Con relación a lo de decidir en qué sistema axiomático me muevo, reconozco que es otro aspecto de la lógica matemática que me trae de cabeza y que me convierte en una nulidad en ese área, pues, me pregunto: ¿el decidirse por algún conjunto de axiomas tiene a su vez un criterio o carece de criterio? Pienso que, si tiene un criterio, entonces no hace falta elegir ningún cuerpo de axiomas, basta deducirlos de dicho principio o criterio; si, en cambio, carece de criterio ¿qué orienta en la elección de unos axiomas frente a otros? Si nada orienta es un saber arbitrario, tautológico, que no refiere nada externo, ninguna cosa del mundo, y, si no refiere ninguna cosa del mundo, ¿de qué es conocimiento?
Lo "estándar" en matemáticas es demostrar todos los teoremas matemáticos a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos conocida como ZFC (Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección). Hay otras alternativas posibles, y te preguntas qué diferencia hay entre elegir ZFC u otras alternativas. La respuesta depende de la alternativa.
Por ejemplo, una alternativa es la teoría conocida como NBG (von Neuman Bernays Gödel), y en este caso es irrelevante optar por ZFC o NBG. Se diferencian en cuestiones técnicas de carácter lógico, pero en ambas se pueden demostrar esencialmente los mismos resultados (precisar lo que quiero decir con "esencialmente" sería entrar en detalles técnicos, pero la idea es que, una vez has demostrado los teoremas básicos sobre conjuntos en una u otra teoría, una demostración en ZFC se transforma rutinariamente en una demostración del mismo resultado en NBG y viceversa).
Hay otras alternativas que consisten en añadir más axiomas a ZFC. Eso tiene como efecto que algunas afirmaciones que son indecidibles en ZFC pasan a ser decidibles. Por ejemplo, puedes añadir a ZFC la hipótesis del continuo, la existencia de cardinales medibles, etc. Por poner un ejemplo de lo que esto supone:
En ZFC se puede definir una familia de subconjuntos de una recta a los cuales se les puede asignar una longitud. Esto incluye a los segmentos, por supuesto, y a conjuntos de puntos mucho más generales. Dicha familia se conoce como la familia de los conjuntos medibles Lebesgue. Y se puede demostrar que no todo subconjunto de la recta es medible Lebesgue, pero no se puede demostrar (ni refutar) que no sea posible extender la noción de longitud de un segmento de modo que sea aplicable a todos los subconjuntos de la recta, y de modo que la definición cumpla ciertas condiciones mínimas como para que se pueda decir que esa "longitud" realmente se comporta como tal. El
quid de la cuestión es que si tienes una sucesión numerable de subconjuntos disjuntos con longitud definida, la unión de todos ellos debe tener también una longitud definida y ser igual al límite de las sumas de sus longitudes.
Vamos, que se pueda razonar que, aunque dividas el intervalo que tiene que recorrer Aquiles para alcanzar a la tortuga en infinitos subintervalos, el espacio total que recorre Aquiles es una longitud finita obtenida como suma de las infinitas longitudes de los infinitos intervalos en los que lo has dividido.
Como te digo en ZFC no es posible demostrar ni refutar si es posible asignar una longitud a cada subconjunto de la recta de modo que se cumpla esta propiedad de aditividad y algunas propiedades elementales más. Sin embargo, si añades a ZFC como axioma adicional la hipótesis del continuo, entonces puedes demostrar que es imposible, mientras que si añades como axioma adicional la existencia de un cardinal medible, entonces puedes demostrar que sí que es posible.
De este modo puedes tener teorías axiomáticas distintas que permiten probar cosas distintas, pero todas tienen en común lo que es demostrable en ZFC. Sobre esto se puede filosofar mucho —y algunos matemáticos lo hacen— pero mi opinión es que no hay ningún criterio objetivo por el que se pueda decir que una extensión de ZFC es "la extensión correcta".
Por otro lado, tienes la posibilidad de considerar teorías axiomáticas, no más fuertes, sino más débiles que ZFC. Esto tiene interés por dos razones, relacionadas entre sí.
La primera es que es imposible demostrar que ZFC sea consistente, es decir, que a partir de sus axiomas no se puedan demostrar contradicciones. Si se diera el caso, en ZFC se podría demostrar cualquier cosa y su negación, luego sería completamente inútil como teoría axiomática. Y, ya digo, se puede demostrar que es imposible demostrar que ZFC sea consistente. Prácticamente cualquier matemático metido en la teoría de conjuntos se jugaría el cuello a que lo es, pero no puede probarse.
La segunda razón es que lo anterior equivale a que no es posible asegurar que existan objetos que cumplan los axiomas de la teoría de conjuntos. Los "conjuntos" de la teoría de conjuntos incluyen conjuntos con un contenido intuitivo claro, pero también conjuntos abstractos de los que no tenemos una imagen definida que nos permita asegurar que realmente existen unos conjuntos con las características precisas que exigen los axiomas de ZFC. Peor aún, si uno se pone a razonar sobre cómo son "los conjuntos de verdad" para ver si cumplen o no los axiomas de ZFC, uno llega a paradojas, es decir, a contradicciones que no vienen de suponer nada por reducción al absurdo para concluir lo contrario, contradicciones que no dicen "así queda probado que este supuesto es falso", sino contradicciones que dicen "lo que estás diciendo no tiene sentido alguno".
Por ello tiene interés constatar que buena parte de los teoremas matemáticos pueden demostrarse a partir de teorías axiomáticas más débiles que no presupongan la existencia de unos conjuntos abstractos que técnicamente es cuestionable, sino que sólo requieran aceptar, por ejemplo, que los números naturales son unos objetos claramente definidos sobre los que podemos hablar coherentemente. Así, la Aritmética de Peano es una teoría axiomática que sólo postula propiedades elementales de los números naturales, pero que es suficiente para demostrar una parte sustancial de la matemática. Por poner algunos ejemplos, la aritmética de Peano puede extenderse a una teoría de segundo orden conocida como ACA\( _0 \) (con la garantía de que si AP es consistente ésta también lo es) en la que se pueden probar cosas como que toda sucesión convergente en un subconjunto acotado de \( \mathbb R^n \) tiene una subsucesión convergente, o que toda función continua en un intervalo cerrado es integrable Riemann. (No te preocupes por estos tecnicismos, pero como algunos matemáticos leerán esto, pongo ejemplos para que se hagan una idea más concreta de a qué me refiero).
Así pues, elegir unos axiomas más débiles que ZFC sirve para evitar conceptos excesivamente abstractos y tener la garantía de que podemos considerar "verdaderos" a los axiomas de los que partimos. Aunque la verdad es que esto no preocupa (ni hay razón para que les preocupe) a la mayoría de los matemáticos.
Pero, aun trabajando dentro de ZFC, por quedarnos en lo estándar, si preguntas cómo se demuestra una determinada afirmación geométrica, también tienes que tener en cuenta que hay diferentes formas de encajar la geometría dentro de ZFC. El camino más directo sería así:
A partir de los axiomas de ZFC (que sólo hablan de conjuntos), construyes los números naturales (es decir, los defines y demuestras sus propiedades básicas), luego, a partir de ellos, construyes los números enteros, luego los números racionales, luego los números reales y luego construyes el plano o el espacio tridimensional euclídeo, es decir, defines lo que son puntos, rectas (y planos, en el caso tridimensional), lo que son figuras congruentes (es decir, que coinciden al superponerlas, etc.)
Por ejemplo, en este contexto, la respuesta a tu pregunta:
En relación a esto me pregunto como se demuestra que hay segmentos más grandes que otros, o sea, como se demuestra matemáticamente lo que el ojo de hecho ve.
Sólo tienes que poner ejemplos de segmentos de longitud distinta. Puedes demostrar que, habiendo definido el plano como el conjunto de todos los pares de números reales, entonces
\( S_1 = \{(x, 0)\in \mathbb R^2\mid 0\leq x\leq 1\},\qquad S_2 = \{(x, 0)\in \mathbb R^2\mid 0\leq x\leq 2\} \)
son dos ejemplos de segmentos (es decir, conjuntos que cumplen la definición de segmento) y que el primero cumple la definición de "tener longitud 1" y el segundo cumple la definición de "tener longitud 2".
Podrás poner todas las pegas filosóficas a esta conclusión, pero matemáticamente no hay pega alguna: ZFC es una teoría axiomática bien definida, en el sentido de que está claro cuáles son sus axiomas y qué significa demostrar algo a partir de ellos y, siguiendo el camino que he esbozado, llegas a demostrar que \( S_1 \) y \( S_2 \) son segmentos de longitudes distintas, sin haber tenido que mencionar siquiera en ningún momento si son o no son infinitamente divisibles (que lo son).
Ahora bien, se puede objetar que esto es así con una definición de plano, punto, recta, longitud, etc. que no tiene ninguna relación directa con la geometría intuitiva: todos los conceptos se definen "como conviene", pero al final los puntos del plano así definidos no son más que parte de esos conjuntos abstractos de existencia dudosa, y nada demuestra que los teoremas de la geometría euclídea así introducida se corresponden con la geometría intuitiva.
Una forma de establecer el nexo entre la geometría conjuntista y la geometría intuitiva es considerar una teoría axiomática distinta, una geometría axiomática que no dependa para nada de la teoría de conjuntos. Una buena elección a este respecto (en cuanto a que se puede formular fácilmente sin hacer referencia para nada a la teoría de conjuntos) es la geometría de Tarski. Tomando ésta u otra axiomatización de la geometría euclídea, podemos afirmar que sus axiomas son intuitivamente verdaderos, luego sus teoremas también, y si luego comprobamos que el plano conjuntista cumple estos axiomas, podemos concluir que, después de todo, los puntos, segmentos, etc. así definidos no son "cosas abstractas" sin más, sino que son un modelo representativo de la geometría intuitiva, con la ventaja de que está integrado en la teoría de conjuntos y así se puede conectar con las demás partes de la matemática.
Con esto tienes otro ejemplo del interés que puede tener elegir unos axiomas u otros: considerando unos axiomas puramente geométricos y comprobando que todo nuestro conocimiento geométrico intuitivo es deducible a partir de ellos, luego podemos ir a otras axiomáticas más abstractas y legitimar construcciones que, sin más, pecarían de arbitrarias.
Pero, como ya te han dicho, si preguntas cómo se demuestra algo, hay que especificar en qué axiomática. Antes te he esbozado cómo se demuestra que existen segmentos de longitud distinta en la geometría conjuntista. Si partimos de una geometría axiomática, como la de Tarski, la prueba tendrá que ser completamente distinta.
Y ahí el truco está en que la existencia de segmentos de longitud distinta está ya casi en los axiomas: parte de los axiomas de la geometría euclídea tienen que ver con el concepto de congruencia (en el sentido de que dos figuras son congruentes si superpuestas coinciden) y afirman algunos resultados elementales sobre congruencia. En el caso de la geometría de Tarski los axiomas son un poco técnicos a este respecto, pero lo que te voy a decir, no es un axioma, pero sí una consecuencia inmediata de varios de sus axiomas:
Dados puntos distintos \( q \) y \( a \) y un segmento \( \overline{bc} \), existe un único punto \( x \) tal que \( q-a-x \) están sobre una misma recta y en ese orden, de modo que el segmento \( \overline{ax} \) sea congruente con el segmento \( \overline{bc} \).
La unicidad hace que si tomas otro punto \( q-a-x-y \) (y los axiomas garantizan que lo hay), entonces los segmentos \( \overline{ax} \) y \( \overline{ay} \) no son congruentes entre sí.
En suma, la demostración consiste en precisar algo que esencialmente ya está dicho en los axiomas. Pero tú mismo has dicho que eso es algo que de hecho el ojo ve, por lo que es razonable tomarlo como axioma en una teoría axiomática destinada a identificar un conjunto de axiomas que basten para demostrar todo lo que el ojo ve.
Sobre tu supuesto impedimento:
En relación a lo de la unidad de referencia y al impedimento filosófico, está todo dicho: si no puedo distinguir matemáticamente segmentos que al ojo son patentemente distintos por su tamaño no puedo establecer ninguna referencia con la que medir ninguno, o sea, no puedo determinar ninguno que mida 1. Es decir, lo podría hacer con el lápiz y el papel superponiéndolos con operaciones manuales, convirtiendo al más pequeño en referencia unitaria, pero no sería un procedimiento exacto o matemático.
Lo que estás diciendo es que no existe forma de medir exactamente un segmento dado, lo cual es cierto. Si tienes un segmento dibujado en un papel y cuentas con una regla graduada en milímetros, podrás concluir con ella que el segmento mide, digamos, entre 38 y 39 milímetros, pero no podrás decir nada mejor. Si usas aparatos de medida más potentes, podrás reducir la imprecisión de la medida, pero si sigues así llegará un punto en el que, desde un punto de vista físico, no tendrá sentido tratar de ser más preciso, pues, yendo al extremo, te encontrarás con la estructura atómica de la materia y la imposibilidad de decir dónde termina exactamente un átomo.
Desde un punto de vista matemático todo esto es irrelevante, porque los fundamentos de la geometría euclídea no tienen nada que ver con la medida práctica de segmentos. En una geometría axiomática, los axiomas incluyen la noción de que existe la congruencia de segmentos con unas condiciones de unicidad que aseguran que hay segmentos no congruentes entre sí, y todo lo que es razonable demostrar. Otras versiones axiomáticas de la geometría no completamente independientes de la teoría de conjuntos incluso parten del supuesto de que cada segmento tiene asignada una longitud, con lo que la respuesta a cómo se demuestra (en ellas) lo que pides demostrar, es que se demuestra trivialmente, pues basta tomar dos segmentos de longitudes distintas.
Por completar un poco más la respuesta a tu pregunta sobre de qué depende elegir unos axiomas u otros, también puedes considerar "falsas axiomáticas" dentro de ZFC. Me refiero a que es frecuente llamar axiomas a lo que en realidad son definiciones dentro de ZFC. Por ejemplo, uno puede decir (razonando en ZFC):
Definimos un plano euclídeo como un conjunto, a cuyos elementos llamaremos puntos, junto con una familia de subconjuntos, a los que llamaremos rectas, de modo que cumplan bla, bla, bla. Y a ese bla, bla, bla, se le suele llamar axiomas (por ejemplo, uno que diga que dos rectas tienen a lo sumo un punto en común, etc.), pero en realidad son una definición: Unos conjuntos que cumplan esos "axiomas" son por definición un plano euclídeo.
Así tienes una situación intermedia entre la geometría conjuntista en la que los puntos, rectas, etc. se definen "como conviene" y el tener que trabajar fuera de la teoría de conjuntos con una axiomática específica.
Aunque se pueda cuestionar que existan los conjuntos increíblemente abstractos que postulan los axiomas de la teoría de conjuntos, en la medida en que demuestres propiedades de un plano euclídeo sin basarte en ningún resultado conjuntista sospechosamente abstracto, sino meramente en los "axiomas" que constituyen la definición de plano euclídeo, podrás razonar que si esos falsos "axiomas" son intuitivamente verdaderos, también lo serán sus consecuencias en ZFC en la medida en que sólo se basen en ellos.
Una variante de este enfoque consiste en tomar (como definición) axiomas más débiles, que no recojan toda la geometría euclídea, y así los matemáticos definen planos afines, planos afines sobre cuerpos ordenados, etc., lo que da lugar a una gradación de teorías "axiomáticas" (definiciones, en realidad) que sólo permiten probar una parte de los resultados geométricos, pero, a cambio, tienen la ventaja de que sus resultados son aplicables a contextos muy diversos.
Por ejemplo, puedes definir geometrías finitas, con un número finito de puntos, en las que puedes razonar geométricamente para obtener resultados de interés en contextos muy diversos, como la criptografía, la corrección de errores en mensajes, etc.
Lo que quiero es poder entender yo, no hacer entender a otros, sino entender yo, en los términos en los que a mi me es dado entender, porque se me escapan las matemáticas cuando al mismo tiempo sé, en lo más recondito de mí, que en ellas está, sino la razón de todo, gran parte de dicha razón. Soy un filósofo de vocación y quiero aprender matemáticas como sea a razón de esa misma vocación.
Pues lo primero que tienes que asimilar es que, desde hace mucho tiempo, las matemáticas están blindadas ante la filosofía. Para evitar las "cosquillas", que dices tú, de los filósofos, los matemáticos se han parapetado en ZFC (y, ocasionalmente, en otras teorías axiomáticas), de modo que pueden decir: no hay ninguna duda filosófica en lo que significa trabajar en ZFC (u otras teorías), pues está perfectamente definido lo que son sus axiomas y lo que significa deducir algo a partir de ellos. Todo lo que sea deducir afirmaciones de forma lógicamente correcta (y eso está perfectamente definido) a partir de esos axiomas bien definidos es hacer matemáticas, y no que no, no es hacer matemáticas.
Luego puedes filosofar sobre si esos axiomas son razonables o no, o sobre cómo se relacionan los teoremas matemáticos con la realidad, etc., pero nada de eso afecta a si un resultado matemático está o no está bien justificado. Eso es una interpretación constructiva a lo de "filosóficamente no avanzarás en matemáticas". Lo primero que necesitas es entender qué significa razonar formalmente a partir de unos axiomas sin preocuparte lo más mínimo de lo que puedan significar las afirmaciones que demuestres, y cualquier intento de poner pegas filosóficas a eso sería darte cabezazos contra una pared, porque el blindaje es perfecto. Nadie que crea ver en él una grieta puede tener razón.
Otra cosa es que quieras poner pegas filosóficas a la construcción de ZFC, pues, obviamente, para construir una teoría axiomática que fundamente las matemáticas, no es posible trabajar dentro de esa teoría axiomática, sino que hay que trabajar informalmente hasta tener una teoría formal en la que poder trabajar. Eso es harina de otro costal. Entonces, tienes que decidir si quieres pelearte con la construcción de ZFC, donde habría lugar para pegas filosóficas, o bien aceptas que ZFC es algo perfectamente definido y que constituye el fundamento lógico de toda la matemática moderna (o también podrías sustituir ZFC por otra teoría más débil —o más fuerte—, y todo lo que digo vale igual) y te centras en ver cómo se construye la matemática dentro de ZFC.
Salvo que tengas interés en atacar la base del "blindaje antifilosófico" de las matemáticas, si tus dudas son de la naturaleza del ejemplo que has expresado (sobre geometría, divisibilidad infinita, etc.) lo que necesitarías sería olvidarte de todas tus dudas filosóficas (que no pueden hacer ni un rasguño al blindaje antifilosófico matemático) y familiarizarte con el tratamiento matemático de los números reales, por una parte, y del tratamiento axiomático de la geometría por otra parte (sin necesidad de salirte de ZFC, considerando las "falsas axiomáticas" de las que te hablaba antes, concretamente, la definición de espacio euclídeo). Luego, cuando ya estés familiarizado con eso (que sólo consiste en constatar cómo se definen y se demuestran las cosas, lo cual es filosóficamente inatacable, ya que consiste meramente en seguir unas reglas de razonamiento preestablecidas a partir de unos axiomas preestablecidos) ya puedes plantearte cómo encaja eso en tu filosofía, pero "eso" es lo que es, y lo que necesitas es conocerlo tal cual es.
Aunque esto no es relevante, por completitud, te digo que lo de
del otro lado: "no se puede querer avanzar a cualquier precio, de todos modos, ¿sabes hacia donde avanzas?, etc., etc.",
Eso no hace ningún rasguño al blindaje (como no podía ser de otro modo). Los matemáticos avanzan gratis y saben perfectamente hacia dónde lo hacen, sin necesidad de filosofía alguna. Tienen claro cuáles son sus problemas y qué les interesaría resolver, y poco a poco van avanzando sin miedo a que nadie les ponga ninguna objeción que deban tener en consideración.
Estoy en un punto en el que me parece ridículo filosofar sin saber matemáticas y física (quiero leer las ecuaciones de Einstein...),
Lo es.
pero necesito erigir el edificio de las matemáticas respetando alguna clase de presupuesto filosófico, si no sencillamente seré incapaz
No. Mal comienzo. El comienzo correcto es entender que la matemática es una inmensa teoría formal (que nadie puede abarcar completamente) y que lo que necesitas es entender qué hacen los matemáticos, al menos en las áreas que te interesen, y eso es filosóficamente muy simple: parten de unos axiomas y demuestran con unas leyes de razonamiento perfectamente precisadas. Lo que necesitas es conocer de qué axiomas parten, qué demuestran exactamente y cómo lo hacen, lo cual, es filosóficamente más simple que el mecanismo de un botijo (salvo que te pongas a cuestionar los fundamentos lógicos de ZFC, lo cual sólo te alejaría de tus objetivos reales). Cuando ya entiendas —sin cuestionarlo— cuál es son los axiomas que usan los matemáticos y qué hacen con ellos, entonces ya podrás filosofar.
Pero quizá el error del que partes es que piensas que cada paso que da un matemático significa afirmar una verdad y quieres estar seguro de que no das por verdadero algo falso. Si es eso, quítatelo de la cabeza. No se trata de que a cada paso descubras el por qué de algo y quieras estar seguro de que no te están engañando. Se trata de que veas que de tales axiomas se deducen tales teoremas y eso es trivialmente cierto e incuestionable (cuando conoces la demostración que se le ha ocurrido a otro). Cuando ya sepas eso, ya podrás filosofar sobre el valor que le das a eso, pero "eso" no es más que un luego lógico.
Por concretar: tal vez tu pregunta era "cómo están seguros los matemáticos de que existen segmentos de longitudes distintas", y lo que te digo es que, de momento, eso debería darte igual, lo que debería preocuparte es cómo demuestran los matemáticos que existen segmentos de longitudes distintas, y luego ya te plantearás qué grado de certeza le puedes dar a las distintas demostraciones basadas en axiomas distintos. El blindaje antifilosófico de las matemáticas consiste precisamente en que lo que hacen no depende para nada de si saben o no saben si existen segmentos de longitudes distintas, sino que eso es matemáticamente irrelevante.
Y si a partir de mi descripción superficial de la situación llegas a concluir que esto que te digo no es lo que te interesa, porque
es un saber arbitrario, tautológico, que no refiere nada externo, ninguna cosa del mundo, y, si no refiere ninguna cosa del mundo, ¿de qué es conocimiento?
lo que te digo es que no te dejes llevar por la impresión necesariamente incorrecta que uno se lleva ante una descripción superficial de lo que sea. Piensa que, ante cualquier resumen en un párrafo de la filosofía de Spinoza, Descartes, Locke, Berkeley, Hume, Kant, etc. lo que cualquiera puede concluir razonablemente es que cualquiera de ellos era tonto de remate, pero eso es lo que tienen los resúmenes en un párrafo.
(Tengo a Frege y a Russell por mis estanterías...
Eso es como leer un manual de Windows 1.0 para aprender informática.
Sí, es algo del tipo de la paradoja de Zenón.
Pero la paradoja de Zenón no tiene sentido si no se es consecuente con la divisibilidad infinita en cuestión, siendo así que Aquiles no recorre ninguna distancia porque recorre una distancia infinita.
No sé exactamente qué quieres decir con esto, pero no es lo que diría un matemático. En la paradoja de Zenón divides el tiempo que Aquiles necesita para alcanzar a la tortuga en infinitos intervalos de tiempo de longitud no nula, pero cuya suma es un tiempo finito (el que tarda en alcanzarla) y, consecuentemente, divides el intervalo que recorre hasta alcanzarla en infinitos intervalos de longitud no nula. Lo que sucede es que no hace falta infinito tiempo para recorrer infinitos intervalos de tiempo si sus longitudes temporales tienen suma finita, y pueden tenerla. Igualmente, la suma de infinitas distancias finitas no tiene por qué ser infinita. Esto está relacionado con el problema de la medida del que te hablaba antes: una de las condiciones para que un concepto de "longitud de un segmento" sea admisible como tal es que cuando tienes un conjunto dividido en infinitos subconjuntos de longitud definida y la suma de sus longitudes es finita (que puede serlo) entonces el conjunto también tiene una longitud definida y es la suma de las longitudes de sus partes.
Aquí tienes otro ejemplo de cómo, antes de filosofar, tendrías que tener claro cómo suman los matemáticos infinitas longitudes finitas para que les dé un resultado finito, y eso puedes (y debes) estudiarlo sin interferencias filosóficas, en el sentido de que tu primer objetivo debe ser entender que eso se demuestra a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos, o de "falsos axiomas" que son definiciones, como la definición de cuerpo totalmente ordenado y completo, que sirve como "falsa axiomática" para el concepto de recta o de números reales.
Eso que dices de la distancia mínima entre dos números enteros es lo que me produce perplejidad. El problema está en cómo se distingue matemáticamente una distancia de magnitud 1 de otra de magnitud 2, lo cual remite a la formulación del problema que planteé en el inicio de este hilo y que volví a formular en respuesta a Eparoh. O sea, a qué se refiere o cuál el sentido relativo de 1, 2, 3, 4, etc. Yo veo indistinción, tal y como si estuviese intelectualizando un problema de discalculia, que a lo mejor es lo que hay.
En el fondo, tu problema es que te estás preguntando por qué la Tierra no cae hacia abajo. La pregunta no tiene una respuesta, sino que el problema se resuelve cuando uno entiende que no hay un "abajo" hacia el cual pueda caer la Tierra. Pues aquí pasa algo parecido, no es que los matemáticos tengan que ingeniárselas para distinguir el 1 del 2, sino que pueden distinguir el 1 del 2 mucho antes de hablar de segmentos para nada, y cuando se ponen a hablar de segmentos, la respuesta a tu pregunta es trivial por un motivo o por otro, y no porque se encuentre la solución a tu problema, sino porque tu problema desaparece.
Pero igual que entender por qué no hay "abajo" requiere estudiar la gravedad, y entonces el problema desaparece solo, entender por qué no existe tu problema requiere entender lo que hacen los matemáticos cuando hablan de números y de longitudes.
Pero para definir la resta de dos números se tiene que presuponer lo que se quiere demostrar, es decir, se tiene que admitir con anterioridad que los números poseen determinados valores. ¿Cuál es el origen matemático o lógico de dichos valores? ¿Qué teorema demuestra eso? Si es una cuestión de elección de axiomas me remito al problema relativo a la elección de axiomas, o sea, ¿bajo qué criterio?
Eso sigue siendo como preguntar cómo se demuestra que la Tierra flota en el espacio sin caer. No se demuestra que la Tierra flota sin caer, se demuestra que caer no tiene sentido en el contexto de la pregunta. Igualmente, un matemático no encontrará sentido alguno a tu afirmación de que "los números poseen determinados valores". Es un ejemplo de afirmación que no harás en cuanto estés familiarizado sobre cómo construyen los matemáticos los números.
El camino para eso —que yo seguiría en tu lugar— es el que te he esbozado antes: familiarizarte con lo que es ZFC (lo cual puedes hacerlo a nivel más superficial, lo cual es más que suficiente, o profundizando en lo que supone precisar su lógica subyacente, cosa que siempre puedes hacer más adelante, pero es más complicado), luego ver cómo a partir de los axiomas de ZFC se construyen los números y cómo a partir de los números se pueden definir espacios geométricos.
No es algo que se aprenda en dos minutos, ni en dos días. Pero
no hay camino real para la geometría.
