[Nub]

Hola tengo una duda con este ejercicio:

Sea un conjunto \( A \), con \( \left |{A}\right |=n \) y \( R,S \) son relaciones sobre A

1) Si \( R \) y \( S \) son simétricas, lo son \( R^c (complementaria), R^{−1} , R ◦ S, R ∪ S, R ∩ S? \)

2) Lo mismo a los casos anteriores sustituyendo simétrica por reflexivas, antisimétricas y transitivas.


Bueno, al principio cuando lo vi no tenia ni idea que hacer y lo unico que se me ocurrio es hacer una mini relacion simetrica por mi mismo y calcularle la inversa por ejemplo y ver si sigue quedando simetrica, pero creo que la idea del ejercicio no es esa

La pregunta es, cual es la idea para hacer estos ejercicios?

Según vi por internet, creo que se pueden hacer de esta manera, probablemente haré cualquier cosa pero según vi es como una demostración.

"Demostrare" que una relacion R simetrica la inversa de R es simetrica.

Entonces \( R \) simetrica \( \Longrightarrow{R^{-1}} \)Simetrica
Uso la definición de simetrica en cada lado
\( (xRy\Longrightarrow{yRx)}\Longrightarrow{(xR^{-1}y\Longrightarrow{yR^{-1}x)}} \)

\( xRy\Longrightarrow{yRx} \)
Luego uso la definición de inversa
\( (xRy\Longrightarrow{yR^{-1}x})\Longrightarrow{(yRx\Longrightarrow{xR^{-1}y})} \)
Supongo que por una cierta transitiva puedo hacer esto 
\( yR^{-1}x\Longrightarrow{xR^{-1}y} \)
Y por algun motivo llegue a donde queria, pero al revés
Gracias 

[Fernando Revilla]

Bueno, al principio cuando lo vi no tenia ni idea que hacer y lo unico que se me ocurrio es hacer una mini relacion simetrica por mi mismo y calcularle la inversa por ejemplo y ver si sigue quedando simetrica, pero creo que la idea del ejercicio no es esa

Eso te daría una pista, pero no sería una demostración.

La pregunta es, cual es la idea para hacer estos ejercicios?

Procede ordenadamente, si \( R \) es simétrica:

        \( xR^{-1}y\underbrace{\Rightarrow{}}_{\text{Def. de}R^{-1}}yRx\underbrace{\Rightarrow{}}_{R \text{ sim.}}xRy\underbrace{\Rightarrow{}}_{\text{Def. de}R^{-1}}yR^{-1}x\Rightarrow R^{-1}\text{ es simétrica.} \)

[Luis Fuentes]

Hola

 En los casos en los que la propiedad no se cumpla, bastará con que des un ejemplo donde falle.

Saludos.

[Nub]

Bueno, al principio cuando lo vi no tenia ni idea que hacer y lo unico que se me ocurrio es hacer una mini relacion simetrica por mi mismo y calcularle la inversa por ejemplo y ver si sigue quedando simetrica, pero creo que la idea del ejercicio no es esa

Eso te daría una pista, pero no sería una demostración.

La pregunta es, cual es la idea para hacer estos ejercicios?

Procede ordenadamente, si \( R \) es simétrica:

        \( xR^{-1}y\underbrace{\Rightarrow{}}_{\text{Def. de}R^{-1}}yRx\underbrace{\Rightarrow{}}_{R \text{ sim.}}xRy\underbrace{\Rightarrow{}}_{\text{Def. de}R^{-1}}yR^{-1}x\Rightarrow R^{-1}\text{ es simétrica.} \)

Hola, primero que nada, mi demostración tiene algún tipo de sentido o se puede hacer de esa manera? porque ahora que veo la tuya, básicamente probaste que \( xR^{-1}y\Longrightarrow{yR^{-1}x} \)
y yo lo que intente hacer fue un "Si R es simetrica entonces la inversa es simetrica"
Gracias

[manooooh]

Hola

Hola, primero que nada, mi demostración tiene algún tipo de sentido o se puede hacer de esa manera? porque ahora que veo la tuya, básicamente probaste que \( xR^{-1}y\Longrightarrow{yR^{-1}x} \)
y yo lo que intente hacer fue un "Si R es simetrica entonces la inversa es simetrica"

Lo que tú haces aquí:

Entonces \( R \) simetrica \( \Longrightarrow{R^{-1}} \)Simetrica
Uso la definición de simetrica en cada lado
\( (xRy\Longrightarrow{yRx)}\Longrightarrow{(xR^{-1}y\Longrightarrow{yR^{-1}x)}} \)

\( xRy\Longrightarrow{yRx} \)
Luego uso la definición de inversa
\( (xRy\Longrightarrow{yR^{-1}x})\Longrightarrow{(yRx\Longrightarrow{xR^{-1}y})} \)
Supongo que por una cierta transitiva puedo hacer esto 
\( yR^{-1}x\Longrightarrow{xR^{-1}y} \)

Parece ser que mezclas el comienzo que haces (tomar la hipótesis) con propiedades que puedes aplicar, y al menos para mí no es correcto.

Estrictamente, tienes:

Hipótesis: \( R \) es simétrica, o sea \( xRy\implies yRx \) para todo \( x,y\in A \).
Tesis: \( R^{-1} \) es simétrica, o sea \( xR^{-1}y\implies yR^{-1}x \) para todo \( x,y\in A \).

Si partes de la hipótesis, debes quedarte con la hipótesis. En este caso al ser un condicional yo lo veo un poco menos claro que partir del antecedente de la tesis y llegar al consecuente de la tesis, tal como hace Fernando en su mensaje, que me parece mucho más natural.

No quiero decir que partiendo de \( xRy\implies yRx \) no se llegue a \( xR^{-1}y\implies yR^{-1}x \). Yo lo veo menos claro nada más. Por ejemplo, usando reglas de inferencia:

\begin{array}{lll}
1)&xRy\implies yRx&\text{Premisa}\\
2)&xRy\implies yR^{-1}x&\text{Tautología}\\
3)&yRx\implies xR^{-1}y&\text{Tautología}\\
4)&xRy\implies xR^{-1}y&\text{Silogismo hipotético 1), 3)}\\
\dots
\end{array}

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Entonces \( R \) simetrica \( \Longrightarrow{R^{-1}} \)Simetrica
Uso la definición de simetrica en cada lado
\( (xRy\Longrightarrow{yRx)}\Longrightarrow{(xR^{-1}y\Longrightarrow{yR^{-1}x)}} \)

\( xRy\Longrightarrow{yRx} \)
Luego uso la definición de inversa
\( (xRy\Longrightarrow{yR^{-1}x})\Longrightarrow{(yRx\Longrightarrow{xR^{-1}y})} \)
Supongo que por una cierta transitiva puedo hacer esto 
\( yR^{-1}x\Longrightarrow{xR^{-1}y} \)

En la definición de inversa tienes equivalencia en realidad:

\( (xRy\Leftrightarrow{yR^{-1}x})\Longrightarrow{(yRx\Leftrightarrow{xR^{-1}y})} \)

Ordenado de otra manera:

\( yR^{-1}x\Leftrightarrow xRy\Longrightarrow yRx\Leftrightarrow{xR^{-1}y} \)

Que es prácticamente la demostración de Fernando intercambiando los papeles de \( x \) e \( y \).

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Se te ha colado el autor de la cita creo.

¡Ups, perdona! Ya lo corregí; gracias por avisar.

Saludos.

[Nub]

No quiero decir que partiendo de \( xRy\implies yRx \) no se llegue a \( xR^{-1}y\implies yR^{-1}x \).

Eso es exactamente lo que queria hacer, probablemente hice cualquier cosa, pero esa era la idea

Ahora, para demostrar algo \( A\Longrightarrow{B} \) yo lo unico que sabia es que hay que partir de A y llegar a B, pero recuerdo algo que me dijiste hace un tiempo y puede tener algo de sentido con la demostración de Fernando

No estoy tomando la tesis completa.

Piensa en el siguiente ejemplo:

Probar que \( a=2\implies a+3=5 \).

Tienes varias formas de probarlo:

1) Dado que \( a=2 \), sumando \( 3 \) miembro a miembro queda \( a+3=2+3=5 \).

2) Partamos de \( a+3 \) (no estoy diciendo \( a+3=5 \)). Si utilizamos la hipótesis, queda \( 2+3 \), que es igual a \( 5 \). Llegamos al otro miembro de la tesis.

3) Partamos de \( 5 \) (no estoy diciendo \( 5=a+3 \)). Lo podemos descomponer como \( 2+3 \). Por hipótesis \( 2=a \), luego \( a+3 \). Llegamos al otro miembro de la tesis.

¿Alguna duda con estas demostraciones?

Saludos

Lo que hizo Fernando, no seria algo igual o parecido a la parte 2?

[Luis Fuentes]

Hola

Lo que hizo Fernando, no seria algo igual o parecido a la parte 2?

Si.

A ver, en general si usando una hipótesis \( H \) bajo la cual quieres probar que \( P\Rightarrow Q \). Lo lógico es partir de \( P \), en algún momento usar \( H \) de manera que puedas llegar a \( Q \).

Es el camino que ha seguido Fernando. En nuestro ejemplo \( H \) es "\( R \) es simétrica" o si quieres "\( xRY\Rightarrow yRx \)".
\( P \) es \( xR^{-1}y \) y \( Q \) es \( yRx^{-1} \).

Tu sin embargo quieres partir de \( H \) y llegar directamente a \( P\Rightarrow Q \). Normalmente eso va a ser menos natural.

Saludos.

[Nub]

Hola

Entonces \( R \) simetrica \( \Longrightarrow{R^{-1}} \)Simetrica
Uso la definición de simetrica en cada lado
\( (xRy\Longrightarrow{yRx)}\Longrightarrow{(xR^{-1}y\Longrightarrow{yR^{-1}x)}} \)

\( xRy\Longrightarrow{yRx} \)
Luego uso la definición de inversa
\( (xRy\Longrightarrow{yR^{-1}x})\Longrightarrow{(yRx\Longrightarrow{xR^{-1}y})} \)
Supongo que por una cierta transitiva puedo hacer esto 
\( yR^{-1}x\Longrightarrow{xR^{-1}y} \)

En la definición de inversa tienes equivalencia en realidad:

\( (xRy\Leftrightarrow{yR^{-1}x})\Longrightarrow{(yRx\Leftrightarrow{xR^{-1}y})} \)

Ordenado de otra manera:

\( yR^{-1}x\Leftrightarrow xRy\Longrightarrow yRx\Leftrightarrow{xR^{-1}y} \)

Que es prácticamente la demostración de Fernando intercambiando los papeles de \( x \) e \( y \).

Saludos.

Entonces mi demostración estaría bien si colocas la equivalencia? o no entendí