Hola
Para la relacion comuesta:
\( xR∘Sy\Longrightarrow{yR∘Sx} \)
\( xR∘Sy \)
\( xR∘Sy\Longrightarrow{\exists{c}/xRc∧cRy} \)
Ahora no se que hacer, pero por hacer algo 
Uso relacion simetrica
\( xR∘Sy\Longrightarrow{\exists{c}/xRc∧cRy}\Longrightarrow{cRx∧yRc} \)
y luego relacion compuesta
\( xR∘Sy\Longrightarrow{\exists{c}/xRc∧cRy}\Longrightarrow{cRx∧yRc}\Longrightarrow{yR∘Sx} \)
Estoy 98% seguro de que esta ultima parte esta mal, y por algún motivo deje olvidado el "existe c"
Va, ahora que lo pienso, en la ultima parte, al usar de nuevo la relación compuesta es imposible no?
La propiedad es falsa. No puedes "enganchar" los pares solo con la información de que \( R,S \) son simétricas.
Por "probar", aunque siempre conviene tenerlo claro con un ejemplo sencillo:
"Hipótesis": \( R \) y \( S \) son simétricas.
"Tesis": \( R\circ S \) es simétrica.
Recordar: \( R\circ S=\{(x,z)\in A^2\colon\exists y\in A\colon(x,y)\in R\land(y,z)\in S\} \)
Debemos "probar": \( \forall x,z\in A\colon(x,z)\in R\circ S\implies(z,x)\in R\circ S \).
"Demostración":
\begin{align*}
(x,z)\in R\circ S&\underbrace{\implies}_{\text{Def \(\circ\)}}\exists y\in A\colon(x,y)\in R\land(y,z)\in S\\
&\underbrace{\implies}_{\text{\(R,S\) simétricas}}(y,x)\in R\land(z,y)\in S\\
&{\text{\(\dots\) Deberíamos llegar a \((z,y)\in R\land(y,x)\in S\) para hacer \((z,x)\in R\circ S\)}\\\text{pero no tenemos los pares acomodados de esa forma}}
\end{align*}
Buscamos un contraejemplo:
\( A=\{1,2\} \).
\( R=\{(1,1)\} \). ¿Es simétrica?
\( S=\{(1,2),(2,1)\} \). ¿Es simétrica?
\( R\circ S=\{(1,2)\} \). ¿Es simétrica?
Saludos
