Hay un fallo garrafal en mi primera intervención, como bien indica robinlambada antes, y es que
\( \displaystyle{
\rho^{-2}z^2=-w^{-2}\iff (zw)^2=-\rho ^2
} \)
Ahora lo corrijo en el mensaje original.
Tengo una duda, cuando mi complejo está en polar y lo multiplico por un escalar. Ese escalar afecta a la parte del modulo nada más no? Con el argumento no pasa nada? Que estoy pensando los otros y hay cosas que no se.me cancelan bonito como para trabajar.
Muchas gracias a todos por la ayuda, voy entendiendo mucho mejor.
Si el escalar lo expresamos también en polar pasa que los módulos se multiplican entre sí y los argumentos se suman, es decir que \( (r_1 e^{i \alpha })(r_2e^{i \beta })=r_1r_2 e^{i(\alpha +\beta )} \).
Para el enunciado b. he pensado esto:
Si \( π<2\arg(w)<2π \) entonces:
\( π<2(β+2γ)<2π \)
\( π<2β+4γ<2π \)
Además \( 0<\arg(2z)<π \), esto es:
\( 0<γ<π \) (a esto viene mi pregunta anterior pues aquí ya no sé cómo seguir)
He tenido en cuenta que \( \beta+γ=π/2 \) pero no se me ocurrió cómo relacionarlo.
Pues simplemente sustituyes \( \beta +\gamma =\pi/2 \). Si sustituyes te queda que
\( \displaystyle{
\pi<2(\beta +\gamma +\gamma )<2\pi\iff \pi< 2(\pi/2+\gamma )<2\pi \iff \pi<\pi+2\gamma <2\pi\iff 0<2\gamma <\pi
} \)
donde en la última desigualdad lo que hemos hecho es restar \( \pi \) a cada lado de la inecuación.
Para el enunciado e. \( \exists ρ \in \mathbb{R^+} \) tal que \( \frac{2w}{z^2}=-1 \), he pensado:
\( \frac{2w}{z^2}= \frac{4ρcis(β+2γ)}{4ρ^4cis(2γ)} \)
\( \frac{1}{ρ^{-3}}cis(β) \)
Bueno y acá llegué a la conclusión, que no sé si es correcto, de que si \( β=π \) y \( ρ=-1 \) entonces \( \frac{2w}{z^2}=-1 \), pero como \( ρ \in \mathbb{R^+} \) entonces el enunciado es falso. Pero no me termina de convencer.
Tendríamos
\( \displaystyle{
\frac{2w}{z^2}=\frac{2(2\rho e^{i(\beta +2\gamma )})}{(2\rho ^2e^{i\gamma })^2}=\rho ^{-{\color{red}{3}}}e^{i\beta }
} \)
En polares el módulo siempre es no negativo, es decir, que \( \rho \geqslant 0 \). En este caso hay que asumir además que \( \rho >0 \) para que la expresión original \( 2w/z^2 \) tenga sentido. Entonces para que \( \rho ^{-{\color{red}{3}}}e^{i\beta }=-1 \) tienen que pasar dos cosas: la primera es que \( \rho =1 \), y la segunda es que \( \beta \in\{\pi+2k\pi:k\in \mathbb{Z}\} \). Pero con la información dada en el enunciado del ejercicio no tenemos ni idea de cuánto vale \( \beta \) así que no hay manera de saber si tal cosa es posible.
Esta parte del ejercicio no se puede contestar, debe faltar información o haber una errata en su formulación.
Por último el f. \( \forall n \in \mathbb{Z}: 2∤n\Longrightarrow (\frac{w}{z})^n \) es imaginario puro. Este sí que me ha parecido más fácil que los demás.
\( (\frac{w}{z})^n \)
\( (\frac{2ρ\operatorname{cis}(β+2γ)}{2ρ^2\operatorname{cis}(γ)})^n \)
\( (\frac{1}{ρ^{-1}}cis(β+γ))^n \)
Entonces como \( \beta+γ=π/2 \) eso se me transforma:
\( (\frac{1}{ρ^{-1}}i)^n \) y se necesita que \( n \) sea impar para que la potencia de \( i \) me siga manteniendo el número en un imaginario puro.
¿qué opinan?
Todo correcto, excepto que debería ser \( \rho \) en vez de \( \rho ^{-1} \).
Corregido.
