+y_1||y_2-y_1| \)
\( ≤|y_2+y_1| ||(x_2,y_2)-(x_1,y_1)|| \)
\( ≤(|y_2|^2+|x_1||y_2+y_1|)||(x_2,y_2)-(x_1,y_1)|| \)

Podemos elegir L como constante máxima entre \( |y_2|^2+|x_1||y_2+y_1| \) para todos los puntos en el rectángulo, como es acotado, está constante L existe.

Tienes alguna errata. Te corrigo y añado cosas en rojo:

\( |f (x_2,y_2)-f(x_1,y_1)|=|x_2y_2^2-x_1y_1^2|\color{red}\leq\color{black} |x_2y_2^2-x_1y_2^2|+|x_1y_2^2-x_1y_1^2| \)
\( =|y_2^2(x_2-x_1)|+|(x_1(y_2^2-y_1^2)| \)
\( \leq |y_2^2||(x_2-x_1)|+|x_1||y_2^2-y_1^2| \)
\( = \color{red} |y_2^2||(x_2-x_1)|+|x_1|\color{black}|y_2+y_1||y_2-y_1| \)
\( \leq \color{red} |y_2|^2 ||(x_2,y_2)-(x_1,y_1)||+\color{blue}|x_1|\color{black}|y_2+y_1| ||(x_2,y_2)-(x_1,y_1)|| \)
\( ≤(|y_2|^2+|x_1||y_2+y_1|)||(x_2,y_2)-(x_1,y_1)|| \)

Saludos.

CORREGIDO (gracias ani_pascual)

[ani_pascual]

HOla

Me interesa esta demostración porque la quiero utilizar para una exposición referente al tema. Hice las correcciones espero ahora si esté correcto:
 Para simplificar la desigualdad podemos acotar la diferencia absoluta utilizando la desigualdad triangular.

\( |f (x_2,y_2)-f(x_1,y_1)|=|x_2y_2^2-x_1y_1^2| |x_2y_2^2-x_1y_2^2|+|x_1y_2^2-x_1y_1^2| \)
\( =|y_2^2(x_2-x_1)|+|(x_1(y_2^2-y_1^2)| \)
\( ≤|y_2^2||(x_2-x_1)|+|x_1||y_2^2-y_1^2| \)
\( = |y_2+y_1||y_2-y_1| \)
\( ≤|y_2+y_1| ||(x_2,y_2)-(x_1,y_1)|| \)
\( ≤(|y_2|^2+|x_1||y_2+y_1|)||(x_2,y_2)-(x_1,y_1)|| \)

Podemos elegir L como constante máxima entre \( |y_2|^2+|x_1||y_2+y_1| \) para todos los puntos en el rectángulo, como es acotado, está constante L existe.

\( |f (x_2,y_2)-f(x_1,y_1)|=|x_2y_2^2-x_1y_1^2|\color{red}\leq\color{black} |x_2y_2^2-x_1y_2^2|+|x_1y_2^2-x_1y_1^2| \)
\( =|y_2^2(x_2-x_1)|+|(x_1(y_2^2-y_1^2)| \)
\( \leq |y_2^2||(x_2-x_1)|+|x_1||y_2^2-y_1^2| \)
\( = |y_2^2||(x_2-x_1)|+|x_1||y_2+y_1||y_2-y_1| \)
\( \leq |y_2|^2 ||(x_2,y_2)-(x_1,y_1)||+\textcolor{red}{|x_1|}|y_2+y_1| ||(x_2,y_2)-(x_1,y_1)|| \)
\( \textcolor{red}{=}(|y_2|^2+|x_1||y_2+y_1|)||(x_2,y_2)-(x_1,y_1)|| \)

Saludos.

Hola:
Te has adelantado en la corrección 
Se ha colado un \( |x_1| \)
Saludos

[ani_pascual]

No veo porqué. Yo le he llamado \( C \) y no \( L \) pero eso es lo de menos. La cosa es que si fijamos un \( x \) no nulo, de lo que he discutido tendríamos que:

\( 2|x|n^3\leq C \) para cualquier \( n \) lo cual es imposible

Saludos.

Entendido, gracias.

[lorena.zambrano]

No entiendo esta última parte, esto está mal ?
 Podemos elegir L como constante máxima entre \( |y_2|^2+|x_1||y_2+y_1| \) para todos los puntos en el rectángulo, como es acotado, está constante L existe.