[CintiaTotti]

Hola nuevamente foro. He querido resolver este ejercicio para practicar pero al igual que el momento que lo rendí no logró entender. ¿Alguien me podría dar una mano por favor? \(  \)

Dados los complejos en forma polar \( u=ρ^2\operatorname{cis}(β)  \), \( z=2ρ^2\operatorname{cis}(γ)  \) y \( w=2ρ\operatorname{cis}(β+2γ) \) con \( ρ \in\mathbb{R^+} \) y \( \beta+γ=π/2 \) seleccione una o más de una correcta:

  a. \( \exists γ\in [0,2π) \) tal que \( ρ^{-2}z^2=-w^{2} \).

  b. Si \( π<2\arg(w)<2π \) entonces \( 0<\arg(2z)<π \).

  c. \( \frac{1}{2}|4w-6u|\leq|2w|+3|u| \).

  d. Existen \( z , w \) y \( u \) en las condiciones enunciadas tales que \( \frac{1}{8}|w|^{3}+|2z|+|w|+8=0 \).

  e. \( \exists ρ \in \mathbb{R^+} \) tal que \( \frac{2w}{z^2}=-1 \).

  f. \( \forall n \in \mathbb{Z}: 2∤n\Longrightarrow (\frac{w}{z})^n \) es imaginario puro.

Muchas gracias de antemano.

Moderación: mejorado un poco el \( \LaTeX \).

Inciso a. Corregido de
  a. \( \exists γ\in [0,2π) \) tal que \( ρ^{-2}z^2=-w^{-2} \).
a
  a. \( \exists γ\in [0,2π) \) tal que \( ρ^{-2}z^2=-w^{2} \).

[manooooh]

Hola

CintiaTotti, por favor lo que puedas intenta copiar el enunciado usando LaTeX, porque además de incumplir las normas, se ve borrosa la imagen. Si todo no te sale escribirlo no te preocupes, pero al menos haz el intento. Gracias!

Saludos

[CintiaTotti]

Hola

CintiaTotti, por favor lo que puedas intenta copiar el enunciado usando LaTeX, porque además de incumplir las normas, se ve borrosa la imagen. Si todo no te sale escribirlo no te preocupes, pero al menos haz el intento. Gracias!

Saludos

Hola, ahí quité la imagen y trate de pasar el enunciado lo mejor que pude. Soy re lenta con LaTeX, pido disculpas por no haber pasado el texto desde un principio. Hay símbolos que no sé cómo hacerlos y el editor no me separa las palabras cuando están entre [tex][\tex]

[Masacroso]

Hola nuevamente foro. He querido resolver este ejercicio para practicar pero al igual que el momento que lo rendí no logró entender. ¿Alguien me podría dar una mano por favor?

¿Pero qué has intentado? Porque el ejercicio es trivial, se trata de reescribir las inecuaciones dadas con las definiciones dadas de \( u,z \) y \( w \) y ver si se cumple o no lo escrito en cada punto. Por ejemplo, tienes que en \( \operatorname{cis}(t)=e^{it} \) el valor de \( t \) sería uno de los argumentos del número complejo dado por \( \omega =r\operatorname{cis}(t) \), siendo el conjunto de todos los argumentos válidos para \( \omega  \) el conjunto \( \{t+2k\pi: k\in \mathbb{Z}\} \), entonces por ejemplo para el apartado a. si \( \rho >0 \) tienes que

\( \displaystyle{
\begin{align*}
\rho ^{-2}z^2=-w^{-2}&\iff ({\color{red}{zw}})^2=-\rho ^2\\
&\iff \arg(({\color{red}{zw}})^2)\in\{\pi+2k\pi:k\in \mathbb{Z}\}\\
&\iff \arg({\color{red}{zw}})\in \frac1{2}\{\pi+2k\pi:k\in \mathbb{Z}\}=\{\pi/2+k\pi: k\in \mathbb{Z}\}
\end{align*}
} \)

Y de la definición de \( z \) y de \( w \) tienes que \( \arg({\color{red}{zw}})=\gamma {\color{red}{+}}\beta {\color{red}{+}}2\gamma =\pi/2+{\color{red}{2\gamma}}  \), por tanto en este caso la afirmación sería cierta siempre que \( {\color{red}{2\gamma =k\pi}} \) para algún \( k\in \mathbb{Z} \), y falso en caso contrario. Con la información dada no podemos concluir ninguna de las dos cosas, debe haber un error en el enunciado. Por otro lado no puede ser el caso de que \( \rho =0 \) ya que entonces la expresión \( w^{-2} \) no estaría definida. Intenta el resto.

Corregido: originalmente tenía escrito \( z/w \) en vez de \( zw \).

[CintiaTotti]

Hola nuevamente foro. He querido resolver este ejercicio para practicar pero al igual que el momento que lo rendí no logró entender. ¿Alguien me podría dar una mano por favor?

¿Pero qué has intentado? Porque el ejercicio es trivial, se trata de reescribir las inecuaciones dadas con las definiciones dadas de \( u,z \) y \( w \) y ver si se cumple o no lo escrito en cada punto. Por ejemplo, tienes que en \( \operatorname{cis}(t)=e^{it} \) el valor de \( t \) sería uno de los argumentos del número complejo dado por \( \omega =r\operatorname{cis}(t) \), siendo el conjunto de todos los argumentos válidos para \( \omega  \) el conjunto \( \{t+2k\pi: k\in \mathbb{Z}\} \), entonces por ejemplo para el apartado a. si \( \rho >0 \) tienes que

\( \displaystyle{
\rho ^{-2}z^2=-w^{-2}\iff (z/w)^2=-\rho ^2\iff \arg((z/w)^2)\in\{\pi+2k\pi:k\in \mathbb{Z}\}\iff \arg(z/w)\in \frac1{2}\{\pi+2k\pi:k\in \mathbb{Z}\}=\{\pi/2+k\pi: k\in \mathbb{Z}\}
} \)

Y de la definición de \( z \) y de \( w \) tienes que \( \arg(z/w)=\gamma -\beta -2\gamma =-\beta -\gamma =-\pi/2 \), por tanto en este caso la afirmación sería cierta. Por otro lado no puede ser el caso de que \( \rho =0 \) ya que entonces la expresión \( w^{-2} \) no estaría definida. Intenta el resto.

Hola, intente reemplazar, pero no logro llegar a nada concreto. Por ejemplo en el apartado c. se me ocurrió reemplazar w y u para despues operar pero no supe qué hacer con la resta porque solo me definieron división, multiplicación y potencia de complejos en forma polar. Entonces no supe cómo seguir adelante ni si iba bien ancaminada.

[Masacroso]

Hola, intente reemplazar, pero no logro llegar a nada concreto. Por ejemplo en el apartado c. se me ocurrió reemplazar w y u para despues operar pero no supe qué hacer con la resta porque solo me definieron división, multiplicación y potencia de complejos en forma polar. Entonces no supe cómo seguir adelante ni si iba bien ancaminada.

Ok, pero c. es cierta debido a la desigualdad triangular, que dice que para todo \( a,b\in \mathbb{C} \) se tiene que \( |a+b|\leqslant |a|+|b| \). En tu caso \( \frac1{2}|4w-6u|=|2w-3u|\leqslant |2w|+|-3u|=|2w|+|3u| \). Sin conocer la desigualdad triangular, sustituyendo, tienes que

\( \displaystyle{
|2w-3u|=|4\rho e^{i(\beta +2\gamma )}-3\rho ^2 e^{i\gamma }|=\rho |e^{i \gamma }(4e^{i(\beta +\gamma) }-3\rho )|=\rho | 4i-3\rho |
} \)

Por otra parte tienes que \( |2w|+3|u|=4\rho +3\rho ^2 \), por lo que tienes que verificar que

\( \displaystyle{
|4i-3\rho |\leqslant 4+3\rho
} \)

O equivalentemente

\( \displaystyle{
|4i-3\rho |^2\leqslant (4+3\rho )^2\iff 16+9\rho ^2\leqslant 16+9\rho ^2+24\rho \iff 0\leqslant \rho
} \)

lo cual es cierto.

[CintiaTotti]

Hola nuevamente foro. He querido resolver este ejercicio para practicar pero al igual que el momento que lo rendí no logró entender. ¿Alguien me podría dar una mano por favor?

¿Pero qué has intentado? Porque el ejercicio es trivial, se trata de reescribir las inecuaciones dadas con las definiciones dadas de \( u,z \) y \( w \) y ver si se cumple o no lo escrito en cada punto. Por ejemplo, tienes que en \( \operatorname{cis}(t)=e^{it} \) el valor de \( t \) sería uno de los argumentos del número complejo dado por \( \omega =r\operatorname{cis}(t) \), siendo el conjunto de todos los argumentos válidos para \( \omega  \) el conjunto \( \{t+2k\pi: k\in \mathbb{Z}\} \), entonces por ejemplo para el apartado a. si \( \rho >0 \) tienes que

\( \displaystyle{
\rho ^{-2}z^2=-w^{-2}\iff (z/w)^2=-\rho ^2\iff \arg((z/w)^2)\in\{\pi+2k\pi:k\in \mathbb{Z}\}\iff \arg(z/w)\in \frac1{2}\{\pi+2k\pi:k\in \mathbb{Z}\}=\{\pi/2+k\pi: k\in \mathbb{Z}\}
} \)

Y de la definición de \( z \) y de \( w \) tienes que \( \arg(z/w)=\gamma -\beta -2\gamma =-\beta -\gamma =-\pi/2 \), por tanto en este caso la afirmación sería cierta. Por otro lado no puede ser el caso de que \( \rho =0 \) ya que entonces la expresión \( w^{-2} \) no estaría definida. Intenta el resto.

Hola, intente reemplazar, pero no logro llegar a nada concreto. Por ejemplo en el apartado c. se me ocurrió reemplazar w y u para despues operar pero no supe qué hacer con la resta porque solo me definieron división, multiplicación y potencia de complejos en forma polar. Entonces no supe cómo seguir adelante ni si iba bien ancaminada.

Qué aplicaste en el primer si y solo si? Solo reemplazaste, no alcanzo a darme cuenta.
Perdón pero no es tan trivial para mí lo que veo xD, me está costando un Perú este ejercicio

[CintiaTotti]

Para el enunciado d. he pensado lo siguiente:

\( \frac{1}{8}|w|^{3}+|2z|+|w|+8=0 \)
\( \frac{1}{8}8ρ^{3}+4ρ^2+2ρ+8=0 \)
\( ρ^{3}+4ρ^2+2ρ+8=0 \)
\( (ρ+4)(ρ^2+2)=0 \)

Siento que estoy cerca, porque como las soluciones de una de esas partes da resultado complejo entonces ¿puedo concluir que el enunciado es falso?

[robinlambada]

Hola nuevamente foro. He querido resolver este ejercicio para practicar pero al igual que el momento que lo rendí no logró entender. ¿Alguien me podría dar una mano por favor?

¿Pero qué has intentado? Porque el ejercicio es trivial, se trata de reescribir las inecuaciones dadas con las definiciones dadas de \( u,z \) y \( w \) y ver si se cumple o no lo escrito en cada punto. Por ejemplo, tienes que en \( \operatorname{cis}(t)=e^{it} \) el valor de \( t \) sería uno de los argumentos del número complejo dado por \( \omega =r\operatorname{cis}(t) \), siendo el conjunto de todos los argumentos válidos para \( \omega  \) el conjunto \( \{t+2k\pi: k\in \mathbb{Z}\} \), entonces por ejemplo para el apartado a. si \( \rho >0 \) tienes que

\( \displaystyle{
\rho ^{-2}z^2=-w^{-2}\iff (z/w)^2=-\rho ^2\iff \arg((z/w)^2)\in\{\pi+2k\pi:k\in \mathbb{Z}\}\iff \arg(z/w)\in \frac1{2}\{\pi+2k\pi:k\in \mathbb{Z}\}=\{\pi/2+k\pi: k\in \mathbb{Z}\}
} \)

Y de la definición de \( z \) y de \( w \) tienes que \( \arg(z/w)=\gamma -\beta -2\gamma =-\beta -\gamma =-\pi/2 \), por tanto en este caso la afirmación sería cierta. Por otro lado no puede ser el caso de que \( \rho =0 \) ya que entonces la expresión \( w^{-2} \) no estaría definida. Intenta el resto.

Hola, intente reemplazar, pero no logro llegar a nada concreto. Por ejemplo en el apartado c. se me ocurrió reemplazar w y u para despues operar pero no supe qué hacer con la resta porque solo me definieron división, multiplicación y potencia de complejos en forma polar. Entonces no supe cómo seguir adelante ni si iba bien ancaminada.

Qué aplicaste en el primer si y solo si? Solo reemplazaste, no alcanzo a darme cuenta.
Perdón pero no es tan trivial para mí lo que veo xD, me está costando un Perú este ejercicio

Es que Masacroso  tiene una errata en el desarrollo, realmente \( w  \) y \( z  \) multiplican, pues \( w  \) que esta dividiendo pasa multiplicando al otro miembro.

\( \rho ^{-2}z^2=-w^{-2}\iff (z\cdot{}w)^2=-\rho ^2 \)

Pero la idea de Masacroso sigue siendo válida, puedes continuarla tu misma.

Saludos.

[robinlambada]

Para el enunciado d. he pensado lo siguiente:

\( \frac{1}{8}|w|^{3}+|2z|+|w|+8=0 \)
\( \frac{1}{8}8ρ^{3}+4ρ^2+2ρ+8=0 \)
\( ρ^{3}+4ρ^2+2ρ+8=0 \)
\( (ρ+4)(ρ^2+2)=0 \)

Siento que estoy cerca, porque como las soluciones de una de esas partes da resultado complejo entonces ¿puedo concluir que el enunciado es falso?

Estas cerquísima,  debes comprobar que todas las posibles soluciones son incompatibles con los valores que puede tomar \( \rho \)

Una de ellas es que \( \rho \) no puede ser imaginario. ¿ que pasa con la otra posible solución de la ecuación?
¿Que valor de \( \rho \) te da?