[Richard R Richard]

Hola franma , el cálculo de robinlambada es correcto , si la bola dos es masa muy grande , no se moverá,  su velocidad final es nula, lo único que sucede es que la bola 1 sale con un ángulo igual al de entrada respecto al eje que une los centros de las esferas,  osea 2 veces el ángulo inicial respecto de la linea horizontal.



Y cuando la masa 1 es muy grande cuando impacta en la masa 2 , esta no le afectara su curso siguiendo con el mismo módulo de velocidad , direccion y sentido.

[franma]

Buenas,

Perdón si en mi anterior mensaje se entendió como que estaba desestimando los cálculos de robinlambada o diciendo que estaban mal.
Simplemente no entendía y todavía no logro ver de donde salen las cuentas  .

Saludos,
Franco.

[robinlambada]

Buenas,

Perdón si en mi anterior mensaje se entendió como que estaba desestimando los cálculos de robinlambada o diciendo que estaban mal.
Simplemente no entendía y todavía no logro ver de donde salen las cuentas  .

Saludos,
Franco.

Te detallo como lo he hecho. ( no he seguido el método que dice JCB de un libro de  "Dinámica" de Hibbeler, por cierto quien me pueda mandar el libro por privado o un enlace para verlo o descargarlo , se lo agradezco.)

He utilizado la conservación del momento lineal y angular y la conservación de la energía.

Eje X ( dirección de la velocidad inicial de \( m_1 \), dirección de \( \vec{u} \)

\( m_1u=m_1v_1\cos \phi +m_2v_2 \cos \theta \) (1)

Eje Y:

\( m_1v_1 \sen \phi=m_2v_2 \sen \theta \rightarrow{}\sen \phi=\displaystyle\frac{m_2v_2 \sen \theta}{m_1v_1} \)  ,  \( \cos \phi=\sqrt[ ]{1-\sen^2 \phi}=\sqrt[ ]{1\left({-\displaystyle\frac{m_2v_2 \sen \theta}{m_1v_1}}\right)^2} \)  (2)

Introduciendo (2) en (1)

\( m_1u= \sqrt[ ]{m^2_1v^2_1-m^2_2v^2_2 \sen^2 \theta}   +m_2v_2 \cos \theta\rightarrow{}(m_1u-m_2v_2 \cos \theta)^2= m^2_1v^2_1-m^2_2v^2_2 \sen^2 \theta \) (3)

Por otro lado de la conservación de la energía cinética (multiplicando por 2).

\( m_1u^2=m_1v_1^2+m_2v_2^2\longrightarrow{}m_1^2v_1^2=m_1^2u^2-m_1m_2v_2^2 \)   introduciendo en (3) la expresión de    \( m_1^2v_1^2 \)

Tenemos: \( (m_1u-m_2v_2 \cos \theta)^2= m_1^2u^2-m_1m_2v_2^2-m^2_2v^2_2 \sen^2 \theta \) desarrollando el cuadrado , pasando todo, simplificando y factorizándo.

\( m_2v_2 [(m_2+m_1)v_2 -2m_1 u\cos \theta]=0\rightarrow{}(m_2+m_1)v_2 -2m_1 u\cos \theta=0 \)

\( \boxed{v_2=\displaystyle\frac{2m_1\cos \theta}{m_2+m_1}u} \) (4)

Para \( v_1 \) , solo hay que sustituir la expresión (4)  en la ecuación de la energía y despejar \(  v_1 \)

\( \boxed{v_1=u\sqrt[ ]{1-\displaystyle\frac{4\mu}{m_1+m_2}\cos^2 \theta}} \)

\( \boxed{\sen \phi=\displaystyle\frac{m_2v_2 \sen \theta}{m_1v_1}} \)

Saludos.

P.D.:
Los cálculos de los límites si una masa es despreciable, se pueden resolver sacando factor la masa que me interese para que quede un cociente de masas que tienda a cero.

[robinlambada]

Para la opción de choque totalmente inelástico la diferencia es que hay una pérdida de energía cinética del sistema después del choque.

Ahora es interesante ver que le pasa al centro de masas del sistema.

Como la cantidad de movimiento se conserva, tanto en el choque elástico como en el inelástico el centro de masas sigue siempre la misma trayectoria rectilínea por la ausencia de fuerzas externas. Por ello en el choque totalmente inelástico tras el impacto, que permanecen los cuerpos como uno solo, el nuevo cuerpo sigue con la misma trayectoria que traía la masa \( m_1 \) lo que ocurre es que si el choque no es frontal el sistema empieza a rotar entorno al centro de masas, esto es debido a que el momento angular se conserva pero respecto al centro de masas no vale cero.

Por conservación del momento lineal.

\( m_1\vec{u}=m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2=\vec{k}=Cte \)

Por definición \( \vec{v}_{cm}=\displaystyle\frac{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}{m_1+m_2}=\displaystyle\frac{m_1}{m_1+m_2}\vec{u}=Cte \)

 Sean las variables primadas referidas al sistema de referencia  solidario al centro de masas.

La velocidad relativa de la masa \( m_1 \) respecto del SR-CM

\( \vec{u}'=\vec{u}-\vec{v}_{cm}=\displaystyle\frac{m_2}{m_1+m_2}u\,\vec{e}_x \)

La velocidad relativa de la masa \( m_2 \) respecto del SR-CM

\( \vec{v}'_{2i}=-\vec{v}_{cm}=-\displaystyle\frac{m_1}{m_1+m_2}u\,\vec{e}_x \)

Pero el momento Angular respecto al centro de masas no vale cero, sino: (supongamos las esferas con igual radio R)
Antes del choque:

\( \vec{L}'_{i}=\vec{r}_{1i}'\wedge m_1\vec{u}'+\vec{r}_{2i}'\wedge m_2\vec{v}_{2i}'=-(m_1 u'd_1 +m_2v'_{2i}d_2 )\vec{e}_z \) 

Con   \( d_1+d_2=2R\sen \theta \) , que son las distancias respectivas de las trayectorias de las  masas 1 y 2 al centro de masas que son fijas y su suma es igual a la proyección sobre el eje Y del vector que une los centros de las esferas


\( \vec{L}'_{i}=-2\mu R \sen \theta \color{blue}u\color{black}\vec{e}_z  \)  ,  con  \( \mu \)  la masa reducida del sistema.

Pero después del choque que se comporta como un único sólido rígido \( \vec{L}'_f=-I\omega\vec{e}_z  \)

Con \( I \) el  momento de inercia del solido respecto al eje z que pasa por el centro de masas y \( \omega \) la velocidad angular respecto al CM.

Igualando ambas expresiones del momento angular.

\( \boxed{\omega=\displaystyle\frac{2\mu R \sen \theta}{I}\color{blue}u} \)

Más general aun, si se trata de dos sólidos rígidos cualesquiera en los que la distancia  del centro de masa de \( m_2 \) a la recta que de la trayectoria de la masa \( m_1 \) descrita por su centro de masas es "D", entonces:

\( \boxed{\omega=\displaystyle\frac{\mu D}{I} \color{blue}u} \)

\( \boxed{\vec{V}_{cm}=\displaystyle\frac{m_1}{m_1+m_2}u\,\vec{e}_x} \)

Saludos.
P.D.:  Añadido en azul (Gracias Richard)

[franma]

Buenas robinlambada,

   Una explicación muy buena, respecto a la utilización de la conservación del momento angular, me queda como tarea investigarlo ya que todavía no lo vimos en clase.

Saludos,
Franco.

[Richard R Richard]

Para la opción de choque totalmente inelástico la diferencia es que hay una pérdida de energía cinética del sistema después del choque.

Ahora es interesante ver que le pasa al centro de masas del sistema.

Como la cantidad de movimiento se conserva, tanto en el choque elástico como en el inelástico el centro de masas sigue siempre la misma trayectoria rectilínea por la ausencia de fuerzas externas. Por ello en el choque totalmente inelástico tras el impacto, que permanecen los cuerpos como uno solo, el nuevo cuerpo sigue con la misma trayectoria que traía la masa \( m_1 \) lo que ocurre es que si el choque no es frontal el sistema empieza a rotar entorno al centro de masas, esto es debido a que el momento angular se conserva pero respecto al centro de masas no vale cero.

Por conservación del momento lineal.

\( m_1\vec{u}=m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2=\vec{k}=Cte \)

Por definición \( \vec{v}_{cm}=\displaystyle\frac{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}{m_1+m_2}=\displaystyle\frac{m_1}{m_1+m_2}\vec{u}=Cte \)

 Sean las variables primadas referidas al sistema de referencia  solidario al centro de masas.

La velocidad relativa de la masa \( m_1 \) respecto del SR-CM

\( \vec{u}'=\vec{u}-\vec{v}_{cm}=\displaystyle\frac{m_2}{m_1+m_2}u\,\vec{e}_x \)

La velocidad relativa de la masa \( m_2 \) respecto del SR-CM

\( \vec{v}'_{2i}=-\vec{v}_{cm}=-\displaystyle\frac{m_1}{m_1+m_2}u\,\vec{e}_x \)

Pero el momento Angular respecto al centro de masas no vale cero, sino: (supongamos las esferas con igual radio R)
Antes del choque:

\( \vec{L}'_{i}=\vec{r}_{1i}'\wedge m_1\vec{u}'+\vec{r}_{2i}'\wedge m_2\vec{v}_{2i}'=-(m_1 u'd_1 +m_2v'_{2i}d_2 )\vec{e}_z \) 

Con   \( d_1+d_2=2R\sen \theta \) , que son las distancias respectivas de las trayectorias de las  masas 1 y 2 al centro de masas que son fijas y su suma es igual a la proyección sobre el eje Y del vector que une los centros de las esferas

Hasta allí todo bien , pero luego te has dejado a \( u \) por el camino

\( \vec{L}'_{i}=-2\mu R \sen \theta \vec{e}_z  \)  ,  con  \( \mu \)  la masa reducida del sistema.


Pero después del choque que se comporta como un único sólido rígido \( \vec{L}'_f=-I\omega\vec{e}_z  \)


Con \( I \) el  momento de inercia del solido respecto al eje z que pasa por el centro de masas y \( \omega \) la velocidad angular respecto al CM.


Igualando ambas expresiones del momento angular.


\( \boxed{\omega=\displaystyle\frac{2\mu R \sen \theta}{I}} \)


Más general aun, si se trata de dos sólidos rígidos cualesquiera en los que la distancia  del centro de masa de \( m_2 \) a la recta que de la trayectoria de la masa \( m_1 \) descrita por su centro de masas es "D", entonces:


\( \boxed{\omega=\displaystyle\frac{\mu D}{I}} \)


\( \boxed{\vec{V}_{cm}=\displaystyle\frac{m_1}{m_1+m_2}u\,\vec{e}_x} \)


Saludos.

deberia ser

\( \vec{L}'_{i}=-2\mu  \color{blue}u\color{black} R \sen \theta \vec{e}_z  \)  ,  con  \( \mu \)  la masa reducida del sistema.


Pero después del choque que se comporta como un único sólido rígido \( \vec{L}'_f=-I\omega\vec{e}_z  \)


Con \( I \) el  momento de inercia del solido respecto al eje z que pasa por el centro de masas y \( \omega \) la velocidad angular respecto al CM.


Igualando ambas expresiones del momento angular.


\( \boxed{\omega=\displaystyle\frac{2\mu R \color{blue}u\color{black} \sen \theta}{I}} \)


Más general aun, si se trata de dos sólidos rígidos cualesquiera en los que la distancia  del centro de masa de \( m_2 \) a la recta que de la trayectoria de la masa \( m_1 \) descrita por su centro de masas es "D", entonces:


\( \boxed{\omega=\displaystyle\frac{\mu \color{blue}u\color{black} D}{I}} \)


\( \boxed{\vec{V}_{cm}=\displaystyle\frac{m_1}{m_1+m_2}u\,\vec{e}_x} \)


Saludos.

la energía cinetica inicial


\( E_{ci}=\dfrac{1}{2}m_1u^2 \)


\( E_{cf}=E_{traslacion}+E_{rotacion}=\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)V_{cm}^2+\dfrac{1}{2}I\omega^2 \)


veamoslo si podemos llevarlo todo en funcion de \( u \)


\( I=m_1r_{1cm}^2+m_2r_{2cm}^2 \)


\( r_{1cm}=\dfrac{-m_2}{m_1+m_2}\color {blue}d\color{black} \)


\( r_{2cm}=\dfrac{m_1}{m_1+m_2}\color {blue}d\color{black} \)


de aqui \( I=\mu \color {blue}d\color{black}^2 \)




\( E_{cf}=E_{traslacion}+E_{rotacion}=\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)\left(\dfrac{m_1}{m_1+m_2}u\right)^2+\dfrac{1}{2}I\left(\dfrac{\mu u D}{I}\right)^2 \)



\( E_{cf}=\dfrac{1}{2}\dfrac{m_1^2}{m_1+m_2}u^2+\dfrac{1}{2}\dfrac{\mu^2 u^2 D^2}{\mu \color {blue}d\color{black}^2} \)



\( \cancel{E_{cf}=\dfrac{1}{2}\dfrac{m_1^2}{m_1+m_2}u^2+\dfrac{1}{2}\mu u^2 } \)

\( \cancel{\Delta E=E_{ci}-E_{cf}=\dfrac{1}{2}m_1u^2-\dfrac{1}{2}\dfrac{m_1^2}{m_1+m_2}u^2-\dfrac{1}{2}\mu u^2} \)

\( \cancel{\Delta E=\dfrac{1}{2}u^2\left(m_1- \dfrac{m_1^2}{m_1+m_2}-\mu\right)} \)


Epa!!! si sigo me da 0 en algo le erre, o previamente había algo mal, o no ? ----  la energía del impacto se convierte en energía rotacional?

lo dejo allí hasta que analice el resultado

[robinlambada]

hasta allí todo bien , pero luego te has dejado a \( u \) por el camino

Gracias por la revisión, ya lo he rectificado.

[robinlambada]

Hola.

la energía cinetica inicial


\( E_{ci}=\dfrac{1}{2}m_1u^2 \)


\( E_{cf}=E_{traslacion}+E_{rotacion}=\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)V_{cm}^2+\dfrac{1}{2}I\omega^2 \)


veamoslo si podemos llevarlo todo en funcion de \( u \)


\( I=m_1r_{1cm}^2+m_2r_{2cm}^2 \)


\( r_{1cm}=\dfrac{-m_2}{m_1+m_2}D \)


\( r_{2cm}=\dfrac{m_1}{m_1+m_2}D \)


de aqui \( I=\mu D^2 \)




\( E_{cf}=E_{traslacion}+E_{rotacion}=\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)\left(\dfrac{m_1}{m_1+m_2}u\right)^2+\dfrac{1}{2}I\left(\dfrac{\mu u D}{I}\right)^2 \)



\( E_{cf}=\dfrac{1}{2}\dfrac{m_1^2}{m_1+m_2}u^2+\dfrac{1}{2}\dfrac{\mu^2 u^2 D^2}{\mu D^2} \)



\( E_{cf}=\dfrac{1}{2}\dfrac{m_1^2}{m_1+m_2}u^2+\dfrac{1}{2}\mu u^2  \)

\( \Delta E=E_{ci}-E_{cf}=\dfrac{1}{2}m_1u^2-\dfrac{1}{2}\dfrac{m_1^2}{m_1+m_2}u^2-\dfrac{1}{2}\mu u^2 \)

\( \Delta E=\dfrac{1}{2}u^2\left(m_1- \dfrac{m_1^2}{m_1+m_2}-\mu\right) \)


Epa!!! si sigo me da 0 en algo le erre, o previamente había algo mal, o no ? ----  la energía del impacto se convierte en energía rotacional?

lo dejo allí hasta que analice el resultado

Creo que te has equivocado al calcular los radio-vectores de posición de las masas respecto al centro de masa ( \( r_{1cm} \)  y  \( r_{2cm} \) ).

Entonces a partir de esto, el resto esta mal.

En particular a mi me da que \( I=4\mu R^2 \), creo que tu error puede venir de que has confundido D con el diámetro de la esfera ,  \( D\neq2R \) ,es la proyección sobre el eje  Y , \( D=2R \sen \theta \)

Si no me he equivocado yo ( que es muy probable ) La perdida de energía me da:

\( \boxed{E_i-E_f=\displaystyle\frac{\mu}{2}u^2\cos^2 \theta} \)

Saludos.

P.D.: Mañana si es necesario lo vemos ahora es tarde

[Richard R Richard]

Creo que te has equivocado al calcular los radio-vectores de posición de las masas respecto al centro de masa ( \( r_{1cm} \)  y  \( r_{2cm} \) ).

Entonces a partir de esto, el resto esta mal.

En particular a mi me da que \( I=4\mu R^2 \), creo que tu error puede venir de que has confundido D con el diámetro de la esfera ,  \( D\neq2R \) ,es la proyección sobre el eje  Y , \( D=2R \sen \theta \)

Si no me he equivocado yo ( que es muy probable ) La perdida de energía me da:
\( \boxed{E_i-E_f=\displaystyle\frac{\mu}{2}u^2\cos^2 \theta} \)

Saludos.

P.D.: Mañana si es necesario lo vemos ahora es tarde

Hola buenas noches, si  efectivamente  \( D \) no es el diámetro ya he corregido lo que se podía , renombre el diámetro de la esfera con la letra \( d \).

\( D=d\sin\theta \) y el momento de inercia entonces es  \( I=4\mu R^2=\mu d^2 \)

Y si, calcule la diferencia de energías entre la inicial y la final, que como presuponía no podía ser nula, y coincido con tu resultado

\( \Delta E=\dfrac12 \mu u^2\cos^2\theta \)



Pd para franma :


el uso de la masa reducida facilita el calculo las energías que de otro modo  se escribiría



\( \Delta E=\dfrac12 \dfrac{m_1m_2}{(m_1+m_2)} u^2\cos^2\theta \)

o

\( \Delta E=\dfrac12 \dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{m_1}+\dfrac{1}{m_2}\right)} u^2\cos^2\theta \)


Vuelto a corregir , Gracias robinlambada


con la dificultad algebraica que conlleva trabajar  de ese modo.

[franma]

Buenas,

Gracias por el ejemplo Richard, con lo otro ando medio perdido pero no me estreso.
De a poco iré releyendo el hilo cuantas veces sea necesario para aprovechar todo el contenido que se expuso.

Saludos y muchas gracias,
Franco.