Hola
Entiendo que la diagonalización de Cantor sólo sería una forma de establecer una función concreta entre A y P(A), y no siempre viable.
Para que quede claro. Yo no se a que llamas tu diagonalización de Cantor, pero desde luego cualquier cosa relacionada con el argumento diagonal de Cantor NO es "una forma de establecer una función concreta entre A y P(A),[/color] y no siempre viable.". No es eso en absoluto.
En lo sucesivo sería bueno que no citases simplemente "diagonalización de Cantor" sin concretar a que te refieres, porque como tienes una idea totalmente errónea de lo que es todo lo que dices después suele ser incoherente o sin sentido.
Por resumir lo que suele entenderse "el argumento diagonal de Cantor" (y sus posibles analogías) suele referirse a dos cosas:
i) Dada un listado infinito de cadenas infinitas de 0s y 1s (que en esencia es una función \( f:\Bbb N\to [0,1]
\)) como construir una cadena que no aparece en ese listado escogiendo una que tiene en la posición enésima justo lo contrario que aparece en esa posición en el elemento \( n \) de la lista (si aparece un cero ponemos un uno y viceversa). El uso clásico de esto es para probar que los reales no son numerables.
ii) Dada una función \( f:A\to P(A) \) el subconjunto de \( A \) definido a partir de ella como \( B=\{x\in A|x\not\in f(X)\} \). Esto viene a ser una generalización de la idea anterior y está relacionada de manera precisa como explicó geómétracat.
Lo que tiene que quedar claro es que decir cosas como "aplicar la diagonalización de Cantor a un conjunto" no tiene sentido por si sólo. La diagonalización de Cantor o se refiere al caso (i) o al (ii); y si en todo caso uno pretende usar una idea análoga a otra situación tiene que especificar con pelos y señales de a que se refiere, pero probablemente sea algo que, si se escribe correctamente encaje en (ii) que es la situación más general.
También tiene que quedar claro que en (ii) no es que B exista por "aplicar la digaonalización de Cantor" ni nada parecido. \( B \) se define y se describe como muchos de los subconjunto que se usan contiunamente en matemáticas: está formado por los elemento de tal conjunto que cumplen tan propiedad. No hace falta hablar para nada de "diagonalización de Cantor" para ello; y si se hace mención a esa etiqueta es simplemente por recordar la analogía, pero no tiene trascendencia, es un nombre sin más.
Miremos el ejemplo que has puesto, Feriva:
\( N=\{1,2,3,...\} \)
\( f(N)=\{12,27\},\{1,3\},\{3\},\{1,2,3,4\}... \)
Entonces
\( 1\rightarrow f(1)=\{12,27,2\}... \)
\( 2\rightarrow f(2)=\{1,3\}... \)
\( 3\rightarrow f(3)=\{3\}... \)
...
Como 1 no está en f(1) lo ponemos
\( B(1)=1 \)
Como 2 no está en f(2) lo ponemos
\( B(2)=2 \)
Como 3 sí está en f(3) ponemos otro
\( B(3)=1 \)
etc.
Entonces, B sería.
\( B=\{1,2,1...\} \)
Si no lo he entendido mal, este no puede ser el conjunto B de esta función definida entre ambos conjuntos, porque contiene números que pertenecen a alguna imagen precisamente de N.
feriva lo hizo mal. Como luego has hecho correctamente el ejemplo que te he puesto, entiendo que ahora si entiendes bien como se construye \( B \) así que dejo este ejemplo de feriva mal hecho al margen.
Luís me propuso un ejercicio para contrastar si comprendía la construcción de B dada una relación entre N y P(N):
Te dejo otro ejempo/ejercicio para que lo hagas tu y te ayude a entender la cuestión. Definimos la función:
\( f:\Bbb B\to P(\Bbb N) \) quieres decir \( \Bbb N\to P(\Bbb N) \)?
\( f(n)=\{m|m\text{ es par y múltiplo de }n\} \)
Por ejemplo la imagen de los primeros elementos es:
\( f(1)=\{2,4,6,8,\ldots\} \)
\( f(2)=\{2,4,6,8,\ldots\} \)
\( f(3)=\{6,12,18,24,\ldots\} \)
\( f(4)=\{4,8,12,16,\ldots\}
\)
\( f(5)=\{10,20,30,40,\dots\} \)
¿Cuál sería en este caso el conjunto \( B=\{x\in \Bbb N|x\not\in f(x)\} \)?
Bien, mi respuesta es que B es el conjunto de los números impares, porque es un subconjunto de A cuyos elementos jamás pertenecerán a una imagen de A por la función aquí definida.
Correcto
.
Y lo vamos haciendo hasta el infinito, queriendo decir que tomamos un cardinal finito de enes cada vez más grande, tan grande como se quiera y sin terminar el viaje. Independiente de esto, por muy grande que sea, lo que propone Luis se podrá hacer siempre; y eso implica \( card(f(N))<card(p(N)) \), porque, como poco, tienen un elemento menos; el que hemos deducido.
No me gusta nada esa forma de decirlo; identificar el hecho de ser más grande con tener un elemento menos es muy confuso, porque de hecho para conjuntos infinitos no funciona o lleva a equívocos. Lo que se ha demostrado es que NO puede existir una aplicación sobreyectiva (y por tanto biyectiva) de \( \Bbb N \) a \( P(\Bbb N) \), porque para cualquier posible función siempre hay elementos que NO están en la imagen.
Saludos.
