[RDC]

En el post anterior (https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=124559.0) mostraba mis dudas hacia el teorema de Cantor, al destacar una posible petición de principio en el argumento de demostración. Al final, ello nos llevó a considerar el conjunto de los naturales, al menos, de 3 formas diferentes:

Spoiler

1) Como lo hizo Cantor: como un conjunto que existe y es de menor tamaño que su conjunto potencia.
2) Como un conjunto que no es conjunto.
3) Como un conjunto irracional que, como tal, puede contener elementos concretos, m, y elementos no concretos, \( w \).

[cerrar]

 

Así aparecían los "números naturales tan grandes como queramos", como el conjunto \( W=\left\{{w_1,w_2,...}\right\}\subseteq{N} \). Lo cuales, en forma de cifras (\( unidades, decenas, centenas, miles, etc \)) se pueden representar de dos formas diferentes, aunque excluyentes:

a)\( w_{m^+}=82548... \)

b)\( w_{m^-}=...35687 \)

Este conjunto de números \( W \) tiene la peculiaridad de ser infinito, pues hay tantos \( w_i \) como se quiera. Y en principio no se distinguen unos de otros por su tamaño, sino más bien por el ordenamiento de sus cifras, con lo cual se pueden tratar como únicos.

Por ejemplo, en el caso b) sería de este modo:

\( w_{1^-}=...36547891 \)

\( w_{2^-}=...23454345 \)

\( w_{3^-}=...23454345 \)

Queda claro que \( w_{1^-}\neq w_{2^-}=w_{3^-} \).

Más propiedades de \( W \)

Estos elementos de \( W \) presentarían otra propiedad, al menos de forma directa: la de composición.

Propiedad de composición:

\( w_{1^\pm{}}\otimes{n}=w_{2^\pm{}} \)

Por ejemplo:

Caso a)
\( w_{1^-}=...235687 \)
\( m=5 \)
\( w_{2^-}=...235687\otimes{5}=...2356875 \)

Caso b
\( w_{1^+}=88787... \)
\( m=5 \)
\( w_{1^+}=88787...\otimes{5}=588787... \)

Esta propiedad de composición tiene su inverso, el cual precisamente define cualquier número natural concreto:

\( m=w_{1^\pm{}}\oplus{w_{2^\pm{}}} \)

Y es sobre esta propiedad de composición, y su inverso, que se pueden aplicar las propiedades de las suma, la resta, multiplicación y división.

suma:

Tenemos que \( w_{1^-}=w_{2^-}\otimes{m_1} \) y \( w_{4^-}=w_{3^-}\otimes{m_2} \), siendo \( m_1, m_2 \) dos números naturales concretos cualquiera, entonces:

\( w_{1^-} +w_{4^-}=(w_{2^-}+w_{3^-}) \otimes{(m_1+m_2)} \)

Y dado que \( w_{2^-}=w_{5^-}\otimes{m_3} \) y \( w_{3^-}=w_{6^-}\otimes{m_4} \), siendo \( m_3, m_4 \) dos números naturales concretos cualquiera, entonces:

\( w_{2^-} +w_{3^-}=(w_{5^-}+w_{6^-}) \otimes{(m_3+m_4)} \)

De modo que al final tenemos:

\( w_{1^-} +w_{4^-}=[(w_{5^-}+w_{6^-}) \otimes{(m_3+m_4)}] \otimes{[m_1+m_2]} \)= \( [(w_{5^-}+w_{6^-}) \otimes{m_t}] \), donde \( m_t \) se compone de esta forma:

Teniendo en cuenta que cada \( m_i \) es un elemento finito tiene un número determinado de cifras (unidades, decenas, centenas, miles, etc), por ejemplo 235 tiene 3 cifras (2 centenas, 3 decenas y 5 unidades), entonces:

\( m_1+m_2=m_x \). Luego, \( m_x \) o bien tendrá las mismas cifras que \( m_1 \), o \( m_2 \), o bien, tendrá una cifra más. Si tiene una cifra mayor ésta se sumará directamente a la cifra menor que tenga \( m_5+m_6=m_y \), mientras las cifras de \( m_x \) se compondrán detrás de las cifras de \( m_y \). 

En otras palabras, es como si a un número natural \( m_{z1} \) lo hubiésemos partido en dos números naturales, \( m_1 \) y \( m_3 \), mientras que a otro natural \( m_{z2} \) lo hubiésemos partido en otros dos números naturales, \( m_2 \) y \( m_4 \), y entonces sumáramos \( m_{z1}+m_{z2} \) por partes; nada más.

Ejemplo:

Spoiler

\( ...654 +...758=(...588+...66658) \otimes{(654+785)} \), y dado que

\( ...588+...66658=(...8795+..111) \otimes{588+66658} \) entonces:

\( ...654+...758=[(...588+...66658) \otimes{(588+66658)}] \otimes{[654+785]} \)= \( [...588+...66658] \otimes{m_t} \), donde \( m_t \):

Primero, \( 654+785=1433 \), y vemos que 1433 es una cifra mayor que 654 o 785, por tanto, la cifra mayor, que es 1, la sumamos a la cifra menor de la suma siguiente:

\( 588+66658=67246  \)y le sumamos 1 a su cifra menor: \( 67246+1=67246 \)

Finalmente, tenemos que \( m_t=67246433 \), por lo tanto:

\( ...654+...758=[...588+...66658]\otimes{67246433} \)

[cerrar]

Para la resta, multiplicación y división, en principio y en los dos casos posibles, \( w_{i^+},w_{i^-} \), se opera del mismo modo, es decir, básicamente por partes.

Propiedad espejo

Los elementos del conjunto \( W \) presentan, cuando sus elementos se representan mediante la forma \( w_{1^-} \), una propiedad fascinante que podemos llamar "propiedad espejo".

\( \exists{r_i}, r_i\in{I} \) y \( 0<r_i<1 \), entonces \( \exists{w_{(r_i)^-}}, w_{(r_i)^-}\in{W} \) tal que:

Si \( r_i=0,x_1x_2x_3...x_m....\Longleftrightarrow{}w_{(r_i)^-}=...x_m...x_3x_2x_1 \)

Por ejemplo:

si \( r_1=0,823578999854... \) entonces \( w_{(r_1)^-}=...458999875328 \), y viceversa.

Propiedad de escala

Los elementos del conjunto \( W \) presentan, cuando se representan mediante la forma del caso a), una propiedad fascinante que podemos llamar "propiedad de escala".

 \( \exists{r_i}, r_i\in{I} \) y \( 0<r_i<1 \), entonces \( \exists{w_{(r_i)^+}}, w_{(r_i)^+}\in{W} \) tal que:

Si \( r_i=0,x_1x_2x_3...x_m....\Longleftrightarrow{}w_{(r_i)^+}=x_1x_2x_3...x_m \)

Por ejemplo:

si \( r_1=0,823578999854... \) entonces \( w_{(r_1)^+}=823578999854... \), y viceversa.


\( Propiedad de totalidad \)

Esta propiedad también es muy interesante porque dice que el conjunto de los naturales, \( N \), y el conjunto de los números tan grandes como queramos, \( W \), se pueden expresar como el mismo conjunto.

Si \( \exists{w_{i^-}}, w_{i^-}\in{W} \), tal que  [/tex]w_{i^-}-m=0[/tex], siendo \( m\in{N} \) ello implica que \( w_{i^-}=m \), y por tanto \( m\in{W} \). En consecuencia parece lícito  establecer la siguiente igualdad de conjuntos: \( N=W \)

Por ejemplo:

\( w_{1^-}=...000625 \)
\( m=625 \)

Y se da que: \( w_{1^-}-m=...000625-625=0 \), entonces \( w_{1^-}=m \) y \( m\in{W} \)

Dicho de otro modo, cualquier número finito, m, se puede concebir y expresar como si fuera un número tan grande como queramos, e identificarlo específicamente como \( w_{1^-} \), simplemente añadiéndole tantos 0 en las cifras iniciales como queramos.

[Luis Fuentes]

Hola

En el post anterior (https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=124559.0) mostraba mis dudas hacia el teorema de Cantor, al destacar una posible petición de principio en el argumento de demostración. Al final, ello nos llevó a considerar el conjunto de los naturales, al menos, de 3 formas diferentes:

Spoiler

1) Como lo hizo Cantor: como un conjunto que existe y es de menor tamaño que su conjunto potencia.
2) Como un conjunto que no es conjunto.
3) Como un conjunto irracional que, como tal, puede contener elementos concretos, m, y elementos no concretos, \( w \).

[cerrar]

 

Así aparecían los "números naturales tan grandes como queramos", como el conjunto \( W=\left\{{w_1,w_2,...}\right\}\subseteq{N} \). Lo cuales, en forma de cifras (\( unidades, decenas, centenas, miles, etc \)) se pueden representar de dos formas diferentes, aunque excluyentes:

a)\( w_{m^+}=82548... \)

b)\( w_{m^-}=...35687 \)

Si entiendo bien estás considerando números como una cadena infinita de cifras. Pero entonces esa inclusión:

\( W=\left\{{w_1,w_2,...}\right\}\subseteq{N} \)

es falsa. De hecho no se de donde la sacas. Ese conjunto es biyectivo con los reales pero en ningún caso es un subconjunto de los naturales (ni se puede definir una aplicación inyectiva de él sobre los naturales).

No se si es algo que has explicado en el otro hilo que enlazas, pero quizá sería mejor separar una cosa de la otra.

Saludos.

[RDC]

Hola

En el post anterior (https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=124559.0) mostraba mis dudas hacia el teorema de Cantor, al destacar una posible petición de principio en el argumento de demostración. Al final, ello nos llevó a considerar el conjunto de los naturales, al menos, de 3 formas diferentes:

Spoiler

1) Como lo hizo Cantor: como un conjunto que existe y es de menor tamaño que su conjunto potencia.
2) Como un conjunto que no es conjunto.
3) Como un conjunto irracional que, como tal, puede contener elementos concretos, m, y elementos no concretos, \( w \).

[cerrar]

 

Así aparecían los "números naturales tan grandes como queramos", como el conjunto \( W=\left\{{w_1,w_2,...}\right\}\subseteq{N} \). Lo cuales, en forma de cifras (\( unidades, decenas, centenas, miles, etc \)) se pueden representar de dos formas diferentes, aunque excluyentes:

a)\( w_{m^+}=82548... \)

b)\( w_{m^-}=...35687 \)

Si entiendo bien estás considerando números como una cadena infinita de cifras. Pero entonces esa inclusión:

\( W=\left\{{w_1,w_2,...}\right\}\subseteq{N} \)

es falsa. De hecho no se de donde la sacas. Ese conjunto es biyectivo con los reales pero en ningún caso es un subconjunto de los naturales (ni se puede definir una aplicación inyectiva de él sobre los naturales).

No se si es algo que has explicado en el otro hilo que enlazas, pero quizá sería mejor separar una cosa de la otra.

Saludos.

Obviamente, si consideramos que el conjunto de los naturales está formado exclusivamente por números finitos, entonces el conjunto W (de los números tan grandes como queramos) no puede ser uno de sus subconjuntos. Estoy de acuerdo, Luís.

Lo que ocurre es que quizás el conjunto de los naturales no sólo este compuesto por números finitos, en contra de lo que se lleva considerando desde hace siglos, sino también por números tan grandes como queramos.

Este es mi argumento:

1) El conjunto de los naturales es infinito, en el sentido de que no  existe un último número natural que cierre y limite el conjunto, dotándole, por tanto, de un tamaño, quizás inimaginablemente grande, pero concreto.

2) Si el conjunto de los naturales es infinito esto implica que existen subconjuntos de los naturales que también están compuestos por infinitos elementos, desde el conjunto de los números pares, o los números números primos, etc.

3) Si el conjunto de los pares, por ejemplo, tiene infinitos elementos, significa que no existe un número par último y final. Por tanto, siempre existirán números pares mayores que cualquier número par que escojamos; por más grande que sea éste.

4) Si siempre existirán números pares más grandes que cualquiera que escogemos, eso implica que siempre existirán números que serán tan grandes como queramos.

5) Si existen números tan grandes como queramos entonces, estos números, si bien son naturales y pares, no serán finitos, porque si son finitos entonces significa que no son tan grandes como queramos y por tanto el conjunto de los pares es finito. Y sí, se puede pensar que se pueden representar como una cadena indeterminadamente larga de cifras y que nos podemos aproximar a su valor por partes.

En el fondo es lo mismo que discutir si \( 0.999999... \) es \( 1 \) o no lo es.

Si se toma la decisión de considerar que los naturales tan grandes como queramos no existen, entonces cabe defender que \( 0,9999...<1 \). Veámoslo:

\( 10-9=1<\displaystyle\frac{9}{10} \)

\( 100-99=1<\displaystyle\frac{99}{100} \)

\( 1000-999=1<\displaystyle\frac{999}{1000} \)

Y si considero que sólo existen naturales finitos entonces se aprecia que:

\( 1000...0-999...9=1<\displaystyle\frac{999...9}{1000...0} \), al ser \( 999...9 \) y \( 1000...0 \) siempre naturales finitos.

Por tanto, desde un punto de vista finitista, que es el que adopta Cantor, Hilbert y los que construyeron la teoría de conjuntos para fundamentar los números, los números \( 1000.... \) y \( 99999.... \) no existen al no ser finitos, sino números naturales tan grandes como queramos.

Por tanto, si se decide que los números tan grandes como queramos no son naturales y este ejemplo no se pueden aplicar, entonces tampoco podemos aplicar la noción de límite y que precisamente nos demuestra que \( 0,999....=1 \).

Por tanto, desde una perspectiva finitista, que de hecho es, simplemente, una perspectiva máquina, \( 0,9999....=\displaystyle\frac{9999...9}{10000...0}<1 \).

Ahora bien, si consideramos que entre los naturales existen los números tan grandes como queramos entonces podemos aplicar la noción de límite sin problemas, y con ella demostrar que \( 0,9999....=\displaystyle\frac{9999...}{10000...}=1 \).

Entiendo, pero, que seguramente no estemos discutiendo nada que sea correcto o incorrecto, sino que se basa en tomar una decisión u otra, la cual nos lleva a unas consideraciones u otras.

Personalmente, y visto así, me parece más lógico pensar que 0,9999....=1 y los naturales tan grandes como queramos son un subconjunto de los naturales por la propia infinitud del conjunto de los naturales. Pero entiendo que durante siglos se ha pensado de otra forma, y que al trabajar con máquinas (computadoras) es mejor la otra consideración, dado que las máquinas sólo pueden operar y tratar los números a través de sus capacidades computacionales, que son siempre finitas.

[Luis Fuentes]

HOla

Obviamente, si consideramos que el conjunto de los naturales está formado exclusivamente por números finitos, entonces el conjunto W (de los números tan grandes como queramos) no puede ser uno de sus subconjuntos. Estoy de acuerdo, Luís.

Pero entonces estás llamando "naturales" a algo que no se parece en nada a lo que se entiende por los naturales como convenio en matemáticas; y te referirías a un conjunto con propiedades diferentes. Entre otras cosas sería un conjunto con distinta cardinalidad que los naturales usuales.

Si les llamas naturales estás creando confusión en todo tu desarrollo. De hecho en otro hilo, utilizas esto para criticar el argumento de Cantor, porque \( W \) (creo) si es biyectivo con TUS-naturales. Digo creo porque tendría que estar seguro de entender que entiendes tu por TUS-naturales.

Lo que ocurre es que quizás el conjunto de los naturales no sólo este compuesto por números finitos, en contra de lo que se lleva considerando desde hace siglos, sino también por números tan grandes como queramos.

En primer lugar me parece que mezclas el hecho de que se utilicen infinitos caracteres o no para escribir un número con el hecho de que el número represente una cosa finita.

Con los convenios usuales (como bien dices después) \( 1=0.99999\dots \) independientemente de que en un caso utilicemos un carácter y luego infinitos. Son dos formas de representar el mismo número natural, el uno, cuya interpretación usual es un representar un conjunto de un sólo elemento.

Antes de discutir lo que expones, rescato brevemente la idea intuitiva de los naturales, que no  reflejan más que el proceso de abstracción que se hace al contar:

El 1=X representa conjuntos de un elemento
El 2=XX representa conjuntos de dos elementos
El 3=XXX representa conjuntos de tres elementos

etcétera. Fíjate que podríamos representarlo simplemente concatenando Xs; tantas como el número que representamos. La idea intutiva de que son infinitos, se base en que uno siempre puede añadir una X más a un supuesto "último número".
También fíjate en que en el concepto de números naturales va a implícita una idea de secuencialidad. El dos es el siguiente al uno; el tres el siguiente al dos; y así sucesivamente... cada número se obtiene del anterior añadiendo una X.

Otra cosa es como esto se haya formalizado a lo largo de la historia de las matemáticas.

Este es mi argumento:

1) El conjunto de los naturales es infinito, en el sentido de que no  existe un último número natural que cierre y limite el conjunto, dotándole, por tanto, de un tamaño, quizás inimaginablemente grande, pero concreto.

Si; el sentido de su infinitud es el que comenté antes. "Inimaginable", "concreto" me resultan aquí adjetivos de aplicación subjetiva.

2) Si el conjunto de los naturales es infinito esto implica que existen subconjuntos de los naturales que también están compuestos por infinitos elementos, desde el conjunto de los números pares, o los números números primos, etc.

Bien.

3) Si el conjunto de los pares, por ejemplo, tiene infinitos elementos, significa que no existe un número par último y final. Por tanto, siempre existirán números pares mayores que cualquier número par que escojamos; por más grande que sea éste.

Bien.

4) Si siempre existirán números pares más grandes que cualquiera que escogemos, eso implica que siempre existirán números que serán tan grandes como queramos.

Bien.

5) Si existen números tan grandes como queramos entonces, estos números, si bien son naturales y pares, no serán finitos, porque si son finitos entonces significa que no son tan grandes como queramos y por tanto el conjunto de los pares es finito.

Bien.

Y sí, se puede pensar que se pueden representar como una cadena indeterminadamente larga de cifras y que nos podemos aproximar a su valor por partes.

Pues aquí viene lo que en mi opinión es tu primer brindis al sol. No veo que tiene que ver lo que dices aquí con todo lo que habías expuesto hasta el momento.

Si, un número natural se puede representar con una cadena infinita de cifras. El 1 podría representarse como \( 101111\ldots \) el dos como \( 2011111\ldots \) el tres como \( 301111\ldots \) el \( 10 \) como \( 1101111 \). Esto es por poner un ejemplo. Pero como te dije como representemos los números es lo de menos; la cuestión es si estamos hablando de lo mismo que te comentaba al principio.

El dos debería de significar "el número siguiente al uno" independientemente de que para representarlos usemos una cifra, mil, infinitas, caracteres chinos, Xs o palitos...

Si no es así; no se en que se parece esa cosa de la que quieres hablar, ese conjunto que quiere definir, a la idea intuitiva de número natural.

En el fondo es lo mismo que discutir si \( 0.999999... \) es \( 1 \) o no lo es.

Y aquí me perdí completamente; estoy de acuerdo que con el significado usual que se le da a la representación de un número real en base \( 10 \), \( 0.999999...=1 \), pero no veo que tenga nada que ver con lo que has afirmado a hasta ahora y nada que ver con el hecho de usar unas pocas cifras o infinitas para denotar lo que pretendemos que sean números naturales.

Por tanto, si se decide que los números tan grandes como queramos no son naturales y este ejemplo no se pueden aplicar, entonces tampoco podemos aplicar la noción de límite y que precisamente nos demuestra que \( 0,999....=1 \).

No le veo relación. Y de nuevo me parece que mezclas la idea de que hay números naturales tan grande como queramos (¡qué los hay en el sentido de que dado cualquier natural existe otro mayor!) con el hecho de que usemos infinitas cifras para definir un nuevo conjunto.

Entiendo, pero, que seguramente no estemos discutiendo nada que sea correcto o incorrecto, sino que se basa en tomar una decisión u otra, la cual nos lleva a unas consideraciones u otras.

Si tu pretendes llamar número natural a cualquier secuencia (infita) de cifras decimales:

\( a_1a_2\ldots a_n\ldots  \)

simplemente eso NO tiene nada que ver con los números que se consideran naturales (de hecho se parecería bastante más al conjunto de reales).

Saludos.

P.D: Y reitero que como te comenté al principio, todo esto no tiene nada que ver con que el argumento de Cantor sea o no válido. Incluso si te inventas ese nuevo conjunto de TUS-naturales, el argumento de Cantor es correcto. Lo que pasa es que hay que tener cuidado con saber si estamos hablando de los naturales o de TUS-naturales, y no mezclar el uso de unos y otros.

[feriva]

 Si existen números tan grandes como queramos entonces, estos números, si bien son naturales y pares, no serán finitos, porque si son finitos entonces significa que no son tan grandes como queramos y por tanto el conjunto de los pares es finito. Y sí, se puede pensar que se pueden representar como una cadena indeterminadamente larga de cifras y que nos podemos aproximar a su valor por partes.

En el fondo es lo mismo que discutir si \( 0.999999... \) es \( 1 \) o no lo es.

No, no tiene nada que ver, ese número tiene un valor finito se escriba como se escriba, vale más que cero y menos que dos.

Si intuyo bien, creo que lo que te está pareciendo ver es que existe una paradoja con el hecho de que en un conjunto existan infinitos naturales o infinitos elementos que tienen que respetar unas ciertas propiedades (pero eso ya la arregló Russell para que no diera problemas; tras ello está la paradoja del barbero). Sin embargo, no estoy seguro de si es eso, porque les llamas “números tan grandes como queramos”, y, dicho así, esos números no tienen valor infinito o no tienen por qué tenerlo; lo que sí tiene que ser infinita es la “cantidad” de ellos, el cardinal del conjunto (y esto es lo que está relacionado con la paradoja).

No sé, a lo mejor conoces mejor que yo eso que digo y te estás refiriendo a otra cuestión más teórica; y a la que mis escasos conocimientos no llegan.

Pero lo del número 0.999... sí te lo puedo explicar para que veas que no tiene nada que ver con cardinales infinitos (ya lo he hecho varias veces en el foro).

Supón la división 1/3. Cuando la hacemos a mano, como el 1 es menor que tres, ponemos un cero detrás, 10. Como es obvio, el 1 no ha pasado a valer 10 unidades, lo cual sería absurdo, lo que ocurre es que se expresa como diez subunidades en el sistema decimal, es decir, hacemos del 1 diez trozos iguales pero más pequeños.

Después, en el cociente, ponemos un cero y una coma consecuentemente con eso.

Ahora, diez subunidades sí podemos repartirlas entre 3, pero sobra 1 subunidad. Si la volvemos a partir en diez subunidades más pequeñas, poniendo otra vez un cero detrás del 1 que ha resultado al restar, otra vez tenemos lo mismo, va a tocar a tres y va a sobrar una; y ahí ya vemos que la división no va a acabar, siempre se va a repetir.

Sin embargo, esto es debido a la base numérica que utilizamos, al sistema de símbolos. ¿Por qué partir en diez partes la unidad? Sólo es una elección arbitraria, normalizada, pero arbitraria.

Cuando uno parte un pastel para tres personas, hace directamente tres trozos iguales, no diez. Eso equivaldría en números a dividir en base tres: añadir el cero detrás del uno significa entonces 3 subunidades

“3 en base diez”=”10 en base tres”

*(y 1 es 1 en cualquier base)

Y ahora la división sí se acaba, el resultado va a ser 0,1 en base tres, que es lo mismo que 0,333... en base diez.

La base es una herramienta, una forma de notación, no tiene verdadera trascendencia teórica. En base diez sumamos tres veces 0,333... y nos da 0,999... En base tres sumamos lo mismo, tres veces 0,1, y nos da 0,3. Pero el símbolo 3 no existe en base 3, es 10, sólo tenemos tres símbolos 0,1,2. Luego es 0,(10) y nos llevamos una, con lo que queda 1, en cualquier base.

Es exactamente igual, tiene que ver con una cuestión simbólica.

Saludos.

[RDC]

 Si existen números tan grandes como queramos entonces, estos números, si bien son naturales y pares, no serán finitos, porque si son finitos entonces significa que no son tan grandes como queramos y por tanto el conjunto de los pares es finito. Y sí, se puede pensar que se pueden representar como una cadena indeterminadamente larga de cifras y que nos podemos aproximar a su valor por partes.

En el fondo es lo mismo que discutir si \( 0.999999... \) es \( 1 \) o no lo es.

No, no tiene nada que ver, ese número tiene un valor finito se escriba como se escriba, vale más que cero y menos que dos.

Si intuyo bien, creo que lo que te está pareciendo ver es que existe una paradoja con el hecho de que en un conjunto existan infinitos naturales o infinitos elementos que tienen que respetar unas ciertas propiedades (pero eso ya la arregló Russell para que no diera problemas; tras ello está la paradoja del barbero). Sin embargo, no estoy seguro de si es eso, porque les llamas “números tan grandes como queramos”, y, dicho así, esos números no tienen valor infinito o no tienen por qué tenerlo; lo que sí tiene que ser infinita es la “cantidad” de ellos, el cardinal del conjunto (y esto es lo que está relacionado con la paradoja).

No sé, a lo mejor conoces mejor que yo eso que digo y te estás refiriendo a otra cuestión más teórica; y a la que mis escasos conocimientos no llegan.

Pero lo del número 0.999... sí te lo puedo explicar para que veas que no tiene nada que ver con cardinales infinitos (ya lo he hecho varias veces en el foro).

Supón la división 1/3. Cuando la hacemos a mano, como el 1 es menor que tres, ponemos un cero detrás, 10. Como es obvio, el 1 no ha pasado a valer 10 unidades, lo cual sería absurdo, lo que ocurre es que se expresa como diez subunidades en el sistema decimal, es decir, hacemos del 1 diez trozos iguales pero más pequeños.

Después, en el cociente, ponemos un cero y una coma consecuentemente con eso.

Ahora, diez subunidades sí podemos repartirlas entre 3, pero sobra 1 subunidad. Si la volvemos a partir en diez subunidades más pequeñas, poniendo otra vez un cero detrás del 1 que ha resultado al restar, otra vez tenemos lo mismo, va a tocar a tres y va a sobrar una; y ahí ya vemos que la división no va a acabar, siempre se va a repetir.

Sin embargo, esto es debido a la base numérica que utilizamos, al sistema de símbolos. ¿Por qué partir en diez partes la unidad? Sólo es una elección arbitraria, normalizada, pero arbitraria.

Cuando uno parte un pastel para tres personas, hace directamente tres trozos iguales, no diez. Eso equivaldría en números a dividir en base tres: añadir el cero detrás del uno significa entonces 3 subunidades

“3 en base diez”=”10 en base tres”

*(y 1 es 1 en cualquier base)

Y ahora la división sí se acaba, el resultado va a ser 0,1 en base tres, que es lo mismo que 0,333... en base diez.

La base es una herramienta, una forma de notación, no tiene verdadera trascendencia teórica. En base diez sumamos tres veces 0,333... y nos da 0,999... En base tres sumamos lo mismo, tres veces 0,1, y nos da 0,3. Pero el símbolo 3 no existe en base 3, es 10, sólo tenemos tres símbolos 0,1,2. Luego es 0,(10) y nos llevamos una, con lo que queda 1, en cualquier base.

Es exactamente igual, tiene que ver con una cuestión simbólica.

Saludos.

Hola feriva! Muy interesante lo que me comentas.

Estoy de acuerdo en gran medida con lo que dices. Cuando dividimos 1/9=0,11111... estos infinitos decimales que encontramos son fruto de la base decimal que hemos tomado. Si tomáramos otra base esta división sería perfecta y no nos saldrían. Ahora recuerdo, como anécdota, que Platón tomaba como base el "supercompuesto" 7! al hablar de la organización de una sociedad perfecta, dado que nos permite crear gran cantidad de grupos y subgrupos de forma perfecta.

Ahora bien, y si no te he entendido mal, aquí ya pienso algo distinto: si bien el hecho de escoger una base u otra sea ya una decisión ciertamente arbitraria y convenida por nosotros, tomar una base u otra tiene efectos directos. Me explico, Platón escogió la base 7! porque era consciente de que a partir de esa base se podían hacer cosas que en otras bases no se puede. O si desde el renacimientos nosotros hemos tomado, en general, la base 10 es, también, porque con ella podemos hacer cosas que en otras bases o no se puede o al menos resulta muy complicado. O los egipcios, que usaban el sistema decimal para unas cosas y para otras el sistema sexagesimal.

Por tanto, visto así me parece que el hecho de que algo sea arbitrario y convenido no significa que sea trivial y obtengamos exactamente lo mismo haciendo una cosa u otra, con lo cual tanto daría hacerlo de un modo que de otro. Más bien pienso todo lo contrario, escoger una base u otra para tratar numéricamente un aspecto resulta crucial; hecho es que sin el sistema binario seguramente no se hubiera podido desarrollar la computación.

Por tanto, si cogemos la unidad y la dividimos por 9  en base 10 estamos diciendo que cogemos la unidad y podemos hacer tantas subparticiones como queramos porque nunca llegaremos a un punto final ya indivisible. ¿Cuántas subparticiones podemos hacer? Sí, tantas como queramos. ¿Y qué número es ese que identifica las subparticiones que se pueden hacer? ¿Acaso es un número natural? Y más interesante aún: ¿quién decide aquí qué respuestas tomar por válidas y no válidas?

Así pues, en base 10, tenemos que 1/9 nos da un número que puede tener tantas subdivisiones como queramos al no ser, en esta base, un número perfecto y concreto -aunque si cambiáramos la base podría ser de otro modo.

Entonces este número que podemos subdividir un número de veces tan grande como queramos y lo multiplicamos por 9, ¿qué obtenemos?:

\( 9·\displaystyle\frac{1}{9}=9·0,11111......=0,9999..... \)

Pero multiplicarlo por nueve es, en el fondo, un sumar 9 veces el mismo número \( (0,111...)+(0,111...)+(0,111...)+(0,111...)+(0,111...)+(0,111...)+(0,111...)+(0,111...)+(0,111...)=0,999... \).

¿Cómo hacemos esto? Comprendemos que algo que puede tener un número de subparticiones tan grande como queramos puede sumarse consigo mismo un número concreto de veces, y por tanto que un número natural concreto puede interactuar con este "número tan grande como queramos" que determina las subdivisiones. Y ciertamente ello cuadra con el hecho de que \( 9·\displaystyle\frac{1}{9}=\displaystyle\frac{9}{9}=1 \)

Por tanto, para que nos cuadre esto parece lícito pensar que existen números tan grandes como queramos, los cuales operan sin problemas con los números concretos para generar o bien otros números tan grandes como queramos, o bien otros números concretos. Por esta razón, defiendo que "los números tan grandes como queramos" serían, también, números naturales, pero no concretos. Sin embargo, admito que esta clasificación, como muchas de las clasificaciones que se hacen, es discutible. 

En todo caso, la cuestión será en ver cómo representamos estos "números tan grandes como queramos", y es un poco lo que me acaba de poner encima de la mesa Luís en su contestación. Con lo cual expondré cómo lo veo en una respuesta para él.

Un saludo!

[feriva]

Hola, RDC.

Se entiende que la base puede ser tan grande como queramos, pero no infinita (ha de tener una cantidad finita de símbolos para poder hacer matemáticas con ella). Con esa condición podremos representar cualquier número natural en cualquier base de forma equivalente.

La paradoja con el cardinal infinito de los naturales va a parecer con cualquier base natural al tener ésta siempre una cantidad finita de símbolos; porque así se considera, porque se define finita.

Esto no es un capricho, si, por ejemplo, un número en base diez tiene infinitas cifras, podemos decir que no acaba en cifra par o impar (porque no termina) y con esto desaparece una propiedad fundamental de los naturales, que sean pares o impares (no sólo eso, desaparece el concepto de divisibilidad respecto de todos los primos y compuestos).

Todos los números del conjunto se podrán escribir con una cantidad finita de cifras; en unas bases serán más largos que otras (tendrán más cifras) pero siempre serán finitos.

A cualquier número finito le podemos sumar 1 u otra cantidad finita y volverá a acabar; en cualquier base. Y como el resultado acaba siempre, está siempre “terminando” (pero no termina) si volvemos a sumar 1. vuelve a acabar más allá... Y así podemos estar infinitamente sin que nunca tenga un valor infinito. Tendremos un conjunto de infinitos números todos de valor finito.

Podemos pensar en construir el conjunto de los naturales en base 10 de la forma más sencilla; un subconjunto es, por ejemplo, {1,2,3,4,5}; y como empieza por 1 y van todos seguidos, el elemento de la derecha, 5, nos dice el cardinal del conjunto, cinco elementos. Igualmente con cualquier otro subconjunto {1,2,3,4,5,6,7} y el cardinal es 7.

Si ahora pensamos en el conjunto de infinitos elementos, llegará un instante en el que aparezca un número, digamos “m”, {1,2,3,4,5,6,7,8...m} cuyo valor tendrá que ser el del cardinal, o sea, infinito. ¿Pero se puede escribir un número de valor infinito con una cantidad finita de cifras en una base finita? No, si las cifras son finitas, el número acaba y su valor es finito, luego en el conjunto de los naturales hay al menos un números que no puede ser par, ni impar... y que no va a cumplir una serie de propiedades que cumplen todos; incluido él, por estar en el conjunto en el que, a la vez, no puede estar.

Cuál es el problema de fondo, pues dicho de una forma sencilla es que el cardinal del conjunto está “metido” en el conjunto como elemento. Así, el conjunto de “todos” los naturales no puede existir y de hecho es como se considera, no existe. Lo que existe es una clase universal, que no es exactamente un conjunto.

Si cuando dices W te refieres al conjunto \( {1,2,3...} \) todos seguidos hasta que aparezcan “números” de tantas cifras que no acaban nunca, perdón, éstos no serían del conjunto, que no acabe nunca la cantidad, quería decir (en una base finita, por supuesto) no es un “conjunto” distinto de \( \mathbb{N} \), no sólo está estrictamente contenido, es que es \( \mathbb{N} \).

Para que no sea todo \( \mathbb{N} \), o bien \( W \) tiene que ser finito o bien tiene que ser sólo el conjunto de los infinitos pares o el de los infinitos primos... algo así. En casos así sí tendrá cardinal infinito, será distinto de \( \mathbb{N} \) y estará contenido en \( \mathbb{N} \), es decir, será un subconjunto infinito del conjunto o clase universal \( \mathbb{N} \).

Saludos.

[RDC]

HOla

Obviamente, si consideramos que el conjunto de los naturales está formado exclusivamente por números finitos, entonces el conjunto W (de los números tan grandes como queramos) no puede ser uno de sus subconjuntos. Estoy de acuerdo, Luís.

Pero entonces estás llamando "naturales" a algo que no se parece en nada a lo que se entiende por los naturales como convenio en matemáticas; y te referirías a un conjunto con propiedades diferentes. Entre otras cosas sería un conjunto con distinta cardinalidad que los naturales usuales.

Si les llamas naturales estás creando confusión en todo tu desarrollo. De hecho en otro hilo, utilizas esto para criticar el argumento de Cantor, porque \( W \) (creo) si es biyectivo con TUS-naturales. Digo creo porque tendría que estar seguro de entender que entiendes tu por TUS-naturales.

Hola Luís!

Sí, siempre he dicho que lo que expongo es una forma diferente de ver los naturales. Y no es la única, pues parece que no hay una forma correcta y universal de verlo. En este sentido entiendo que haya lectores, como geométrecat, que digan: a mí esto no me interesa, prefiero jugar al juego de toda la vida. Perfecto. Ahora bien, si hay alguien que le interese desarrollar este juego, pues hablamos. Y si no hay nadie, pues hablaré solo.

La cuestión es que todo esto no se basa, a diferencia de lo que creían los logicistas hace 150 años, en verdades objetivas y autoevidencias metafísicas y universales, sino en consideraciones y convenciones nuestras. Hecho es, por ejemplo, que si hubiera sido por Poincaré toda esta rama de las matemáticas no se habría desarrollado, pero fue Hilbert, por sus convicciones, quién estimuló a muchos jóvenes matemáticos de principios del s.XX, como Gödel, a entrar en la teoría de conjuntos, la axiomática finitista y algorítmica, etc.

Spoiler

En su "ciencia e hipótesis" Poincaré deja clarísimo que el logicismo no iba a ninguna parte, era una pérdida de tiempo matemáticamente hablando, porque señala como basa en falacias, mentiras o suposiciones manifiestamente triviales. Además de no tener en cuenta de como, en efecto, los humanos desarrollamos las matemáticas. Ahora bien, lo que no tuvo en cuenta el francés es que, aún todas estas falacias y suposiciones triviales, esos matemáticos estaban desarrollando unas nuevas matemáticas para computadoras (fundamentan teóricamente el pensamiento máquina), aunque aún no existiesen tales computadoras. Y ciertamente, el pensamiento humano no es exactamente el pensamiento máquina: podemos pensar cosas que ellas no pueden -pero este es otro tema

[cerrar]

Me parece claro y evidente que si la teoría de conjuntos, la axiomática, etc, se toma como cierta, interesa y se estudia es, en grandísima medida, porque articula las bases teóricas de la computación, no porque sea verdad de la verdadera y palabrita del niño Jesús. Y la computación es crucial en nuestros días.

De hecho, me gustaría aclarar un punto para que los que me lean no me mal interpreten: que una idea o una teoría se fundamente sobre ciertas falacias, trivialidades o redundancias, incluso sobre contradicciones internas, mentiras empíricas (por ejemplo simplificaciones) y suposiciones inverificables, no implica, para nada, que no sea útil, que no nos permita desarrollar instrumentos potentísimos y por tanto, que sea considerada convenientemente como válida, acertada o aceptada: se estudie, aprenda de memoria y se emplee.  De hecho, parece ser que toda la matemática se ha desarrollado empleando estas cosas.

Pues aquí viene lo que en mi opinión es tu primer brindis al sol. No veo que tiene que ver lo que dices aquí con todo lo que habías expuesto hasta el momento.

Si, un número natural se puede representar con una cadena infinita de cifras. El 1 podría representarse como \( 101111\ldots \) el dos como \( 2011111\ldots \) el tres como \( 301111\ldots \) el \( 10 \) como \( 1101111 \). Esto es por poner un ejemplo. Pero como te dije como representemos los números es lo de menos; la cuestión es si estamos hablando de lo mismo que te comentaba al principio.

El dos debería de significar "el número siguiente al uno" independientemente de que para representarlos usemos una cifra, mil, infinitas, caracteres chinos, Xs o palitos...

Si no es así; no se en que se parece esa cosa de la que quieres hablar, ese conjunto que quiere definir, a la idea intuitiva de número natural.

Me ha chocado leer esto, porque no iba por aquí. Pero luego dices:

Si tu pretendes llamar número natural a cualquier secuencia (infita) de cifras decimales:

\( a_1a_2\ldots a_n\ldots  \)

simplemente eso NO tiene nada que ver con los números que se consideran naturales (de hecho se parecería bastante más al conjunto de reales).

Sí, pretendo llamar "número natural" a una secuencia infinita de cifras decimales.

Sí, eso no tiene nada que ver con los números que se consideran naturales por convenio desde hace siglos.

Sí, eso se parecería más al conjunto de los reales. Aunque la cosa no aprece ser tan simple, porque se podría demostrar que este conjunto es menor que el de los reales, pero también de igual tamaño (lo hago en el otro post en sus spoileers) o incluso mayor que el de los reales (es lo que intento demostrar en el otro post). ¿De qué depende que este conjunto especial de naturales sea menor, igual o mayor que los reales? Del método que les apliquemos para relacionarlos.

Si he demostrado algo, es que ante conjuntos infinitos es el método lo que determina sus cualidades, porque por sí mismos no tienen muchas por ser, precisamente, infinitos.

Por tanto, Luís, tienes toda la razón, pero no toda (si se me permite la broma).

De hecho, ya que hablas de que este conjunto de naturales sería equiparable al de los reales, me gustaría comentar como Chaitín, en su libro "el número Omega" propone algo similar, pero del revés: defiende a cara de perro (empleando un montón de argumentos, no sólo matemático/computacionales), la idea de que los números irracionales no pueden ser números reales; que los números reales son sólo racionales, mientras que los irracionales serían un supragrupo que llama irreales.

un saludo!

     




 
 





 

[RDC]

Hola, RDC.


Si ahora pensamos en el conjunto de infinitos elementos, llegará un instante en el que aparezca un número, digamos “m”, {1,2,3,4,5,6,7,8...m} cuyo valor tendrá que ser el del cardinal, o sea, infinito. ¿Pero se puede escribir un número de valor infinito con una cantidad finita de cifras en una base finita? No, si las cifras son finitas, el número acaba y su valor es finito, luego en el conjunto de los naturales hay al menos un números que no puede ser par, ni impar... y que no va a cumplir una serie de propiedades que cumplen todos; incluido él, por estar en el conjunto en el que, a la vez, no puede estar.

Cuál es el problema de fondo, pues dicho de una forma sencilla es que el cardinal del conjunto está “metido” en el conjunto como elemento. Así, el conjunto de “todos” los naturales no puede existir y de hecho es como se considera, no existe. Lo que existe es una clase universal, que no es exactamente un conjunto.

Estoy bastante de acuerdo con esto que has expuesto Feriva!!

Estos números tan grandes como queramos, W, tienen propiedades distintas de los naturales, con lo cual entiendo perfectamente que se me diga que no serían naturales. Lo que ocurre es que emergen del hecho, como bien expones, de considerar el conjunto, o clase, de los naturales como una entidad de infinitos elementos.

Pero es que este es el problema del infinito desde tiempo inmemoriables: juega a otra cosa distinta que todo lo finito.

De modo que me parece conflictivo y dudoso extrapolar propiedades de lo infinito a partir de las propiedades que generalizamos inductivamente de lo finito. Por eso, por ejemplo, he criticado en el otro hilo que a partir de la existencia del conjunto B que presentan las listas finitas de elementos de los conjuntos potencia Cantor lo generalice a la ligera y admita a priori que tal conjunto también aparecerá al confeccionar la lista de los infinitos elementos de los conjuntos potencia.

Si cuando dices W te refieres al conjunto \( {1,2,3...} \) todos seguidos hasta que aparezcan “números” de tantas cifras que no acaban nunca, perdón, éstos no serían del conjunto, que no acabe nunca la cantidad, quería decir (en una base finita, por supuesto) no es un “conjunto” distinto de \( \mathbb{N} \), no sólo está estrictamente contenido, es que es \( \mathbb{N} \).

Para que no sea todo \( \mathbb{N} \), o bien \( W \) tiene que ser finito o bien tiene que ser sólo el conjunto de los infinitos pares o el de los infinitos primos... algo así. En casos así sí tendrá cardinal infinito, será distinto de \( \mathbb{N} \) y estará contenido en \( \mathbb{N} \), es decir, será un subconjunto infinito del conjunto o clase universal \( \mathbb{N} \).

Sobre esto tengo mis dudas, Feriva. Entiendo que si bien podemos tener un número tan grande como queramos cuyas cifras expresen, precisamente, todos los elementos que conforman N, incluso en su mismo orden, sin embargo no por ello dejaría de ser un elemento más de N, no el propio N. ¿No lo ves así?

Además, admito que estos números W sean tan grandes como queramos y por ello los podamos representar mediante infinitas cifras (en base decimal), quizás implique que no tengan un tamaño propiamente dicho, pero sí pueden presentar un cierto orden y por tanto se puede operar de algún modo con ellos, tal y como he intentado avanzar en el primer post de este hilo.

Saludos!

[feriva]

De modo que me parece conflictivo y dudoso extrapolar propiedades de lo infinito a partir de las propiedades que generalizamos inductivamente de lo finito. Por eso, por ejemplo, he criticado en el otro hilo que a partir de la existencia del conjunto B que presentan las listas finitas de elementos de los conjuntos potencia Cantor lo generalice a la ligera y admita a priori que tal conjunto también aparecerá al confeccionar la lista de los infinitos elementos de los conjuntos potencia.

Estoy de acuerdo en que todo lo que toque el infinito es conflictivo, de hecho siempre lleva a largas discusiones; no sólo aquí, ya históricamente entre los matemáticos famosos, como el propio Cantor y Kronecker, por ejemplo.

En cuanto al argumento de Cantor se me ocurre que se puede ver “inductivamente” con números finitos y, en realidad, es una cosa sumamente simple.

Si consideramos colocar todos los números de 2 cifras uno encima de otro, nunca formaremos un cuadrado, una tabla cuadrada, porque hay 90 números y sólo dos cifras, la razón es \( \dfrac{2}{90}=\dfrac{1}{45} \), y así la matriz es vertical y alargada. Con 3 cifras es aún más alargada, pues la razón es \( \dfrac{3}{900}=\dfrac{1}{300} \)... Es decir, si tomamos la diagonal, en el primer caso sólo podemos hacerlo con las dos primeras filas (para formar una matriz cuadrada) de 90 números sólo tomamos dos para componer otro número; que estará por “ahí abajo” en la columna y no hemos apuntado al formar un cuadrado, obviamente.

Ahora, si formamos un cuadrado con números de infinitas cifras, o sea, con el cardinal de \( \mathbb{N} \), tendremos un cuadrado de \( card(\mathbb{N})\times card(\mathbb{N}) \); la cantidad de números que dejamos sin contar tiende a infinito y la que contamos tiende a cero pese a ser también infinita.

Esto no es raro en matemáticas, la cantidad de primos tiende a cero en comparación con todos los naturales y también hay infinitos. Aquí vemos la diferencia entre “cardinal” y otros conceptos; tanto los primos como los naturales se pueden ir numerando todos con el mismo cardinal pese a que, si vamos tomando tantos naturales consecutivos como queramos, la cantidad de primos será cada vez menor en comparación. Pero eso no impide numerarlos, porque en un cuadrado \( card(\mathbb{N})\times card(\mathbb{N}) \) sí caben todos los naturales; y los racionales e incluso muchos irracionales aisladamente.

La diferencia entre esos cardinales no la arregla elegir una u otra base numérica, siempre tendremos más números posibles que cifras, es una cuestión meramente combinatoria.

Lo que se puede discutir es hasta qué punto es útil considerar esto de los distintos infinitos, pero, si entramos en esa cuestión, nos podemos preguntar lo mismo por la utilidad de muchas cosas.

Sobre esto tengo mis dudas, Feriva. Entiendo que si bien podemos tener un número tan grande como queramos cuyas cifras expresen, precisamente, todos los elementos que conforman N, incluso en su mismo orden, sin embargo no por ello dejaría de ser un elemento más de N, no el propio N. ¿No lo ves así?

Además, admito que estos números W sean tan grandes como queramos y por ello los podamos representar mediante infinitas cifras (en base decimal), quizás implique que no tengan un tamaño propiamente dicho, pero sí pueden presentar un cierto orden y por tanto se puede operar de algún modo con ellos, tal y como he intentado avanzar en el primer post de este hilo.

Saludos!

Claro, también lo veo así sin dejarlo de ver de la otra manera, es que es una paradoja inevitable.
Yo no soy matemático, pero llevo en el foro mucho mucho tiempo y ya me he acostumbrado a aceptar este tipo de cosas. Si, por ejemplo, queremos plantearnos la verdad o falsedad del teorema de Fermat, tenemos que definir los números naturales (o enteros, más en general). Si definimos como número natural un número que no acaba, éste se comporta para muchas cosas como un irracional (es lo mismo sin la coma) y entonces el teorema es falso directamente, sí existierán tres enteros tales que \( x^{n}+y^{n}=z^{n} \) con n>2; habría que admitirlo igual que se admite con los reales. Esto lo puedes ver en la demostración para la potencia n=4, que hizo el propio Fermat; en ella usa el descenso al infinito, con lo que no muestra que no existan números posibles, sino que, si existen, tienen que ser infinitos en algún sentido (en cuanto a valor o sólo en cuanto a cantidad de cifras).

Ya se trate de un sistema numérico u otro (base decimal o la que sea) habrá números que sean múltiplos de un primo o no, o de varios; pero esto sólo puede ser así si los número terminan, si no, no tienen ninguna divisibilidad definida, pasa como con los no enteros.
Y, bueno, cuando tienen una divisibilidad definida y son positivos se les llama naturales, el nombre es lo de menos, se les podría llamar de otra manera, la cuestión es que es útil definirlos así para plantear conjeturas y muchas cosas.

El mero hecho de ir contándolos implica que sean alternativamente pares e impares; así, si un conjunto se puede contar o numerar, es porque se puede biyectar con números pares, múltiplos de 3, de 4... de “n”.

Surge esa paradoja inevitable, no es posible contar hasta infinito pese a que sí es posible estar contando infinitamente (en teoría, mortalidad aparte).

Saludos.