[Nub]

Hola, hice ejercicios parecidos, pero este no lo se resolver

Hallar \( a,b \) naturales tal que \( a+b=1271 \) y \( mcm(a,b)=330*mcd(a,b) \)

Lo que hice fue plantear \( d=mcd(a,b) \) luego \( a=d*a^* \) y \( b=d*b^* \) con \( mcd(a^*,b^*)=1 \) . sumar ambas ecuaciones y queda \( 1271=d(a^*+b^*) \) pero no pude concluir nada interesante

[delmar]

Hola Nub, deseas que te ayuden ¿verdad? entonces procura definir bien el problema y escribir bien el enunciado, aparece un ¿c? y 1277; pero que en realidad es 1271, ten más cuidado.

La idea la veo bastante bien; pero falta usar el mcm, esto implica \( mcm(a,b)=d*a^**b^*=330*d\Rightarrow{a^*b^*=330} \) y junto con la ecuación de la suma \( d*a^*+d*b^*=1271\Rightarrow{d=\displaystyle\frac{1271}{a^*+b^*}} \) entonces se ha de hallar \( a^*,b^* \) dos factores primos entre sí de 330 y cuya suma es divisor de 1271, se puede hallar.

Spoiler

\( a^*=11, \ b^*=30 \)

[cerrar]

Saludos

[RDC]

Si no he entendido mal, porque lo que anuncias no está muy claro, es que:

\( a+b=x·330+y·330=1277 \) . Sin embargo, 330 y 1277 son coprimos con lo cual \( x+y=\displaystyle\frac{1277}{330} \) no puede dar como resultado ningún natural.

Conclusión, no existen soluciones a,b como naturales.

EDITO: vaya, me he confundido al tomar el mcm por el mcd

[sugata]

Si no he entendido mal, porque lo que anuncias no está muy claro, es que:

\( a+b=x·330+y·330=1277 \) . Sin embargo, 330 y 1277 son coprimos con lo cual \( x+y=\displaystyle\frac{1277}{330} \) no puede dar como resultado ningún natural.

Conclusión, no existen soluciones a,b como naturales.

Parece que hay una errata y la suma es \( 1271 \)

[feriva]

Hola, hice ejercicios parecidos, pero este no lo se resolver

Hallar \( a,b,c \) naturales tal que \( a+b=1277 \) y \( mcm(a,b)=330*mcd(a,b) \)

Lo que hice fue plantear \( d=mcd(a,b) \) luego \( a=d*a^* \) y \( b=d*b^* \) \( mcd(a^*,b^*)=1 \) sumar ambas ecuaciones y queda \( 1271=a*a^*+b*b^* \) pero no pude concluir nada interesante

Es que ahí hay un conocido teoremilla que relaciona el MCD y el mcm.

Dados dos números \( a=xd \), \( b=yd \) (donde, como sabemos, x,y son coprimos) su mcm es \( mcm(a,b)=xyd \).

Fíjate que es lógico; el mcm es múltiplo de ambos y es el múltiplo más pequeño. Como es múltiplo de ambos, tiene que ser múltiplo de “x” y también de “y”, y como son coprimos, el menor múltiplo posible de éstos es \( x\cdot y \).

Luego como también es obvio que, si es múltiplo común, tiene que ser múltiplo de “d”, finalmente llegamos a \( mcm(a,b)=xyd \).
Y de ahí, multiplicando eso por “d”, \( d*mcm(a,b)=xyd^{2}=ab \).
...
Ahora:

\( a+b=1271\Rightarrow \)

\( xd+yd=1271\Rightarrow \)

\( (x+y)d=1271 \).

Tenemos que x,y son coprimos entre ellos (si tuvieran un factor común pertenecería a “d” y no seria de ellos).

Pero la suma x+y sí que divide a 1271.

Seguidamente, 330 es fácil de factorizar: 330=2*3*5*11.

Y en cuanto a 1271, aunque no es tan fácil, si pensamos que la parte entera de su raíz cuadrada tiene que ser un número de dos cifras, enseguida vemos que es 35.

Esto quiere decir que 1271 tiene que estar compuesto (si fuera compuesto) por algún primo menor que 35 (si no sabes o no ves por qué, dilo). Y por lo visto anteriormente no puede ser ninguno de éstos 2,3,5,11 (pues 1271 es coprimo con 330).

Luego un factor primo lo encontraremos entre éstos 13,17,19,23,29,31 (es bueno saberse de memoria los primos de dos cifras. aunque sea para estas cosas).

Probando vemos que es 31.

Al dividir 1271 entre 31 queda 41, que también es primo, luego ya está factorizado.

Entonces volvemos a la factorización de 330 y encontramos que una suma des sus factores es 11+(2*3*5)=41

De donde, despejando, el MCD es el otro factor, 31.

Así pues, tenemos que los números “a” y “b” son

31*11=341

y

31*30=930.

Saludos.

[Ignacio Larrosa]

Hola, hice ejercicios parecidos, pero este no lo se resolver

Hallar \( a,b,c \) naturales tal que \( a+b=1277 \) y \( mcm(a,b)=330*mcd(a,b) \)

Lo que hice fue plantear \( d=mcd(a,b) \) luego \( a=d*a^* \) y \( b=d*b^* \) \( mcd(a^*,b^*)=1 \) sumar ambas ecuaciones y queda \( 1271=a*a^*+b*b^* \) pero no pude concluir nada interesante

De la definición escoilar de mcd y mcm, "factores comunes (y no comunes) elevados al mayor exponente", se deduce que mcd(a, b)mcm(a, b) = a·b. Entonces, si d = mcd(a, b), a=da', b=db', mcd(a', b')=1, tenemos que:

\( d·(330·d)=(a'd)(b'd)\Rightarrow{a'·b'=330} \)

Por otra parte.

\( a+b=d(a'+b')=1271=(30+1)(40+1)=31·41 \)

\( \Rightarrow{}a'+b'=1, 31, 41, 1271 \)

Fácilmente se descartan las otas posibilidades, quedando solo \( a' + b'= 41, d = 31 \)

\( \{a', b'\}: x^2-41x+330=0 \Rightarrow{}\{a', b'\}=\{30,11\}\Rightarrow{}\{a, b\}=\{930, 341\}
 \)

Saludos,

[Nub]

Hola Nub, deseas que te ayuden ¿verdad? entonces procura definir bien el problema y escribir bien el enunciado, aparece un ¿c? y 1277; pero que en realidad es 1271, ten más cuidado.

Perdón

La idea la veo bastante bien; pero falta usar el mcm, esto implica \( mcm(a,b)=d*a^**b^*=330*d\Rightarrow{a^*b^*=330} \) y junto con la ecuación de la suma \( d*a^*+d*b^*=1271\Rightarrow{d=\displaystyle\frac{1271}{a^*+b^*}} \) entonces se ha de hallar \( a^*,b^* \) dos factores primos entre sí de 330 y cuya suma es divisor de 1271, se puede hallar.

Spoiler

\( a^*=11, \ b^*=30 \)

[cerrar]

Saludos

Entiendo lo otro pero no lo primero no se porque llegas a que \( a^*b^*=330 \)

[Nub]

Hola Nub, deseas que te ayuden ¿verdad? entonces procura definir bien el problema y escribir bien el enunciado, aparece un ¿c? y 1277; pero que en realidad es 1271, ten más cuidado.

Perdón

La idea la veo bastante bien; pero falta usar el mcm, esto implica \( mcm(a,b)=d*a^**b^*=330*d\Rightarrow{a^*b^*=330} \) y junto con la ecuación de la suma \( d*a^*+d*b^*=1271\Rightarrow{d=\displaystyle\frac{1271}{a^*+b^*}} \) entonces se ha de hallar \( a^*,b^* \) dos factores primos entre sí de 330 y cuya suma es divisor de 1271, se puede hallar.

Spoiler

\( a^*=11, \ b^*=30 \)

[cerrar]

Saludos

Entiendo lo otro pero no lo primero no se porque llegas a que \( a^*b^*=330 \)

Nada... la explicación de ignacio de porque es 330 la entendí

[Nub]

Entonces volvemos a la factorización de 330 y encontramos que una suma des sus factores es 11+(2*3*5)=41

De donde, despejando, el MCD es el otro factor, 31.

Así pues, tenemos que los números “a” y “b” son

31*11=341

y

31*30=930.

Saludos.

Hola feriva , hasta aca entendí, no se que hiciste desde ese punto, 330 queda como \( 330=2*3*5*11 \), "encontrar una suma de sus factores" no entendí bien a que te refieres

[feriva]

Entonces volvemos a la factorización de 330 y encontramos que una suma des sus factores es 11+(2*3*5)=41

De donde, despejando, el MCD es el otro factor, 31.

Así pues, tenemos que los números “a” y “b” son

31*11=341

y

31*30=930.

Saludos.

Hola feriva , hasta aca entendí, no se que hiciste desde ese punto, 330 queda como \( 330=2*3*5*11 \), "encontrar una suma de sus factores" no entendí bien a que te refieres

Hola, Nub.

Tienes \( xy=330=2*3*5*11 \).

Y, por otro lado, más arriba tenemos \( (x+y)d=1271 \); esto signfifica que (x+y) divide a 1271, luego (x+y) es factor de 1271

Spoiler

(No tiene que ver con que xy sea coprimo 1271, es la suma; por ejemplo 5*3=15, pero 5+3=8, y 8 es coprimo con 15)

[cerrar]

Una vez que encontramos la factorización de 1271, como es producto de dos primos, 31, y 41, uno de ellos debe ser igual a \( x+y \) y otro debe ser igual a “d”; por la cuenta ésta \( (x+y)*d=1271 \).

Ahora bien, como \( xy=330=2*3*5*11 \), algunos de esos factores son de “x” y otros son de “y”; luego con esos factores tenemos que buscar una suma que dé 31 ó 41.

Y encontramos 11+(2*3*5)=41 (tanteando un poco, buscando, claro).

Saludos.