Feriva:
Me gustaría no tener que entender las matemáticas desde planteamientos históricos en el sentido de, primero fue esto, después aquello, entiendo que la dependencia de unos números en relación con otros debe ser lógica no cronológica, partiendo de este presupuesto -que en principio tengo por correcto- no me resulta del todo claro que lógicamente los enteros naturales sean anteriores -en el orden de la demostración- a otros o viceversa. No lo sé. Pero sea como fuere prefiero no dar importancia matemática a hechos históricos sino que espero que la matemática se ordene en sus propios términos.
Sí, es algo del tipo de la paradoja de Zenón.
Pero la paradoja de Zenón no tiene sentido si no se es consecuente con la divisibilidad infinita en cuestión, siendo así que Aquiles no recorre ninguna distancia porque recorre una distancia infinita.
Eso que dices de la distancia mínima entre dos números enteros es lo que me produce perplejidad. El problema está en cómo se distingue matemáticamente una distancia de magnitud 1 de otra de magnitud 2, lo cual remite a la formulación del problema que planteé en el inicio de este hilo y que volví a formular en respuesta a Eparoh. O sea, a qué se refiere o cuál el sentido relativo de 1, 2, 3, 4, etc. Yo veo indistinción, tal y como si estuviese intelectualizando un problema de discalculia, que a lo mejor es lo que hay.
Muchas gracias por tu respuesta.
Bien, pero (como seguro que también sabes) a principios del siglo XX, en la lógica (en la de la teoría de conjuntos) surge un problema con la famosa paradoja del barbero, la cual plantea Bertrand Russell; y eso tiene un trasfondo muy importante en matemáticas (más allá de lo que se divulga por encima).
Yo explico así el problema relacionado que surge:
Los números enteros son de valor finito, tienen una cantidad finitas de cifras, si no, no son enteros; es más, en ese caso no se consideran ni números (no lo digo yo, es así como lo entienden todos los matemáticos). A partir de lo cual, los números reales son todos de valor finito, los “infinitos” no son números, aparecen cuando las cosas no tienen límite, pero no se usan, no se manipulan, por así decir.
Qué quiere decir esto además; pues que los números reales también son de valor finito. Esto es porque la parte entera de un número es un entero, evidentemente, y la mantisa o parte decimal es menor que 1 (si es 1, pasa a engrosar el entero). Así que cualquier número racional o irracional nunca vale infinito. El número pi, por ejemplo, tiene infinitas cifras, pero su valor está acotado, es mayor que 3 y menor que 4.
¿Por qué lo deciden así los matemáticos?, pues, por ejemplo, porque ocurre que si un número no acaba, no tiene última cifra y, si no tiene última cifra, no es par ni impar. De este modo, le falta una propiedad que define a los números naturales; una propiedad no negociable, porque esto y otras cosas análogas arrastra a toda la divisibilidad del número.
Sin embargo, el conjunto de los números naturales sí es infinito, hay infinitos números enteros positivos. Basta pensar en un número finito todo lo largo que sea; si le sumamos 1, seguirá siendo finito, no aparecen infinitas cifras. Así que podemos seguir sumando unos y nunca escribiremos un número infinito aunque estemos así eternamente, es imposible llegar a un valor infinito escribiendo números durante un tiempo infinito; y aquí empieza lo paradójico, visto de manera muy intuitiva.
Entonces el conjunto de los naturales, \( \mathbb{N} \), tiene una cantidad infinita de números finitos... pero esto es imposible, porque si todos son finitos en valor, tienen finitas cifras...
No puede ser, basta pensar que primero escribiremos los números de una cifra (no infinitos) después los de dos cifras (que tampoco son infinitos) después lo de tres... Luego como hay infinitos números dentro del conjunto, algunos tendrán que tener infinitas cifras. Para verlo con un ejemplo sencillo, pon que el mayor fuera 1000, pues habría 1000 naturales, una cantidad finita; luego para que haya infinitos, tiene que haber números de infinitas cifras, pues los “últimos” marcan el cardinal.
Pero entonces esos naturales no son naturales: no son pares, no son impares ni múltiplos de nadie; y todos tienen el mismo “valor”: infinito. Luego tampoco son comparables; y ésa es otra propiedad crucial que les falta para poder ser naturales.
No existe el conjunto de todos los conjuntos y hay que admitir esta paradoja; lo único que se puede hacer es trabajar sin mezclar cosas contradictorias, poniendo las definiciones adecuadas; así, por ejemplo, Russell dice que \( \mathbb{N} \) es una clase universal, no un conjunto. Pero no desaparece del mapa \( \mathbb{N} \), sigue existiendo igual que siguen existiendo los naturales; que lo son sólo si cumplen sus propiedades.
En matemáticas hay que asumir estas cosas y otras igual de insalvables; como pueda ser la hipótesis del continuo, que no es decidible.
En matemáticas se usa constantemente el principio del tercero excluido, sin embargo, para usarlo hay que estar, frecuentemente, vigilando que no se mezcle el agua con el aceite. Porque la lógica de la naturaleza tampoco es exactamente la del principio del tercero excluido (como pensaban los griegos) cosa que ha puesto de manifiesto la física moderna de forma experimental.
Así que si piensas que la lógica clásica se puede tomar como referencia para las matemáticas sin más, sin “domarla”, pues... no es así; ni en matemáticas ni en otras cosas:
https://www.filosofia.org/enc/ros/log10.htmPor otro lado la matemática no es el mundo físico, a la matemática no le importan las teorías físicas, sino sus definiciones y axiomas; y que éstos funcionen consistentemente. Si le importara el mundo físico, no se definiría el punto geométrico como algo que no tiene dimensión, que no mide nada, porque entonces el Universo tampoco mide nada; pero es necesario hacerlo por distintas razones (intentar trabajar con puntos “gordos” va a funcionar peor para muchas cosas o va a ser imposible en otros casos). Es inevitable vivir con estas abstracciones.
En matemáticas hay conjuntos, y cuando tienes un subconjunto de enteros, todas las unidades que forman los enteros son iguales; por tanto, si subdivido las unidades en 12 trozos, seguirán siendo iguales; si una la parto en dos y otra en cuatro, sus trozos suman lo mismo... Y por definición una unidad es menos que dos; de manera obvia, no se puede demostrar eso.
Luego, hay cosas que son fantasmas, mecanismos. Cuando tú partes una barra de pan para tres personas, haces tres trozos iguales, no diez para repartir tres trozos a cada uno y que sobre un trozo dando lugar a una división que no acaba nunca. Esos trozos de 0,3333... en realidad no salen si subdividimos la unidad en 3; si hacemos eso la división se acaba. No es un problema real, es la herramienta que usamos, se puede dividir en otras bases, pero tenemos la base 10 normalizada en nuestra cultura (en otras antiguas se dividía en base 12, por ejemplo). Y esa es la razón de que “0,333... periodo” sumado tres veces sea 1 (exactamente, sin faltar ningún “infinitesimal”) 1=0,999...
Y, en fin, es que hablar de esto es no terminar (en el foro tienes muchísimos hilos hablando de todo tipo de cuestiones matemáticas).
...
*La perplegidad en cuanto a la distancia mínima de los enteros es quizá, entre otras cosas, porque en el colegio no se estudia aritmética modular; hay una matemática (que podemos llamar teoría de números o aritmética también) sólo de enteros, e igualmente hay muchos hilos por aquí. Para dar una pincelada, si tú divides 17 entre 11, pues en esa matemática 17=6 módulo 11 (aunque se escribe mejor con el signo de equivalencia, tres rayitas). Si has oído hablar del Último teorema de Fermat, de la Conjetura de Goldbach, de la de los primos gemelos... ésos son problemas de enteros, de teoría de números.
Saludos.
