[Richard R Richard]

Buenas robinlambada ,

Si, la clave es que la dirección de movimiento de la bola que estaba inicialmente en reposo , la dirección de \( \vec{v_2} \), es la dirección que une los centros  de ambas esferas en el momento del impacto.

Saludos.

¿Entonces \( \theta_2 \) pasaría a ser dato y quedarían 3 ecuaciones para 3 incógnitas?
Lamentablemente no me termino de dar cuenta como se deduce eso... 

Saludos,
Franco.

Si, exacto. Entiendo que se podría deducir de la conservación del momento angular del sistema. Intuitivamente la dirección que toma la bola en reposo es como si las esferas "chocaran de lleno"  , la velocidad de la esfera inicialmente en reposo si depende del ángulo de incidencia.

Saludos.
P.D.: Mañana lo compruebo, ahora me voy a dormir que mañana madrugo.

Comparto,


 me quedaba la duda si la relación de masas diferente a la unidad afectaba o no al ángulo de salida de \( m_2 \),  pero es correcto, \( \theta_2 \) es dato, por lo que me corrijo  \( \theta_2 \) es el angulo entre la direccion de la velocidad relativa y la recta que une los CM de las masas al momento del impacto, entonces son tres ecuaciones con tres incógnitas lo que queda.


Si quieres llegar a obtener algún dato numérico, pues asigna un valor numérico a  \( v_1 \) ,... \( m \) debería irse sola por simple despeje, luego conviene tratar de despejar de ser posible. una incógnita en función de las otras, y reemplazando en la tercera, que aunque siendo compleja, pueden resolverse por medio de una ecuación cuadrática.


 

[franma]

Buenas Richard,

Comparto,

 me quedaba la duda si la relación de masas diferente a la unidad afectaba o no al ángulo de salida de \( m_2 \),  pero es correcto, \( \theta_2 \) es dato, por lo que me corrijo  \( \theta_2 \) es el ángulo entre la direccion de la velocidad relativa y la recta que une los CM de las masas al momento del impacto, entonces son tres ecuaciones con tres incógnitas lo que queda.

Si quieres llegar a obtener algún dato numérico, pues asigna un valor numérico a  \( v_1 \) ,... \( m \) debería irse sola por simple despeje, luego conviene tratar de despejar de ser posible. una incógnita en función de las otras, y reemplazando en la tercera, que aunque siendo compleja, pueden resolverse por medio de una ecuación cuadrática.

¿Entonces si queda finalmente \( \theta_2=45º \)? Algo característico de los problemas de física (creo yo  ) es intentar resolverlos con parámetros siempre antes que con números.

Intentare hacerlo con parámetros si es posible, cuando tenga un poco de tiempo libre lo intento, si no logro despejar volveré con lo que hice y podemos entre todos encontrar los errores.

Saludos,
Franco.

PD: Las masas si se van al simplificar un poco el sistema, hasta ahora tengo algo así (casi idéntico al que puse hoy):

(1):  \( 3v_1 \hat{i} = 3v_{f1} \cdot cos(\theta_1)\hat{i} + v_{f2} \cdot cos(\theta_2)\hat{i} \)

(2):  \( 0 = 3v_{f1} \cdot sin(\theta_1)\hat{j} + v_{f2} \cdot sin(\theta_2)\hat{j} \)
 
(3):  \( 3v_1^2 = 3v_{f1}^2 +mv_{f2}^2 \)

(4?): \( \theta_2=45º \)

Agrego: Termino por aqui hoy, no logro hallar despeje todavia... se me hacen molestos los cosenos y senos en todo el asunto.

Para alguien mas ágil que yo en las matemáticas, tal vez pueda seguir este camino:

\( 3v_1^2 = 3v_{f1}^2 +mv_{f2}^2 \)
\( 3v_1^2  - 3v_{f1}^2=  mv_{f2}^2 \)
\( (3v_1 - 3v_{f1})(3v_1 + 3v_{f1})=  mv_{f2}^2 \)

Pero al tener los cosenos y senos en medio no logro nada  .

[Richard R Richard]

Hola, vas bien, te marco algunos gazapos, para que sigas luego correctamente ,si ya sabes que trabajas en las x no hace falta poner la indicción d la direccion del vector \( \hat{i} \)

(1):  \( 3v_1  = 3v_{f1}\cos(\theta_1) + v_{f2} \cos(\theta_2) \)

(2):  \( 0 = 3v_{f1} \sin\theta_1- v_{f2} \sin\theta_2 \)

entonces \( v_{f_2}=\dfrac{3v_{f1}\sin\theta_1}{\color {blue}\sin 45\color{black}} \)

corregido

corrige 3

(3):  \( 3v_1^2 = 3v_{f1}^2 +v_{f2}^2 \)

reemplaza lo de 2 en 3 y eso luego en 1

recuerda que en general puedes valerte de \( \cos\theta =\sqrt{1-\sin^2\theta} \)



(4?): \( \theta_2=45º \) claro

[franma]

Buenas Richard,

Gracias por las correcciones, ¿La resta de las cantidades de movimiento es porque quedarían en sentido contrario?.

entonces \( v_{f_2}=\dfrac{3v_{f1}\sin\theta_1}{\cos 45} \)

¿No quedaría \( v_{f_2}=\dfrac{3v_{f1}\sin\theta_1}{\color{red}{\sin} 45} \)? , si no, no logro ver de donde sale ese coseno.

Intente despejar así pero me tranco:
Con el \( v_{f_2} \) lo sustituyo en (3):

\( 3v_1^2 = 3v_{f1}^2 +(\dfrac{3v_{f1}\sin\theta_1}{\sin 45})^2 \)

\( \cancel{3}v_1^2 = \cancel{3}v_{f1}^2 +\dfrac{\cancel{3}v_{f1}^2\sin^2\theta_1}{\sin^2 45} \)

\( v_1^2 = v_{f1}^2(1 + \dfrac{\sin^2\theta_1}{\sin^2 45})  \)

\(  v_{f1}^2  = \dfrac{v_1^2}{ (1 + \dfrac{\sin^2\theta_1}{\sin^2 45}) } = \dfrac{v_1^2}{\dfrac{\sin^2 45 +\sin^2\theta_1}{\sin^2 45}} = \dfrac{v_1^2 \sin^2 45}{\sin^2 45 +\sin^2\theta_1} \)

\( v_{f1}= \dfrac{v_1 \sin 45}{\sqrt{\sin^2 45 +\sin^2\theta_1}} \)

Ya se que las expresiones fraccionarias fueron feas, pero pongo el procedimiento completo para que sea mas claro si cometo errores.

Ahora sustituyo en 1:

\( 3v_1  = 3\dfrac{v_1 \sin 45}{\sqrt{\sin^2 45 +\sin^2\theta_1}}\cos(\theta_1) + v_{f2} \cos(\theta_2) \)

Aquí ya no se como reducir mas...  ¿Tal vez tuve algún error en los despejes anteriores?

Saludos,
Franco.

[Richard R Richard]

Ya corregí el coseno por el seno... el tic de gagá me viene cada vez mas seguido.

Buenas Richard,

Gracias por las correcciones, ¿La resta de las cantidades de movimiento es porque quedarían en sentido contrario?.


\( 3v_1  = 3\dfrac{v_1 \sin 45}{\sqrt{\sin^2 45 +\sin^2\theta_1}}\cos(\theta_1) + v_{f2} \cos(\theta_2) \)

reemplazando datos


\( 3v_1  = 3\dfrac{v_1 \dfrac{\sqrt2}{2}}{\sqrt{\dfrac 12 +\sin^2\theta_1}}\sqrt{1-sin^2\theta_1} + \dfrac{3\left(\dfrac{v_1 \dfrac{\sqrt2}{2}}{\sqrt{\dfrac 12 +\sin^2\theta_1}}\right)\sin\theta_1}{\dfrac{\sqrt2}{2}}\dfrac{\sqrt2}{2} \)

ya tienes todo con una sola incógnita , ahora hay que rebuscársela para despejarla...

la sumatoria de la cantidades de movimiento es lo que se iguala a 0, si \( \theta _2 \) es positivo y \( \theta_1 \) también , la suma de las cantidades de movimiento es nula, pero ya puedes pensar que las masas se alejan y las velocidades llevan signos contrarios, ángulos positivos, y las componentes en el SR tienen signos opuestos.

no revise si lo has despejado bien solo reemplace valores en la ultima ecuación que presentaste

[franma]

Buenas Richard,

Ya corregí el coseno por el seno... el tic de gagá me viene cada vez mas seguido.

Buenas Richard,

Gracias por las correcciones, ¿La resta de las cantidades de movimiento es porque quedarían en sentido contrario?.

\( 3v_1  = 3\dfrac{v_1 \sin 45}{\sqrt{\sin^2 45 +\sin^2\theta_1}}\cos(\theta_1) + v_{f2} \cos(\theta_2) \)

reemplazando datos

\( 3v_1  = 3\dfrac{v_1 \dfrac{\sqrt2}{2}}{\sqrt{\dfrac 12 +\sin^2\theta_1}}\sqrt{1-sin^2\theta_1} + \dfrac{3\left(\dfrac{v_1 \dfrac{\sqrt2}{2}}{\sqrt{\dfrac 12 +\sin^2\theta_1}}\right)\sin\theta_1}{\dfrac{\sqrt2}{2}}\dfrac{\sqrt2}{2} \)

ya tienes todo con una sola incógnita , ahora hay que rebuscársela para despejarla...

la sumatoria de la cantidades de movimiento es lo que se iguala a 0, si \( \theta _2 \) es positivo y \( \theta_1 \) también , la suma de las cantidades de movimiento es nula, pero ya puedes pensar que las masas se alejan y las velocidades llevan signos contrarios, ángulos positivos, y las componentes en el SR tienen signos opuestos.

no revise si lo has despejado bien solo reemplace valores en la ultima ecuación que presentaste

Supongamos que lo que despeje esta bien, lo revise y así parece ser  (por favor corregidme si me equivoque):
Casi estamos ahí, falta un poco mas de despeje:

Corregido

\( 3v_1  = 3\dfrac{v_1 \dfrac{\sqrt2}{2}}{\sqrt{\dfrac 12 +\sin^2\theta_1}}\sqrt{1-sin^2\theta_1} + \dfrac{3\left(\dfrac{v_1 \dfrac{\sqrt2}{2}}{\sqrt{\dfrac 12 +\sin^2\theta_1}}\right)\sin\theta_1}{\dfrac{\sqrt2}{2}}\dfrac{\sqrt2}{2} \)

\( 3v_1  = 3\dfrac{v_1 \dfrac{\sqrt2}{2}}{\sqrt{\dfrac 12 +\sin^2\theta_1}}\sqrt{1-sin^2\theta_1} + \dfrac{3\left(\dfrac{v_1 \dfrac{\sqrt2}{2}}{\sqrt{\dfrac 12 +\sin^2\theta_1}}\right)\sin\theta_1}{\cancel{\dfrac{\sqrt2}{2}}}\cancel{\dfrac{\sqrt2}{2}} \)

\( 3v_1  = 3\dfrac{v_1 \dfrac{\sqrt2}{2}}{\sqrt{\dfrac 12 +\sin^2\theta_1}}\sqrt{1-sin^2\theta_1} + 3\left(\dfrac{v_1 \dfrac{\sqrt2}{2}}{\sqrt{\dfrac 12 +\sin^2\theta_1}}\right)\sin\theta_1 \)

\( 3v_1  = 3v_1 \left (\dfrac{\dfrac{\sqrt2}{2}(\sqrt{1-sin^2\theta_1} + \textcolor{blue}{\sin}\theta_1)}{\sqrt{\dfrac{1}{2} +\sin^2\theta_1}} \right)  \)

\( \cancel{3v_1}  = \cancel{3v_1} \left (\dfrac{\dfrac{\sqrt2}{2}(\sqrt{1-sin^2\theta_1} + \textcolor{blue}{\sin}\theta_1)}{\sqrt{\dfrac{1}{2} +\sin^2\theta_1}} \right)  \)

\( 1  = \left (\dfrac{\dfrac{\sqrt2}{2}(\sqrt{1-sin^2\theta_1} + \textcolor{blue}{\sin}\theta_1)}{\sqrt{\dfrac{1}{2} +\sin^2\theta_1}} \right)  \)

\( \sqrt{\dfrac{1}{2} +\sin^2\theta_1}   = \dfrac{\sqrt2}{2}(\sqrt{1-sin^2\theta_1} + \textcolor{blue}{\sin}\theta_1)  \)

\( \sqrt{\dfrac{1}{2} +\sin^2\theta_1}   = \dfrac{\sqrt2}{2}(\cos \theta_1 + \textcolor{blue}{\sin}\theta_1)  \)

Pero aquí ya quedo estancado nuevamente... investigare algunas identidades trigonométricas que seguramente es lo que esta faltando aquí (o también puede haber alguna errata  )

Saludos,
Franco.

Agrego: Probé con Wolfram (me he rendido  ) https://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%281%2F2%2Bsin%5E2+x%29%3D%28sqrt%282%29%2F2%29%28cosx%2Bsin%5E2+x%29

Da como solución \( \theta_1 = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \) me huele a que he cometido alguna errata... sobre todo porque tenga infinitas soluciones (aunque supongo bastante común en ecuaciones trigonométricas por ser periódicas).

A no ser que al ser las relaciones de masa 3m vs m la esfera 1 sea tan masiva que ni siquiera se mueve 1º de su trayectoria al impactar.

Que la solución sea un múltiplo de dos pi también implica que la velocidad de salida de la 2da esfera es nula. 

[JCB]

Hola a tod@s.

A continuación expongo el método que se aplica en el libro Dinámica de Hibbeler, para el caso de un impacto oblicuo, como el que nos ocupa. Mi intención no es añadir confusión al tema, sino mostrar un método alternativo.

a) Conservación de la cantidad de movimiento del sistema en el eje \( X \) (línea de impacto).

\( 3m(v_{Ax})_1+m\cancelto{0}{(v_{Bx})_1}=3m(v_{Ax})_2+m(v_{Bx})_2 \),

\( \dfrac{3\sqrt{2}}{2}v_1=3(v_{Ax})_2+(v_{Bx})_2 \) (1).

b) Coeficiente de restitución en el eje \( X \). Suponiendo el choque elástico,

\( e=1=\dfrac{(v_{Bx})_2-(v_{Ax})_2}{(v_{Ax})_1-\cancelto{0}{(v_{Bx})_1}} \),

\( (v_{Bx})_2-(v_{Ax})_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}v_1 \),

\( (v_{Bx})_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}v_1+(v_{Ax})_2 \) (2). Sustituyendo (2) en (1), se obtiene

\( (v_{Ax})_2=\dfrac{\sqrt{2}}{4}v_1 \), y

\( (v_{Bx})_2=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}v_1 \).

c) Conservación de la cantidad de movimiento de la masa \( A \) en el eje \( Y \).

\( 3m(v_{Ay})_1=3m(v_{Ay})_2 \),

\( (v_{Ay})_2=(v_{Ay})_1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}v_1 \).

d) Conservación de la cantidad de movimiento de la masa \( B \) en el eje \( Y \).

\( m\cancelto{0}{(v_{By})_1}=m(v_{By})_2 \),

\( (v_{By})_2=0 \).

Finalmente,

\( (v_A)_2=\sqrt{(v_{Ax})_2^2+(v_{Ay})_2^2}=\dfrac{\sqrt{10}}{4}v_1 \),

\( (\theta_A)_2=\arctan\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}v_1}{\dfrac{\sqrt{2}}{4}v_1}=63,43^{\circ} \),

\( (v_B)_2=(v_{Bx})_2=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}v_1 \),

\( (\theta_B)_2=0^{\circ} \).

He comprobado que la energía cinética final es igual a la energía cinética inicial.

Saludos cordiales,
JCB.

[robinlambada]

Hola:

\( \sqrt{\dfrac{1}{2} +\sin^2\theta_1}   = \dfrac{\sqrt2}{2}(\cos \theta_1 + \textcolor{blue}{\sin}\theta_1)  \)

Hola, me he permitido poner otras condiciones iniciales que simplifican un poco el problema:

\( \vec{u}= \) velocidad inicial de \( m_1 \)

\( \overrightarrow{v_1}= \) velocidad final de \( m_1 \)

\( \overrightarrow{v_2}= \) velocidad final de \( m_2 \)

El ángulo de impacto ( entre dirección inicial de \( m_1 \) y dirección de los centros de las esferas en el impacto) es 30º
\(
m_1=\displaystyle\frac{1}{2}m_2 \)

Eje x  dirección de la masa 1 antes del impacto.

Conservación del momento:

En eje x:
\( \displaystyle\frac{1}{2}u=\displaystyle\frac{1}{2}v_1\cos \theta+\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}v_2 \)  , \( u=v_1\cos \theta+\sqrt[ ]{3}v_2 \) (1)

En eje y:

\( \displaystyle\frac 12 v_1\sen \theta=\dfrac 12 v_2\rightarrow{}\sen \theta=\displaystyle\frac{v_2}{v_1} \) (2)

De (1) y (2) se llega a: \( u-\sqrt[ ]{3}v_2=\sqrt[ ]{v_1^2-v_2^2} \) (3)

De la conservación de la energía cinética:

\( u^2= v_1^2+2v_2^2\rightarrow{} v_1^2=u^2-2v_2^2 \) sustituyendo en (3) queda:

 \( u-\sqrt[ ]{3}v_2=\sqrt[ ]{v_1^2-3v_2^2} \) elevando al cuadrado y simplificando llegamos a:

\( 6v_2^2-2\sqrt[ ]{3}uv_2=0\rightarrow{}2v_2(3v_2-\sqrt[ ]{3}u)=0 \)

\( v_2=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{3}u \)

Sustituyendo en la expresión de la energía:

\( v_1=v_2=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{3}u \)

y sustituyendo en (2)

\( \sen \theta =1\rightarrow{}\theta=90º \)

P.D.: no he visto el mensaje de JCB, espero que mi mensaje no confunda y sirva para analizar mejor el choque

[robinlambada]

Sin analizar el desarrollo de JCB, a primera vista no me cuadra del todo con mi intuición.

Se demuestra fácilmente que si las masas son iguales la suma de los ángulos de salida suman 90ª

Mi intuición ( que me suele fallar) me  indica que si la masa de la esfera que impacta es mayor la suma de los ángulos de salida es menor de 90º y si la masa  que impacta es menor la suma de los ángulos de salida es mayor de 90º .

Soló habría que analizar el caso en que una de las masas tienda a infinito respecto de la otra.

Si la masa en reposo es despreciable frente a la que impacta esta primera masa no se ve afectada en su movimiento y el ángulo entre ambas masas después del choque sera la que formarían los centros de las bolas en el choque.

Si ahora la masa que está que impacta es despreciable frente a la de reposo, esta masa seguiría en reposo y el choque seria como si impactara la masa \( m_1 \) contra un muro, siendo el ángulo de impacto el mismo que el de salida ( respecto a la recta que une los centro) y la suma de los ángulos de salida es mayor de 90º

Aunque esto es solo una intuición, creo que se puede comprobar, también intuyo que que el limite inferior en la suma de ángulos de salida  es el ángulo de \( \vec{v_1} \) respecto a la recta que une los centros ( en mi caso 30º y en el vuestro 45º)  y el límite superior sería 180º menos el ángulo de impacto (el ángulo de \( \vec{v_1} \) respecto a la recta que une los centros ).

Lo que concuerda con el choque frontal.

Podría verlo mañana más tranquilamente (ya es muy tarde).

Saludos.

[franma]

Buenas,

Gracias robinlambada y JCB como siempre por sus aportes.

Aquí es donde llega mi limite de conocimiento físico... en particular colisiones oblicuas en clase nunca vimos, solamente en "1D" donde siempre los cuerpos (de hecho ni siquiera rígidos) chocaban en línea recta y se iban en línea recta.

Lamento Richard haberte pedido un ejercicio que en principio no logre terminar, pero he sacado bastante conocimiento de este hilo (y lo seguiré haciendo mientras mas estudio sobre el tema).

De momento con la universidad me cuesta dedicarle toda la cantidad de tiempo que quisiese a los temas, para verlos en profundidad y con varios casos posibles (no solo en física), pero los cursos van tan rápido que simplemente tengo que dar cosas por hecho y seguir con los siguientes temas. 

Espero cuando termine la carrera (dentro de MUCHO tiempo) poder volver a estudiar todo a fondo como quiero hoy en día y a mi propio ritmo.

Saludos,
Franco.

PD: Seguiré atento al hilo para ver el desenlace, pero no creo que logre aportar nada mas de utilidad de momento me limito a estudiar las posibles soluciones y felicitarlos por su dedicación al problema.