Hola
RDC:
Ahora bien, y si no te he entendido mal, aquí ya pienso algo distinto: si bien el hecho de escoger una base u otra sea ya una decisión ciertamente arbitraria y convenida por nosotros, tomar una base u otra tiene efectos directos. Me explico, Platón escogió la base 7! porque era consciente de que a partir de esa base se podían hacer cosas que en otras bases no se puede. O si desde el renacimientos nosotros hemos tomado, en general, la base 10 es, también, porque con ella podemos hacer cosas que en otras bases o no se puede o al menos resulta muy complicado. O los egipcios, que usaban el sistema decimal para unas cosas y para otras el sistema sexagesimal.
No. Eso no es cierto. Nuevamente me parece que confundes el número con su representación; o das una importancia excesiva a la forma de representar los números frente a lo que realmente los caracteriza.
El trabajar en una base u otra es bastante anecdótico; puede ser más cómodo elegir una u otra para realizar ciertos cálculos o comprobaciones, pero no hay una diferencia esencial. De hecho el pasar de una base a otra es un proceso mecánico y rápido, así que fácilmente una podría traducir un número a la base que desee y aprovechar las ventajillas de esa expresión.
Hola Luís, aquí difiero algo de lo que comentas.
Pienso que cada forma de expresar unos números, aunque esas formas sean equivalentes, conllevan cosas diferentes. Algunas te dan ventajas para hacer ciertas cosas, otras te permiten ver la situación de otro modo, algunas te permiten tratar mejor ciertos objetos que otros, etc. Por eso es importante, en este caso, elegir la base con la que se trabaja, aunque en el fondo todo sea equivalente. Es como encontrar simetrías: nos permiten profundizar en la comprensión de lo que estudiamos. Por ejemplo, que occidente desechara la representación numérica romana y adoptara la base 10 junto la notación numérica oriental nos ha permitido desarrollar muchísimo el cálculo. Aunque los número siempre hayan sido los mismos.
Por tanto, sí, pienso que el desarrollo de las representaciones de nuestras ideas es crucial para la evolución de nuestro conocimiento. ¿es un error como dices? No sé...
Por tanto, visto así me parece que el hecho de que algo sea arbitrario y convenido no significa que sea trivial y obtengamos exactamente lo mismo haciendo una cosa u otra, con lo cual tanto daría hacerlo de un modo que de otro. Más bien pienso todo lo contrario, escoger una base u otra para tratar numéricamente un aspecto resulta crucial; hecho es que sin el sistema binario seguramente no se hubiera podido desarrollar la computación.
Eso es una cuestión técnica, física, pero no matemática; el \( 0/1 \) es fácil de modelizar con sólo dos estados (por ejemplo pasa/no pasa electricidad).
Exacto, por eso fue fundamental que un tipo como Leibniz hubiera puesto las bases, y desarrollado, el cálculo binario: para poder tratar con gran efectividad estos temas. Incluso no son pocos los que ya consideran que los 1 y 0 son, en efecto, la verdadera esencia de la realidad. (No es mi caso)
Por tanto, si cogemos la unidad y la dividimos por 9 en base 10 estamos diciendo que cogemos la unidad y podemos hacer tantas subparticiones como queramos porque nunca llegaremos a un punto final ya indivisible. ¿Cuántas subparticiones podemos hacer? Sí, tantas como queramos. ¿Y qué número es ese que identifica las subparticiones que se pueden hacer? ¿Acaso es un número natural? Y más interesante aún: ¿quién decide aquí qué respuestas tomar por válidas y no válidas?
Uno puede trabajar con números racionales sin preocuparse en que base se trabaja, que es anecdótico. \( 1/9 \) es el número que multiplicado por \( 9=XXXXXXXXX \) da \( 1=X \). Y es no no tiene nada que ver con que luego, dependiendo de la base, ese número se pueda expresar con una cantidad finita o infinita de cifras decimales.
A la representación con infinitas cifras decimales, se le puede dar un significado preciso introduciendo el concepto de límite o simplemente estableciendo una serie de reglas para.
Ok
Así pues, en base 10, tenemos que 1/9 nos da un número que puede tener tantas subdivisiones como queramos al no ser, en esta base, un número perfecto y concreto -aunque si cambiáramos la base podría ser de otro modo.
Entonces este número que podemos subdividir un número de veces tan grande como queramos y lo multiplicamos por 9, ¿qué obtenemos?:
\( 9·\displaystyle\frac{1}{9}=9·0,11111......=0,9999..... \)
Pero multiplicarlo por nueve es, en el fondo, un sumar 9 veces el mismo número \( (0,111...)+(0,111...)+(0,111...)+(0,111...)+(0,111...)+(0,111...)+(0,111...)+(0,111...)+(0,111...)=0,999... \).
¿Cómo hacemos esto? Comprendemos que algo que puede tener un número de subparticiones tan grande como queramos puede sumarse consigo mismo un número concreto de veces, y por tanto que un número natural concreto puede interactuar con este "número tan grande como queramos" que determina las subdivisiones.
No se que "películas" te montas. No se donde ves ese "numero tan grande como queramos". ¿A qué llamas "grande"?. ¿A qué aparezcan infinitas cifras en su expresión decimal?.
\( 1=1.0000\ldots=0.9999\ldots \)
Esas tres expresiones representan el \( 1 \). ¿Lo hace más "grande" o menos "grande" el usar una u otra representación?.
Me cuesta encontrar sentido a tu explicación.
No estoy nada seguro de esto que afirmas: si coges una máquina simple y le dices divide 1 entre 9, y cuando termines multiplica el resultado por 9 ¿Qué número te va a dar?
Por tanto, para que nos cuadre esto parece lícito pensar que existen números tan grandes como queramos, los cuales operan sin problemas con los números concretos para generar o bien otros números tan grandes como queramos, o bien otros números concretos. Por esta razón, defiendo que "los números tan grandes como queramos" serían, también, números naturales, pero no concretos. Sin embargo, admito que esta clasificación, como muchas de las clasificaciones que se hacen, es discutible.
Como te comenté antes no se a que "números tan grandes como queramos te refieres" y desde luego nada de eso es necesario para manejar números racionales (fraccionarios) ni para dar un sentido a su expresión decimal, incluso aunque aparezcan infinitas cifras decimales.
Ya,mmmm... De hecho le estoy dando vueltas a esto que ya me hass cometnado varias veces. Y otros veo que también. Pero ahora estoy un poco liado.
Sí, siempre he dicho que lo que expongo es una forma diferente de ver los naturales. Y no es la única, pues parece que no hay una forma correcta y universal de verlo. En este sentido entiendo que haya lectores, como geométrecat, que digan: a mí esto no me interesa, prefiero jugar al juego de toda la vida. Perfecto. Ahora bien, si hay alguien que le interese desarrollar este juego, pues hablamos. Y si no hay nadie, pues hablaré solo. 
A mi entrar en cuestiones filosóficas tampoco me interesa demasiado; pero tu estás haciendo afirmaciones sobre cuestiones matemáticas, que están mal. Y por ahí si entro.
Está mal afirmar o considerar que 2+2=5 aceptando las reglas y convenios aritméticos establecidos (no tengo ningún problema en admitir eso cuando los cometo), pero no está mal intentar proponer otras reglas y convenios. Otra cosa es que intentando eso se llegue a algo fructífero y útil o no -que por el momento no sé.
Pues aquí viene lo que en mi opinión es tu primer brindis al sol. No veo que tiene que ver lo que dices aquí con todo lo que habías expuesto hasta el momento.
Si, un número natural se puede representar con una cadena infinita de cifras. El 1 podría representarse como \( 101111\ldots \) el dos como \( 2011111\ldots \) el tres como \( 301111\ldots \) el \( 10 \) como \( 1101111 \). Esto es por poner un ejemplo. Pero como te dije como representemos los números es lo de menos; la cuestión es si estamos hablando de lo mismo que te comentaba al principio.
El dos debería de significar "el número siguiente al uno" independientemente de que para representarlos usemos una cifra, mil, infinitas, caracteres chinos, Xs o palitos...
Si no es así; no se en que se parece esa cosa de la que quieres hablar, ese conjunto que quiere definir, a la idea intuitiva de número natural.
Me ha chocado leer esto, porque no iba por aquí.
Sería bueno que aclarases exactamente qué te ha chocado de ahí.
Pero luego dices:
Si tu pretendes llamar número natural a cualquier secuencia (infita) de cifras decimales:
\( a_1a_2\ldots a_n\ldots \)
simplemente eso NO tiene nada que ver con los números que se consideran naturales (de hecho se parecería bastante más al conjunto de reales).
Sí, pretendo llamar "número natural" a una secuencia infinita de cifras decimales.
Bien.
Sí, eso no tiene nada que ver con los números que se consideran naturales por convenio desde hace siglos.
Para entendernos los números que se consideran naturales por convenio son:
\( 1=X \)
\( 2=XX \)
\( 3=XXX \)
\( 4=XXXX \)
\( \ldots \)
Si TUS-naturales no se parecen en nada a eso, pues...¡acabáramos!. Fin de la discusión. Pero no le llames naturales a algo que no se parece en nada a los naturales. No inicies una exposición diciendo que los gatos podrían no ser felinos, si le estás llamando gato a un perro.
El problema es que por en medio has usado ese conjunto de naturales que no se parecen en nada a los naturales para criticar los argumentos de Cantor; y eso crea confusión (de hecho creo que hasta a ti mismo). Porque cuando hablas de naturales uno no sabe si hablas de lo que todo el mundo entiende por naturales o de ese conjunto al que te refieres tu, que no se parece en nada a los naturales, pero que...¡vaya por Dios!... te da por llamar naturales.
Sí, eso se parecería más al conjunto de los reales.
¡Ah!.
Aunque la cosa no aprece ser tan simple, porque se podría demostrar que este conjunto es menor que el de los reales, pero también de igual tamaño (lo hago en el otro post en sus spoileers) o incluso mayor que el de los reales (es lo que intento demostrar en el otro post). ¿De qué depende que este conjunto especial de naturales sea menor, igual o mayor que los reales? Del método que les apliquemos para relacionarlos.
Es cierto que a la hora de comparar tamaños (de conjuntos
) hay que fijar que método se usa; es decir aclarar que entendemos por conjunto más grande o más pequeño. Sin embargo tengo ciertas dudas de en que estás pensando cuando dices que podría ser mayor o menor. No estoy seguro de en que otro post y en que parte del mismo tengo que leer eso.
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Intentaré aclararlo en otor momento. Que estoy muy liado.
gracias Luís por tus comentarios.
feriva:Si ahora pensamos en el conjunto de infinitos elementos, llegará un instante en el que aparezca un número, digamos “m”, {1,2,3,4,5,6,7,8...m} cuyo valor tendrá que ser el del cardinal, o sea, infinito. ¿Pero se puede escribir un número de valor infinito con una cantidad finita de cifras en una base finita? No, si las cifras son finitas, el número acaba y su valor es finito, luego en el conjunto de los naturales hay al menos un números que no puede ser par, ni impar... y que no va a cumplir una serie de propiedades que cumplen todos; incluido él, por estar en el conjunto en el que, a la vez, no puede estar.
No se que quieres decir con eso. Los naturales tienen infinitos elementos y no aparece ese "número m".
Cuál es el problema de fondo, pues dicho de una forma sencilla es que el cardinal del conjunto está “metido” en el conjunto como elemento. Así, el conjunto de “todos” los naturales no puede existir y de hecho es como se considera, no existe. Lo que existe es una clase universal, que no es exactamente un conjunto.
No se de donde te sacas eso.
El conjunto de los naturales, es decir, \( \Bbb N=\{1,2,3,\ldots\} \) se considera que existe.
El conjunto de partes de los naturales (subonjuntos de \( \Bbb N \)) también se considera que existe.
Y lo que da la lata y mucho es considerar el conjunto de todos los conjuntos; eso si que se considera que no existe y ahí salen al ruedo las "clases".
Me parece que estás mezclando todo eso.
Saludos.
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