[Slayer Tony]

¿Es posible que haya algún polinomio \( f(x) ∈ R[x] \) que sea divisible entre cualquier polinomio \( b(x) ∈ R[x] \)?
La intuición me dice que no, ya que tendría que ser por definición:  f(x)=b(x)q(x), donde b(x) es un factor que varía ¿Cómo justificarlo?

[manooooh]

Hola

No es por eso, al menos no por la definición de divisibilidad clásica que conozco. Porque sino, con tu planteamiento podríamos decir que \( 6 \) no es divisible por \( 2 \) porque el \( k \) en \( 6=2k \) varía. Justamente la \( k \) se elige a conveniencia. (Ya que \( a\mid b\iff\exists k(b=ka) \).)

Entonces la respuesta es sí: el polinomio \( f(x)=0 \) (constante) es divisible por cualquier \( b(x)\in\Bbb R[x] \) ya que existe un \( k(x)\in\Bbb R[x] \) tal que \( 0=k(x)b(x) \) (toma \( k(x)=0 \)).

Saludos

[Slayer Tony]

cierto, tienes toda la razón. gracias

[geómetracat]

Para completar la respuesta de manooooh, el polinomio nulo es el único que es divisible por todos los polinomios. Para verlo, observa que cualquier múltiplo no nulo de un polinomio mónico de grado \[ n \] debe tener grado mayor o igual a \[ n \].

[Luis Fuentes]

Hola

Para completar la respuesta de manooooh, el polinomio nulo es el único que es divisible por todos los polinomios. Para verlo, observa que cualquier múltiplo no nulo de un polinomio mónico de grado \[ n \] debe tener grado mayor o igual a \[ n \].

Por estirar un poco el asunto tres variantes. Para algún anillo \( R \):

1) ¿Existen polinomios divisibles por todo polinomio de grado menor o igual que él?.
2) ¿Existen polinomios divisibles por todo polinomio de grado estrictamente menor que él?.
3) ¿Existe algún polinomio divisible por infinitos polinomios mónicos?.

Saludos.

[sugata]

Hola

Para completar la respuesta de manooooh, el polinomio nulo es el único que es divisible por todos los polinomios. Para verlo, observa que cualquier múltiplo no nulo de un polinomio mónico de grado \[ n \] debe tener grado mayor o igual a \[ n \].

Por estirar un poco el asunto tres variantes. Para algún anillo \( R \):

1) ¿Existen polinomios divisibles por todo polinomio de grado menor o igual que él?.
2) ¿Existen polinomios divisibles por todo polinomio de grado estrictamente menor que él?.
3) ¿Existe algún polinomio divisible por infinitos polinomios mónicos?.

Saludos.

Eso no es estirar el asunto, es tirar con bala....
Me lo pienso...

[Carlos Ivorra]

1) ¿Existen polinomios divisibles por todo polinomio de grado menor o igual que él?.
2) ¿Existen polinomios divisibles por todo polinomio de grado estrictamente menor que él?.

Cuando hablas de polinomios de grado menor (o menor o igual), ¿hay que incluir al polinomio nulo o a ése no lo contamos? La respuesta es diferente según sea el caso.

[Luis Fuentes]

Hola

Cuando hablas de polinomios de grado menor (o menor o igual), ¿hay que incluir al polinomio nulo o a ése no lo contamos? La respuesta es diferente según sea el caso.

Sin polinomio nulo.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

¡Ah¡ Olvidé preguntar. ¿Cuál es el anillo adecuado que mencionas?

Si tienes un anillo unitario \( R \), para cualquier elemento \( a \) que verifique \( a^2=1 \) se tiene que \( x^2-1 \) es divisible por \( x-a \).

Ahora sólo tienes que tomar anillos donde existan infinitos elementos verificando  \( a^2=1 \). Por ejemplo toma cualquier conjunto infinito \( A \) (y puedes jugar incluso con la magnitud de infinito) y considera el anillo de funciones de \( A \) en \( \Bbb Z \).

Saludos.

[martiniano]

Hola.

Por estirar un poco el asunto tres variantes. Para algún anillo \( R \):

1) ¿Existen polinomios divisibles por todo polinomio de grado menor o igual que él?.
2) ¿Existen polinomios divisibles por todo polinomio de grado estrictamente menor que él?.
3) ¿Existe algún polinomio divisible por infinitos polinomios mónicos?

Si no me equivoco, para el 2) sirve \[ x^2+x \] en \[ \mathbb{Z_2}[x] \].

Un saludo.