[aladan]

Hola
Por fin has encontrado la solución, pero ojo con tus conclusiones. Me explicaré, empezando por asumir un error permanente, causado por el copia-pega para evitar reescribir expresiones con LaTeX, me refiero a los limites de integración en \( Y_G \) en la parte de la integral de xdx. Te ruego me disculpes por ese error.
Asi mismo quiero llamar tu atención con tu conclusión

Pero asi se quita el área morada

Falso, con esos límites, inferior  \( y^2 \), superior a, lo que haces es tomar los extremos de las abscisas de los elementos dxdy ubicados en la manzana, definida por curva límite inferior y la recta x=a límite superior, no estás quitando NADA sino teniendo en cuenta lo que necesitas, el recinto tantas veces definido del cuadrante parabólico al que he bautizado como la manzana y OLVIDANDO totalmente cualquier otro recinto ajeno a él, definido por mi como la pera de al lado.
Espero que esta explicación te permita asentar más los conceptos, mejor que quedarte en la satisfación por los resultados.
Reitero mis disculpas por el error cometido, editaré los errores cuando te envie este mensaje y te ruego que seas más crítica con los conceptos y procedimientos que con los resultados.
Saludos

[habko07]

la integral de los límites a e \( y^2 \) corresponde a el diferencial del "rectángulo verde"  y se halla la suma de los diferenciales de 0 ->b ¿así?

[aladan]

Hola
No entiendo bien tu pregunta, he pensado que quizá merezca la pena traer aquí la repuesta 5

Spoiler

lo siento no veo la fórmula que me has puesto

Eso es lo que he usado y he hallado el área del paralelogramo y he restoado el área de que no se encuentra en la parábola

(por cierto no recibo correos de mensajes nuevos en este foro???)

Se que debe dar, tengo todos los momentos de las principales figuras geométricas, pero no entiendo por qué no me da

Ahora se ven las formulas que puse, también se ve claramente la que tu has empleado para \( X_G \) y no es lo mismo, aplica las que te he puesto son las correctas.
Por otra parte me resulta curioso la forma que has empleado para hallar S, no digo sea incorrecta, pero porque no calcularla directamente, por ejemplo así

            \( S=\displaystyle\int_{0}^{a}\sqrt[ ]{x}dx=\displaystyle\frac{2}{3}\sqrt[ ]{x^3}=\displaystyle\frac{2a\sqrt[ ]{a}}{3}=\displaystyle\frac{2ab}{3} \)
Ya me dirás.
Saludos

[cerrar]

en ella te hacia una observación sobre tu manera de evaluar la superficie del cuadrante parabólico y te ponia otra sin restas ni sumas, fue una pena que entonces no utilizara la integral doble. Así

                      \( S=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{S}^{}dxdy \)
es decir tomando un elemento diferencial de superfice dxdy dentro del recinto y calcular esa integral doble a lo largo de esa superficie, mi manzana. Como se hace esto, así:

Nota.-Uso para la curva la ecuación
                                                  \( y^2=x\Rightarrow{b^2=a} \)


 

\( S=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{S}^{}dxdy=\displaystyle\int_{0}^{b}dy\displaystyle\int_{y^2}^{a}dx=\displaystyle\int_{0}^{b}(a-y^2)dy=[ay-\displaystyle\frac{y^3}{3}]_0^b=ab-\displaystyle\frac{b^3}{3}=\displaystyle\frac{2b^3}{3}=\displaystyle\frac{2ab}{3} \)

No se si respondo tu duda con esto, pero esto es la forma más simple de aplicación de la integral doble para evaluar superficies en recintos planos y acotados como este.
Ya me dirás si iba por aquí tu pregunta
Saludos

[habko07]

Me alegra muchisimo que me hallas puesto las integrales dobles para hallar el área.  El mensaje anterior era para que vieras cual era la conclusión que sacaba yo del problema graficamente y si era en verdad así.

Es que a mi los dibujos me ayudan a ver las cosas mas claras

[habko07]

ESta mal mi conclusion?

[aladan]

ESta mal mi conclusion?

Perdonamé, pero no entiendo tu conclusión, desarrollé el uso de la integral doble para expresarte que los límites de integración recogian exclusivamente la zona que interesaba sin restar ni sumar nada explicando que no entendia y sigo sin entender tu mensaje

la integral de los límites a e \( y^2 \) corresponde a el diferencial del "rectángulo verde"  y se halla la suma de los diferenciales de 0 ->b ¿así?

por supuesto que el área que alli calculé es esa zona que pintas de verde manzana, pero no solo eso que tu llamas"rectángulo verde" sino todo lo que se denomina cuadrante parabólico, que al integrar primero la f(x), que en este caso es 1, el limite por la izquierda o inferior es \( x(y)=y^2 \) y por la derecha o superior es la constante a, quedando después una integral de f(y)dy cuyos límites son 0 y b. Siento que me estoy repitiendo y no consigo resolver tus dudas, lo lamento.
Saludos

[habko07]

Me refiero que la primera integral que realizo me sirve para hallar la zona verde manzana que en realidad es un diferencial.
Y la segunda integral que tiene los limites 0-b me sirve para hallar el conjunto de diferenciales de 0-b ¿está bien esta conclusión?

[aladan]

Me refiero que la primera integral que realizo me sirve para hallar la zona verde manzana que en realidad es un diferencial.
Y la segunda integral que tiene los limites 0-b me sirve para hallar el conjunto de diferenciales de 0-b ¿está bien esta conclusión?

No, la zona verde no la calculas con la primera integral, es solo el primer paso para completar la integral doble, la zona verde la calculas con la evaluación completa de esa integral doble, atendiendo primero a una variable y después a la otra.
Saludos

[habko07]

Pero la integral completa se refiere a toda la parábola, no solo a la parte verde.

(De todas formas no se como estas integrales que se necesitan este año nos las dejan para el siguiente )


Lo que quiero es comprender bien los límites de cada variable ya que hay veces que las cambio ej

\( S=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{S}^{}xdxdy=\displaystyle\int_{y^2}^{a}dy\displaystyle\int_{0}^{b}xdx \)

[aladan]

Concretemos, cuando digo la zona verde, me refiero a la que puedes ver en el gráfico, no a ese rectángulo que tu has pintado.
Por otra parte los límites que ahí pones no son correctos, ¿porqué?, al hacer la correspondiente a xdx tienes que ver los extremos, en esa zona, tiene x, por la izquierda la curva, NO cero, sino x(y)=\( y^2 \), por la derecha NO b, sino a. Comentario semejante para la 2ª integral.
Auinque no veas este curso las integrales dobles, puedes mirar cualquier libro para ver la técnica.
                                                                 
Saludos