[Luis Fuentes]

Hola

No he conseguido resolver el problema, pero pongo a lo que he llegado por si a alguien le interesa:

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Sea \[ p(x) \] un polinomio de grado \[ n>0 \] divisible por todos los polinomios no nulos de grado menor. En particular es divisible por \[ x^{n-1} \], luego \[ p(x)=x^{n-1}(ax+b) \]. Como todos los polinomios de grado \[ 1 \] dividen a \[ p(x) \], el polinomio se anula en todos los elementos de \[ R \]. En particular \[ p(1)=0 \], de donde se deduce \[ p(x)=ax^{n-1}(x-1) \]. Además se puede ver que tiene que ser \[ n=2 \], pues si \[ n=1 \] el cero no es raíz, y para \[ n>2 \] se comprueba que no es divisible por \[ x^2+1 \]. Luego un tal polinomio es de la forma \[ p(x)=ax(x-1) \].

Por otro lado, \[ a \] debe ser divisible por todos los elementos no nulos del anillo (pues el polinomio debe ser divisible por todos los elementos de grado cero), y además \[ 0=p(-1)=-2a \], de donde \[ 2a=0 \].

Ahí me he quedado.

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Otro paso más (para anillos conmutativos unitarios).

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El aniquilador de \( a \), \( I=\{b\in R|ab=0\} \) es un ideal maximal. En caso contrario tendríamos \( I\subsetneq M \) maximal. Pero dado \( b\in M\setminus I \) se tiena \( ab\neq 0 \). Por otra parte \( ab \) tiene que dividir a \( a \), por tanto \( a=abc \) es decir \( a(1-bc)=0. \) Entonces \( 1-bc\in I\subset M \), pero \( bc\in M \) y entonces \( 1\in M \), lo cual contradice que sea un ideal maximal.

Entonces \( R/I \) es un cuerpo y de hecho es \( \Bbb Z_2 \), ya que si \( [b ]\in R/I \), \( b\neq [0] \), entonces \( ab\neq 0 \). Pero tiene que cumplirse:

\( ab(b-1)=0\quad \Rightarrow{}\quad [b][b-1]\in I\quad \Rightarrow{}\quad [b-1]\in I\quad \Rightarrow{}\quad [b]=[1] \)

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Saludos.

[geómetracat]

Al final ayer me piqué con esto y conseguí clarificar la situación para anillos conmutativos unitarios. Después de mis ejemplos y mis ejemplos fallidos tenía la esperanza de que las únicas soluciones fueran con coeficientes \[ \Bbb Z/(2^n) \], pero la situación es más complicada.

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Siguiendo con lo de ayer, teníamos que un ejemplo de grado mayor que uno debe ser de la forma \[ p(x)=ax(x-1) \], con \[ a \in R \] divisible por todos los elementos no nulos del anillo. Esto es equivalente a pedir que la intersección de todos los ideales no nulos sea no nula (de hecho, debe ser exactamente \[ (a) \]). De aquí se pueden sacar algunas conclusiones como que debe ser \[ a^2=0 \] (\[ a \] está en el nilradical, luego \[ a^n=0 \] para algún \[ n \] y por otro lado como \[ p(a)=0  \] tenemos \[ a^3=a^2 \] de donde \[ a^2=a^3=a^4=\dots = a^n=0 \]). También se pueden descartar por ejemplo los anillos producto, como le dije a martiniano. Pero no conseguí avanzar mucho más.

Entonces me puse a investigar por ahí qué se sabía de los anillos en los que la intersección de todos los ideales no nulos es no nula. Resulta que estos anillos se llaman anillos subdirectamente irreducibles. Encontré un paper ("Subdirectly irreducible commutative rings", Neal H. McCoy, Duke Mathematical Journal vol. 12, 1945) donde da una caracterización de estos anillos (en el caso conmutativo).
Un anillo conmutativo unitario es subdirectamente irreducible si y solo si cumple:
1) El conjunto de \[ x\in R \] tales que \[ xD=0 \], donde \[ D \] es el conjunto de divisores de cero, es un ideal principal \[ J=(a) \] (este \[ a \] es nuestro \[ a \], es decir, \[ J \] es la intersección de todos los ideales no nulos).
2) El aniquilador de \[ a \] es \[ D \] (en particular, los divisores de cero forman un ideal).
3) \[ R/D \] es un cuerpo (en particular, \[ D \] es un ideal maximal).
4)Si \[ d_1 \in D \setminus J \], existe \[ d_2 \in D \setminus J \] con \[ a=d_1d_2 \].

En nuestro caso, \[ R/D \] debe ser isomorfo a \[ \Bbb Z/2 \], por el argumento de Luis. Esto implica que \[ R \] es de característica potencia de \[ 2 \] o cero.
Y ya está: \[ p(x)=ax(x-1) \] en \[ R[x] \] es divisible por todos los polinomios de grado estrictamente menor que él si y solo si \[ R \] es subdirectamente irreducible con \[ R/D \cong \Bbb Z/2 \]. Un lado ya lo hemos visto, y para el otro basta observar que si \[ R/D \cong \Bbb Z/(2) \], dado cualquier \[ b \in R \] o bien \[ b \] o bien \[ b-1 \] es divisor de cero, y como \[ a \] aniquila a todos los divisores de cero, \[ p(b)=0 \].

Entonces ahora la cosa se reduce a encontrar ejemplos de anillos subdirectamente irreducibles con \[ R/D \cong \Bbb Z/(2) \]. Los ejemplos obvios son \[ \Bbb Z/(2^n) \], pero hay ejemplos más raros. Hasta donde sé (en lo que busqué ayer) no hay una clasificación (una lista completa) ni nada parecido más allá de la caracterización de McCoy.

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Ahora sí, una familia de ejemplos con anillos de coeficientes infinitos (un tanto raros):

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Este es un ejemplo que da McCoy al final de su paper. Sea \[ R=\Bbb Z/(2^n) \]. Sea \[ M \] el conjunto de elementos de la forma \[ at+b \], donde \[ t \] es una indeterminada y \[ a,b \in \Bbb Z \] con \( a>0, b \) arbitrario o \[ a=0, b\geq 0 \]. Observemos que \[ M \] es cerrado por la suma. Sea \[ S \] el anillo de las sumas finitas de la forma:
\[ \sum_i a_i u^{\alpha_i} \]
con \[ u \] una indeterminada, \[ a_i \in R \] y \[ \alpha_i \in M \].
Entonces el anillo cociente \[ T=S/(u^t) \] es un ejemplo de anillo subdirectamente irreducible con \[ T/D \cong \Bbb Z/(2) \] (con \[ a=u^{t-1}2^{n-1} \]). Se puede comprobar que los únicos elementos que no son divisores de cero son los que tienen un término \[ a_iu^\alpha \] con \[ \alpha = 0 \] y \[ a_i \] no divisor de cero en \[ R \] (es decir, \[ a_i \] impar), y que todos los divisores del cero son aniquilados por \[ u^{t-1}2^{n-1} \].

En particular, el polinomio \[ u^{t-1}2^{n-1}x(x-1) \] con coeficientes en \[ T[x] \] cumple lo pedido.

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