[Luis Fuentes]

Hola

RDC:

Ahora bien, y si no te he entendido mal, aquí ya pienso algo distinto: si bien el hecho de escoger una base u otra sea ya una decisión ciertamente arbitraria y convenida por nosotros, tomar una base u otra tiene efectos directos. Me explico, Platón escogió la base 7! porque era consciente de que a partir de esa base se podían hacer cosas que en otras bases no se puede. O si desde el renacimientos nosotros hemos tomado, en general, la base 10 es, también, porque con ella podemos hacer cosas que en otras bases o no se puede o al menos resulta muy complicado. O los egipcios, que usaban el sistema decimal para unas cosas y para otras el sistema sexagesimal.

No. Eso no es cierto. Nuevamente me parece que confundes el número con su representación; o das una importancia excesiva a la forma de representar los números frente a lo que realmente los caracteriza.

El trabajar en una base u otra es bastante anecdótico; puede ser más cómodo elegir una u otra para realizar ciertos cálculos o comprobaciones, pero no hay una diferencia esencial. De hecho el pasar de una base a otra es un proceso mecánico y rápido, así que fácilmente una podría traducir un número a la base que desee y aprovechar las ventajillas de esa expresión.

Por tanto, visto así me parece que el hecho de que algo sea arbitrario y convenido no significa que sea trivial y obtengamos exactamente lo mismo haciendo una cosa u otra, con lo cual tanto daría hacerlo de un modo que de otro. Más bien pienso todo lo contrario, escoger una base u otra para tratar numéricamente un aspecto resulta crucial; hecho es que sin el sistema binario seguramente no se hubiera podido desarrollar la computación.

Eso es una cuestión técnica, física, pero no matemática; el \( 0/1 \) es fácil de modelizar con sólo dos estados (por ejemplo pasa/no pasa electricidad).

Por tanto, si cogemos la unidad y la dividimos por 9  en base 10 estamos diciendo que cogemos la unidad y podemos hacer tantas subparticiones como queramos porque nunca llegaremos a un punto final ya indivisible. ¿Cuántas subparticiones podemos hacer? Sí, tantas como queramos. ¿Y qué número es ese que identifica las subparticiones que se pueden hacer? ¿Acaso es un número natural? Y más interesante aún: ¿quién decide aquí qué respuestas tomar por válidas y no válidas?

Uno puede trabajar con números racionales sin preocuparse en que base se trabaja, que es anecdótico. \( 1/9 \) es el número que multiplicado por \( 9=XXXXXXXXX \) da \( 1=X \). Y es no no tiene nada que ver con que luego, dependiendo de la base, ese número se pueda expresar con una cantidad finita o infinita de cifras decimales.

A la representación con infinitas cifras decimales, se le puede dar un significado preciso introduciendo el concepto de límite o simplemente estableciendo una serie de reglas para.

Así pues, en base 10, tenemos que 1/9 nos da un número que puede tener tantas subdivisiones como queramos al no ser, en esta base, un número perfecto y concreto -aunque si cambiáramos la base podría ser de otro modo.

Entonces este número que podemos subdividir un número de veces tan grande como queramos y lo multiplicamos por 9, ¿qué obtenemos?:

\( 9·\displaystyle\frac{1}{9}=9·0,11111......=0,9999..... \)

Pero multiplicarlo por nueve es, en el fondo, un sumar 9 veces el mismo número \( (0,111...)+(0,111...)+(0,111...)+(0,111...)+(0,111...)+(0,111...)+(0,111...)+(0,111...)+(0,111...)=0,999... \).

¿Cómo hacemos esto? Comprendemos que algo que puede tener un número de subparticiones tan grande como queramos puede sumarse consigo mismo un número concreto de veces, y por tanto que un número natural concreto puede interactuar con este "número tan grande como queramos" que determina las subdivisiones.

No se que "películas" te montas. No se donde ves ese "numero tan grande como queramos". ¿A qué llamas "grande"?. ¿A qué aparezcan infinitas cifras en su expresión decimal?.

\( 1=1.0000\ldots=0.9999\ldots \)

Esas tres expresiones representan el \( 1 \). ¿Lo hace más "grande" o menos "grande" el usar una u otra representación?.

Me cuesta encontrar sentido a tu explicación.

Por tanto, para que nos cuadre esto parece lícito pensar que existen números tan grandes como queramos, los cuales operan sin problemas con los números concretos para generar o bien otros números tan grandes como queramos, o bien otros números concretos. Por esta razón, defiendo que "los números tan grandes como queramos" serían, también, números naturales, pero no concretos. Sin embargo, admito que esta clasificación, como muchas de las clasificaciones que se hacen, es discutible.

 

Como te comenté antes no se a que "números tan grandes como queramos te refieres" y desde luego nada de eso es necesario para manejar números racionales (fraccionarios) ni para dar un sentido a su expresión decimal, incluso aunque aparezcan infinitas cifras decimales.

Sí, siempre he dicho que lo que expongo es una forma diferente de ver los naturales. Y no es la única, pues parece que no hay una forma correcta y universal de verlo. En este sentido entiendo que haya lectores, como geométrecat, que digan: a mí esto no me interesa, prefiero jugar al juego de toda la vida. Perfecto. Ahora bien, si hay alguien que le interese desarrollar este juego, pues hablamos. Y si no hay nadie, pues hablaré solo.

A mi entrar en cuestiones filosóficas tampoco me interesa demasiado; pero tu estás haciendo afirmaciones sobre cuestiones matemáticas, que están mal. Y por ahí si entro.

Pues aquí viene lo que en mi opinión es tu primer brindis al sol. No veo que tiene que ver lo que dices aquí con todo lo que habías expuesto hasta el momento.

Si, un número natural se puede representar con una cadena infinita de cifras. El 1 podría representarse como \( 101111\ldots \) el dos como \( 2011111\ldots \) el tres como \( 301111\ldots \) el \( 10 \) como \( 1101111 \). Esto es por poner un ejemplo. Pero como te dije como representemos los números es lo de menos; la cuestión es si estamos hablando de lo mismo que te comentaba al principio.

El dos debería de significar "el número siguiente al uno" independientemente de que para representarlos usemos una cifra, mil, infinitas, caracteres chinos, Xs o palitos...

Si no es así; no se en que se parece esa cosa de la que quieres hablar, ese conjunto que quiere definir, a la idea intuitiva de número natural.

Me ha chocado leer esto, porque no iba por aquí.

Sería bueno que aclarases exactamente qué te ha chocado de ahí.

Pero luego dices:

Si tu pretendes llamar número natural a cualquier secuencia (infita) de cifras decimales:

\( a_1a_2\ldots a_n\ldots  \)

simplemente eso NO tiene nada que ver con los números que se consideran naturales (de hecho se parecería bastante más al conjunto de reales).

Sí, pretendo llamar "número natural" a una secuencia infinita de cifras decimales.

Bien.

Sí, eso no tiene nada que ver con los números que se consideran naturales por convenio desde hace siglos.

Para entendernos los números que se consideran naturales por convenio son:

\( 1=X \)
\( 2=XX \)
\( 3=XXX \)
\( 4=XXXX \)
\( \ldots \)

Si TUS-naturales no se parecen en nada a eso, pues...¡acabáramos!. Fin de la discusión. Pero no le llames naturales a algo que no se parece en nada a los naturales. No inicies una exposición diciendo que los gatos podrían no ser felinos, si le estás llamando gato a un perro.

El problema es que por en medio has usado ese conjunto de naturales que no se parecen en nada a los naturales para criticar los argumentos de Cantor; y eso crea confusión (de hecho creo que hasta a ti mismo). Porque cuando hablas de naturales uno no sabe si hablas de lo que todo el mundo entiende por naturales o de ese conjunto al que te refieres tu, que no se parece en nada a los naturales, pero que...¡vaya por Dios!... te da por llamar naturales.

Sí, eso se parecería más al conjunto de los reales.

¡Ah!.

Aunque la cosa no aprece ser tan simple, porque se podría demostrar que este conjunto es menor que el de los reales, pero también de igual tamaño (lo hago en el otro post en sus spoileers) o incluso mayor que el de los reales (es lo que intento demostrar en el otro post). ¿De qué depende que este conjunto especial de naturales sea menor, igual o mayor que los reales? Del método que les apliquemos para relacionarlos.

Es cierto que a la hora de comparar tamaños (de conjuntos  ) hay que fijar que método se usa; es decir aclarar que entendemos por conjunto más grande o más pequeño. Sin embargo tengo ciertas dudas de en que estás pensando cuando dices que podría ser mayor o menor. No estoy seguro de en que otro post y en que parte del mismo tengo que leer eso.

feriva:

Si ahora pensamos en el conjunto de infinitos elementos, llegará un instante en el que aparezca un número, digamos “m”, {1,2,3,4,5,6,7,8...m} cuyo valor tendrá que ser el del cardinal, o sea, infinito. ¿Pero se puede escribir un número de valor infinito con una cantidad finita de cifras en una base finita? No, si las cifras son finitas, el número acaba y su valor es finito, luego en el conjunto de los naturales hay al menos un números que no puede ser par, ni impar... y que no va a cumplir una serie de propiedades que cumplen todos; incluido él, por estar en el conjunto en el que, a la vez, no puede estar.

No se que quieres decir con eso. Los naturales tienen infinitos elementos y no aparece ese "número m".

Cuál es el problema de fondo, pues dicho de una forma sencilla es que el cardinal del conjunto está “metido” en el conjunto como elemento. Así, el conjunto de “todos” los naturales no puede existir y de hecho es como se considera, no existe. Lo que existe es una clase universal, que no es exactamente un conjunto.

No se de donde te sacas eso.

El conjunto de los naturales, es decir, \( \Bbb N=\{1,2,3,\ldots\} \) se considera que existe.

El conjunto de partes de los naturales (subonjuntos de \( \Bbb N \)) también se considera que existe.

Y lo que da la lata y mucho es considerar el conjunto de todos los conjuntos; eso si que se considera que no existe y ahí salen al ruedo las "clases".

Me parece que estás mezclando todo eso.

Saludos.

[RDC]

De modo que me parece conflictivo y dudoso extrapolar propiedades de lo infinito a partir de las propiedades que generalizamos inductivamente de lo finito. Por eso, por ejemplo, he criticado en el otro hilo que a partir de la existencia del conjunto B que presentan las listas finitas de elementos de los conjuntos potencia Cantor lo generalice a la ligera y admita a priori que tal conjunto también aparecerá al confeccionar la lista de los infinitos elementos de los conjuntos potencia.

Estoy de acuerdo en que todo lo que toque el infinito es conflictivo, de hecho siempre lleva a largas discusiones; no sólo aquí, ya históricamente entre los matemáticos famosos, como el propio Cantor y Kronecker, por ejemplo.

En cuanto al argumento de Cantor se me ocurre que se puede ver “inductivamente” con números finitos y, en realidad, es una cosa sumamente simple.

Si consideramos colocar todos los números de 2 cifras uno encima de otro, nunca formaremos un cuadrado, una tabla cuadrada, porque hay 90 números y sólo dos cifras, la razón es \( \dfrac{2}{90}=\dfrac{1}{45} \), y así la matriz es vertical y alargada. Con 3 cifras es aún más alargada, pues la razón es \( \dfrac{3}{900}=\dfrac{1}{300} \)... Es decir, si tomamos la diagonal, en el primer caso sólo podemos hacerlo con las dos primeras filas (para formar una matriz cuadrada) de 90 números sólo tomamos dos para componer otro número; que estará por “ahí abajo” en la columna y no hemos apuntado al formar un cuadrado, obviamente.

Ahora, si formamos un cuadrado con números de infinitas cifras, o sea, con el cardinal de \( \mathbb{N} \), tendremos un cuadrado de \( card(\mathbb{N})\times card(\mathbb{N}) \); la cantidad de números que dejamos sin contar tiende a infinito y la que contamos tiende a cero pese a ser también infinita.

Esto no es raro en matemáticas, la cantidad de primos tiende a cero en comparación con todos los naturales y también hay infinitos. Aquí vemos la diferencia entre “cardinal” y otros conceptos; tanto los primos como los naturales se pueden ir numerando todos con el mismo cardinal pese a que, si vamos tomando tantos naturales consecutivos como queramos, la cantidad de primos será cada vez menor en comparación. Pero eso no impide numerarlos, porque en un cuadrado \( card(\mathbb{N})\times card(\mathbb{N}) \) sí caben todos los naturales; y los racionales e incluso muchos irracionales aisladamente.

La diferencia entre esos cardinales no la arregla elegir una u otra base numérica, siempre tendremos más números posibles que cifras, es una cuestión meramente combinatoria.

Lo que se puede discutir es hasta qué punto es útil considerar esto de los distintos infinitos, pero, si entramos en esa cuestión, nos podemos preguntar lo mismo por la utilidad de muchas cosas.

Y no sólo eso, es muy fácil demostrar que el conjunto de los Naturales es de un infinito mayor que el de los primos. Basta con establecer la siguiente relación:

\( p_i\Longrightarrow{2^{P_i}} \)

O puedo demostrar también fácilmente lo contrario, que el número de primos es mucho mayor que el de los naturales. Basta con establecer la siguiente relación:

\( p_j \): números primos del tipo 4k+1
\( n \): número natural cualquiera

Entonces:

\( p_j\Longrightarrow{n} \)


Creo que el punto central de todo este dilema lo has dicho tú mismo al final del comentario:

"Surge esa paradoja inevitable, no es posible contar hasta infinito pese a que sí es posible estar contando infinitamente (en teoría, mortalidad aparte)"

El infinito no es, por definición, propiamente una cantidad, ni un tamaño, ni forma alguna. En tal sentido no es ningún número; entendiendo número como algo concreto y finito. Sólo expresa la idea de que "no se termina nunca"; idea que podemos considerar también un número, pero no como algo finito y racional, sino como algo irracional.

Por eso cuando expreso que W son números irracionales o infinitos, se asemejan precisamente a los irracionales, pues evidentemente son expresiones irracionales: en realidad no tienen un tamaño ni una forma y no expresan ninguna cantidad -Con motivo Chaitin, por ejemplo, defiende que no se tomen por reales, sino por irreales. Hecho que tampoco me parece mal.

Y lo que tenemos es que Cantor se empecina en coger lo infinito y dotarlo de un tamaño, de considerarlo una cantidad, darle una forma, y por consiguiente hacerlo lógico, hecho que me choca y fascina por igual; como ha chocado a tantos, durante siglos, el tomar Pi como una cantidad que nunca podrá llegar a ser una cantidad. Hecho es que resulta imposible determinar qué número "real" es inmediatamente posterior a Pi o cual es el inmediatamente anterior; de hecho marea con solo pensarlo.

En efecto, este mareo que nos produce lo irracional dificulta ordenar este tipo de números irracionales, pero como a su vez actúan como factores irreducibles de los racionales, al ser de naturaleza muy diferente, en realidad nunca se mezclan con ellos; como sí ocurre normalmente al operar con los racionales entre sí. Por consiguiente, las operaciones entre irracionales y racionales son relativamente simples y claras, dado que los irracionales son irreducibles a racionales y no se mezclan con ellos.

Ejemplo:

si sumo \( 3+5 \) obtengo 8, el cual no comparte factor común ni con 3 ni con 5, pues surge de una mezcla. Además, puedo haber obtenido el 8 muchas sumas diferentes y resulta imposible adivinar cual ha sido la que, precisamente, me ha llevado al 8. Ahora bien, si sumo \( Pi+3Pi \) me dará \( 4Pi \). Al menos mantengo el factor Pi, porque siempre se mantiene el factor irracional en este tipo de operaciones. Hecho que resulta muy ventajoso -por eso se admiten los números irracionales. 

En efecto, lo que en realidad tiene Cantor en su favor es que su propuesta funciona muy bien para fundamentar teóricamente la computación. Y la computación nos importa mucho. Si no fuera por eso seguramente no se tomaría nada serio; se vería como una especie de teología aplicada o de matemática filosófica -tal y como ya le decían en su tiempo cuando aún no había computadoras.

Dicho todo esto, feriva, lo que veo es que lo infinito no tiene, propiamente, ni forma ni cantidad, pero sería posible asignarle tamaño y cantidad. Un tamaño y cantidad que dependería simplemente del método que se le aplique. Con lo cual cabe entender que el infinito puede tomar diferentes formas y tamaños según sean los métodos que le apliquemos. Luego según fueran nuestros intereses escogeríamos uno u otro resultado.

Por ejemplo, el método que aplicó Zenón de Elea para atacar la serie infinita \( \displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{4}+\displaystyle\frac{1}{8}+... \) es tan correcta como el método o idea que le aplicó luego Leibniz. Cada método nos da un resultado distinto. Lo  que ocurre es que le método de Leibniz concuerda con nuestra experiencia cuando aplicamos esta serie a representar movimientos o tamaños de objetos físicos, hecho que el método de Zenón choca con ella y devienen paradojas empíricas.





 

[feriva]

Cuál es el problema de fondo, pues dicho de una forma sencilla es que el cardinal del conjunto está “metido” en el conjunto como elemento. Así, el conjunto de “todos” los naturales no puede existir y de hecho es como se considera, no existe. Lo que existe es una clase universal, que no es exactamente un conjunto.

No se de donde te sacas eso.

El conjunto de los naturales, es decir, \( \Bbb N=\{1,2,3,\ldots\} \) se considera que existe.

El conjunto de partes de los naturales (subonjuntos de \( \Bbb N \)) también se considera que existe.

Y lo que da la lata y mucho es considerar el conjunto de todos los conjuntos; eso si que se considera que no existe y ahí salen al ruedo las "clases".

Me parece que estás mezclando todo eso.

Saludos.

Ah, pues entonces es que estaba equivocado, al menos, en cuanto a la denominación; yo pensaba que las clases eran los conjuntos de todos los conjuntos, cuya existencia era aparte.

Mucas gracias, Luis.

[Luis Fuentes]

Hola

Cuál es el problema de fondo, pues dicho de una forma sencilla es que el cardinal del conjunto está “metido” en el conjunto como elemento. Así, el conjunto de “todos” los naturales no puede existir y de hecho es como se considera, no existe. Lo que existe es una clase universal, que no es exactamente un conjunto.

No se de donde te sacas eso.

El conjunto de los naturales, es decir, \( \Bbb N=\{1,2,3,\ldots\} \) se considera que existe.

El conjunto de partes de los naturales (subonjuntos de \( \Bbb N \)) también se considera que existe.

Y lo que da la lata y mucho es considerar el conjunto de todos los conjuntos; eso si que se considera que no existe y ahí salen al ruedo las "clases".

Ah, pues entonces es que estaba equivocado, al menos, en cuanto a la denominación; yo pensaba que las clases eran los conjuntos de todos los conjuntos, cuya existencia era aparte.

A ver... que esto parece un diálogo para besugos ( ). Es lo que te estoy diciendo: el asunto de las clases interviene justo en eso, para hablar del "conjunto" de todos los conjuntos; lo que yo te criticaba es que las hicieses intervenir para hablar del conjunto de todos los naturales.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Y no sólo eso, es muy fácil demostrar que el conjunto de los Naturales es de un infinito mayor que el de los primos. Basta con establecer la siguiente relación:

\( p_i\Longrightarrow{2^{P_i}} \)

Pues no se que se supone que estás demostrando ahí. Ahí lo que defines es una aplicación inyectiva entre los primos y los naturales (que más sencillamente podías tomar \( p_i\to p_i \)) y eso lo que demuestra es que \( cardinal(primos)\leq cardinal(naturales) \) y no contradice que \( cardinal(primos)=cardinal(naturales) \)

O puedo demostrar también fácilmente lo contrario, que el número de primos es mucho mayor que el de los naturales. Basta con establecer la siguiente relación:

\( p_j \): números primos del tipo 4k+1
\( n \): número natural cualquiera

Entonces:

\( p_j\Longrightarrow{n} \)

¿Te refieres que \( n \) es un número fijo a que te refieres? No entiendo bien esta relación.

Sea como sea, ¿qué criterio se supone qué estas usando para comparar conjuntos? El estándard es:

- \( card(A)=card(B) \) si y sólo si existe una aplicación biyectiva \( f:A\to B \).
- \( card(A)\leq card(B) \) si y sólo si existe una aplicación inyectiva \( f:A\to B \).
- \( card(A)\geq card(B) \) si y sólo si existe una aplicación sobreyectiva \( f:B\to A \).

Fíjate que la existencia de aplicaciones inyectivas y/n sobreyectivas nos da desigualdades del tipo "menor o mayor o IGUAL"; no impide que también pudiese existir una biyectiva y por tanto tener el mismo cardinal.

Saludos.

[feriva]

Hola

Cuál es el problema de fondo, pues dicho de una forma sencilla es que el cardinal del conjunto está “metido” en el conjunto como elemento. Así, el conjunto de “todos” los naturales no puede existir y de hecho es como se considera, no existe. Lo que existe es una clase universal, que no es exactamente un conjunto.

No se de donde te sacas eso.

El conjunto de los naturales, es decir, \( \Bbb N=\{1,2,3,\ldots\} \) se considera que existe.

El conjunto de partes de los naturales (subonjuntos de \( \Bbb N \)) también se considera que existe.

Y lo que da la lata y mucho es considerar el conjunto de todos los conjuntos; eso si que se considera que no existe y ahí salen al ruedo las "clases".

Ah, pues entonces es que estaba equivocado, al menos, en cuanto a la denominación; yo pensaba que las clases eran los conjuntos de todos los conjuntos, cuya existencia era aparte.

A ver... que esto parece un diálogo para besugos ( ). Es lo que te estoy diciendo: el asunto de las clases interviene justo en eso, para hablar del "conjunto" de todos los conjuntos; lo que yo te criticaba es que las hicieses intervenir para hablar del conjunto de todos los naturales.

Saludos.

Voy entendiendo (poco a poco ). Es decir, esta letra \( \mathbb{N} \) representa al conjunto de los naturales, no a la clase universal, ¿no? Creí que se utilizaba como una especie de “relajación” o algo así en la notación, que en realidad ese tipo de letra era para las clases y ésta N (normal) para los conjuntos; es de esas cosas que siempre estuve a punto de preguntar alguna vez y nunca pregunté.

Muchas gracias otra vez, Luis.

[Luis Fuentes]

Hola

Voy entendiendo (poco a poco ). Es decir, esta letra \( \mathbb{N} \) representa al conjunto de los naturales, no a la clase universal, ¿no? Creí que se utilizaba como una especie de “relajación” o algo así en la notación, que en realidad ese tipo de letra era para las clases y ésta N (normal) para los conjuntos; es de esas cosas que siempre estuve a punto de preguntar alguna vez y nunca pregunté.

\( \mathbb{N}=N \) es el conjunto de naturales. No te líes...

Saludos.

[feriva]

Hola

Voy entendiendo (poco a poco ). Es decir, esta letra \( \mathbb{N} \) representa al conjunto de los naturales, no a la clase universal, ¿no? Creí que se utilizaba como una especie de “relajación” o algo así en la notación, que en realidad ese tipo de letra era para las clases y ésta N (normal) para los conjuntos; es de esas cosas que siempre estuve a punto de preguntar alguna vez y nunca pregunté.

\( \mathbb{N}=N \) es el conjunto de naturales. No te líes...

Saludos.

De acuerdo, ya me lo sé para siempre

Muchas gracias.
Saludos.

[Restituto]

Creo que el punto central de todo este dilema lo has dicho tú mismo al final del comentario:

"Surge esa paradoja inevitable, no es posible contar hasta infinito pese a que sí es posible estar contando infinitamente (en teoría, mortalidad aparte)"

El infinito no es, por definición, propiamente una cantidad, ni un tamaño, ni forma alguna. En tal sentido no es ningún número; entendiendo número como algo concreto y finito. Sólo expresa la idea de que "no se termina nunca"; idea que podemos considerar también un número, pero no como algo finito y racional, sino como algo irracional.

Por eso cuando expreso que W son números irracionales o infinitos, se asemejan precisamente a los irracionales, pues evidentemente son expresiones irracionales: en realidad no tienen un tamaño ni una forma y no expresan ninguna cantidad -Con motivo Chaitin, por ejemplo, defiende que no se tomen por reales, sino por irreales. Hecho que tampoco me parece mal.

Y lo que tenemos es que Cantor se empecina en coger lo infinito y dotarlo de un tamaño, de considerarlo una cantidad, darle una forma, y por consiguiente hacerlo lógico, hecho que me choca y fascina por igual; como ha chocado a tantos, durante siglos, el tomar Pi como una cantidad que nunca podrá llegar a ser una cantidad. Hecho es que resulta imposible determinar qué número "real" es inmediatamente posterior a Pi o cual es el inmediatamente anterior; de hecho marea con solo pensarlo.

En efecto, este mareo que nos produce lo irracional dificulta ordenar este tipo de números irracionales, pero como a su vez actúan como factores irreducibles de los racionales, al ser de naturaleza muy diferente, en realidad nunca se mezclan con ellos; como sí ocurre normalmente al operar con los racionales entre sí. Por consiguiente, las operaciones entre irracionales y racionales son relativamente simples y claras, dado que los irracionales son irreducibles a racionales y no se mezclan con ellos.

Ejemplo:

si sumo \( 3+5 \) obtengo 8, el cual no comparte factor común ni con 3 ni con 5, pues surge de una mezcla. Además, puedo haber obtenido el 8 muchas sumas diferentes y resulta imposible adivinar cual ha sido la que, precisamente, me ha llevado al 8. Ahora bien, si sumo \( Pi+3Pi \) me dará \( 4Pi \). Al menos mantengo el factor Pi, porque siempre se mantiene el factor irracional en este tipo de operaciones. Hecho que resulta muy ventajoso -por eso se admiten los números irracionales. 

En efecto, lo que en realidad tiene Cantor en su favor es que su propuesta funciona muy bien para fundamentar teóricamente la computación. Y la computación nos importa mucho. Si no fuera por eso seguramente no se tomaría nada serio; se vería como una especie de teología aplicada o de matemática filosófica -tal y como ya le decían en su tiempo cuando aún no había computadoras.

Dicho todo esto, feriva, lo que veo es que lo infinito no tiene, propiamente, ni forma ni cantidad, pero sería posible asignarle tamaño y cantidad. Un tamaño y cantidad que dependería simplemente del método que se le aplique. Con lo cual cabe entender que el infinito puede tomar diferentes formas y tamaños según sean los métodos que le apliquemos. Luego según fueran nuestros intereses escogeríamos uno u otro resultado.

Por ejemplo, el método que aplicó Zenón de Elea para atacar la serie infinita \( \displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{4}+\displaystyle\frac{1}{8}+... \) es tan correcta como el método o idea que le aplicó luego Leibniz. Cada método nos da un resultado distinto. Lo  que ocurre es que le método de Leibniz concuerda con nuestra experiencia cuando aplicamos esta serie a representar movimientos o tamaños de objetos físicos, hecho que el método de Zenón choca con ella y devienen paradojas empíricas.

Me parece que este es un análisis razonable pero supongo que te das cuenta de que más que una crítica al argumento de Cantor lo estas confirmando y entonces no entiendo a que viene introducir W. No hace falta para explicar lo que dices, más bien crea confusión si lo mezclas con los naturales.
Creo que cuando dices que el teorema de Cantor conlleva una petición de principio y una convención es obvio, se está aceptando la formalización conjuntista y la idea de infinito por razones más allá de las computacionales que mencionas, primero permitió formalizar el cálculo diferencial y permite una axiomática que aunque necesariamente incompleta mantiene a raya la contradicción.

El insigne matemático André Bloch (algo especialito, toda su obra la produjo desde un manicomio por cargarse a su familia) decía:  "Nihil est in infinito quod non prius fuerit in finito", o sea " No existe nada en lo infinito que no se halle antes en lo finito". Y esto es en cierto modo lo que se desprende de esta discusión, esto es lo que usa Cantor en su diagonalización y lo que se utiliza para caracterizar los distintos infinitos. En este sentido mientras evitemos la contradicción en lo finito o concreto que manejamos en los infinitos y sepamos que estamos usando una convención práctica(no algo que tenga algún sentido "existencial" aunque igual aquí se ofenden la mayoría de matemáticos que se consideran platónicos) no debería haber problema alguno.

[ani_pascual]

Ejemplo:
si sumo \( 3+5 \) obtengo 8, el cual no comparte factor común ni con 3 ni con 5, pues surge de una mezcla. Además, puedo haber obtenido el 8 muchas sumas diferentes y resulta imposible adivinar cual ha sido la que, precisamente, me ha llevado al 8. Ahora bien, si sumo \( Pi+3Pi \) me dará \( 4Pi \). Al menos mantengo el factor Pi, porque siempre se mantiene el factor irracional en este tipo de operaciones. Hecho que resulta muy ventajoso -por eso se admiten los números irracionales. 

Hola:
No entiendo muy bien esto que comentas. Por ejemplo, si restamos \( \pi -\pi \) sale \( 0 \) y aunque es cierto que se puede expresar como \( 0\cdot \pi \), lo cierto es que no veo en el cero nada "irracional"