[Luis Fuentes]

Hola

Si no me equivoco, para el 2) sirve \[ x^2+x \] en \[ \mathbb{Z_2}[x] \].

¡Si!.

Saludos.

[Carlos Ivorra]

Si tienes un anillo unitario \( R \), para cualquier elemento \( a \) que verifique \( a^2=1 \) se tiene que \( x^2-1 \) es divisible por \( x-a \).

Ahora sólo tienes que tomar anillos donde existan infinitos elementos verificando  \( a^2=1 \). Por ejemplo toma cualquier conjunto infinito \( A \) (y puedes jugar incluso con la magnitud de infinito) y considera el anillo de funciones de \( A \) en \( \Bbb Z \).

Otro ejemplo:

Spoiler

En el anillo de división de los cuaternios, basta considerar el polinomio \( x^2+1 \). Si \( (u, v) \) son dos números reales tales que \( u^2+v^2=1 \), entonces \( \alpha =u i+vj \) cumple

\( \alpha^2 = u^2i^2+v^2j^2+uvij+uvji = -u^2-v^2=-1 \).

Por lo tanto \( x^2+1 = (x+\alpha)(x-\alpha) \), y tenemos así que \( x^2+1 \) es divisible entre infinitos polinomios mónicos \( x+\alpha \).

Si \( R \) es un cuerpo no hay en \( R[x] \) polinomios divisibles entre infinitos polinomios mónicos, así que, para encontrar un contraejemplo hace falta que falle alguno de los axiomas de cuerpo. En el ejemplo de Luis falla que hay divisores de cero, luego en particular hay muchos elementos sin inverso. En este ejemplo todo elemento tiene inverso, pero falla la conmutatividad.

[cerrar]

[Luis Fuentes]

Hola

Hola

Para completar la respuesta de manooooh, el polinomio nulo es el único que es divisible por todos los polinomios. Para verlo, observa que cualquier múltiplo no nulo de un polinomio mónico de grado \[ n \] debe tener grado mayor o igual a \[ n \].

Por estirar un poco el asunto tres variantes. Para algún anillo \( R \):

1) ¿Existen polinomios divisibles por todo polinomio de grado menor o igual que él?.

Aquí cuando \( R \) es un cuerpo, está el caso trivial de los polinomios de grado cero, que cumplen la condición.

Yo creo que no hay más casos, incluso para anillos raros. ¿Alguna prueba de esto?.

2) ¿Existen polinomios divisibles por todo polinomio de grado estrictamente menor que él?.

¿Algún otro ejemplo además de el de martiniano?.

Saludos.

[Carlos Ivorra]

Yo creo que no hay más casos, incluso para anillos raros. ¿Alguna prueba de esto?.

Yo sé probar que no hay más casos bajo el supuesto de que el anillo sea unitario. La jungla de los anillos no unitarios ya excede mi imaginación.

Spoiler

Sea \( p(x) \) un polinomio de grado \( n\geq 1 \) con coeficientes en un anillo unitario y divisible entre todos los polinomios no nulos de grado menor o igual que el suyo. En particular \( x^n\mid p(x) \), luego \( p(x)=x^nq(x) \), para un cierto polinomio \( q(x) \). Igualando coeficientes es inmediato que \( q(x)=c \) tiene que ser constante, y entonces \( p(x)=cx^n \).

Por otro lado, \( x-1\mid p(x) \), luego \( cx^n = (x-1)q(x) \). Ahora sustituimos \( x=1 \), donde, aunque el anillo no sea conmutativo, es correcto porque \( 1 \) conmuta con todos los elementos del anillo. El resultado es \( c= 0 \), luego \( p(x)=0 \), en contradicción con que tenía grado \( \geq 1 \).

Así pues, \( p(x) \) es constante.

[cerrar]

2) ¿Existen polinomios divisibles por todo polinomio de grado estrictamente menor que él?.

¿Algún otro ejemplo además de el de martiniano?.

Están los de grado 1 cuando el anillo es un cuerpo (o al menos un anillo de división), pero si el anillo es un cuerpo, el único ejemplo de grado mayor que 1 es el de martiniano.

Spoiler

Sea \( p(x) \) un polinomio de grado \( n\geq 2 \) sobre un cuerpo \( k \) divisible entre todos los polinomios no nulos de grado menor que el suyo. Para cada \( a\in k \), se cumple que \( x-a\mid p(x) \), pero \( p(x) \) sólo puede tener un número finito de divisores (el anillo de polinomios tiene factorización única), luego el cuerpo \( k \) tiene que ser finito. Más concretamente, \( |k|\leq n \).

Un cuerpo finito tiene necesariamente \( p^m \) elementos, donde \( p \) es primo, y hay un cuerpo con \( p^m \) elementos para todo \( p \) y \( m\geq 1 \).

Si \( K \) es el cuerpo de \( p^{m(n-1)} \) elementos, se cumple que \( K=k(\alpha) \), donde \( \alpha\in K \) es la raíz de un polinomio irreducible \( f(x) \) de grado \( n-1\geq  \). (Esto usa algo de teoría de cuerpos: toda extensión de cuerpos finitos es separable y toda extensión finita separable tiene un elemento primitivo \( \alpha \), así como que \( |K:k|=n-1 \).)

Por hipótesis \( f(x)\mid p(x) \). Además, si fuera \( n\geq 3 \), entonces \( f(x) \) tendría grado mayor que \( 1 \), luego sería primo con \( x(x-1) \), luego \( x(x-1)f(x)\mid p(x) \), luego el grado de \( p(x) \) sería al menos \( n-1+2=n+1 \), contradicción.

Esto prueba que \( n=2 \), luego el cuerpo tiene que ser \( \mathbb Z_2 \), y esto lleva ya al ejemplo de martiniano.

Un poco más en general, si el anillo es un dominio íntegro, podemos razonar igualmente que tiene que ser finito, y todo dominio íntegro finito es un cuerpo, luego el resultado vale de hecho cuando el anillo es un dominio íntegro. Más en general ya no sé.

[cerrar]

[geómetracat]

¿Algún otro ejemplo además de el de martiniano?.

Así a bote pronto, \[ 2x(x-1) \] con coeficientes en \[ \Bbb Z/(4) \].

Añadido: Más en general, \[ 2^{n-1}x(x-1) \] con coeficientes en \[ \Bbb Z/(2^n) \].

[geómetracat]

Esto no vale (si \[ k>1 \]) porque el polinomio no es divisible por \[ 2^n \].

Está mal

Más en general aún, el polinomio \[ 2^{n-1}kx(x-1) \] con coeficientes en \[ \Bbb Z/(2^nk) \], con \[ n>1, 2\not\mid k \].

[cerrar]

No he conseguido resolver el problema, pero pongo a lo que he llegado por si a alguien le interesa:

Spoiler

Sea \[ p(x) \] un polinomio de grado \[ n>0 \] divisible por todos los polinomios no nulos de grado menor. En particular es divisible por \[ x^{n-1} \], luego \[ p(x)=x^{n-1}(ax+b) \]. Como todos los polinomios de grado \[ 1 \] dividen a \[ p(x) \], el polinomio se anula en todos los elementos de \[ R \]. En particular \[ p(1)=0 \], de donde se deduce \[ p(x)=ax^{n-1}(x-1) \]. Además se puede ver que tiene que ser \[ n=2 \], pues si \[ n=1 \] el cero no es raíz, y para \[ n>2 \] se comprueba que no es divisible por \[ x^2+1 \]. Luego un tal polinomio es de la forma \[ p(x)=ax(x-1) \].

Por otro lado, \[ a \] debe ser divisible por todos los elementos no nulos del anillo (pues el polinomio debe ser divisible por todos los elementos de grado cero), y además \[ 0=p(-1)=-2a \], de donde \[ 2a=0 \].

Ahí me he quedado.

[cerrar]

Corregido.

[martiniano]

Hola.

Yo había entrado para aportar la típica tontería intrascendente, y es que el polinomio que di también cumple la propiedad en anillos de la forma \[ \mathbb{Z_2^n[x]} \].

La intervención de geómetracat descarta muchísimos casos, desde luego, no obstante, creo que sólo funciona para anillos unitarios (insisto en que ya es mucho, ya) ¿no?

Un saludo.

[geómetracat]

Yo había entrado para aportar la típica tontería intrascendente, y es que el polinomio que di también cumple la propiedad en anillos de la forma \[ \mathbb{Z_2^n[x]} \].

No, esos no valen porque (por ejemplo en el caso \[ n=2 \]) no son divisibles por los elementos \[ (0,1) \] o \[ (1,0) \]. De hecho, como el coeficiente \[ a \] debe ser divisible por todos los elementos del anillo, está en la intersección de todos los ideales no nulos del anillo, lo que implica que \[ R \] no puede ser un producto de anillos (porque en estos la intersección de todos los ideales no nulos es el ideal cero).

Lo que sí es cierto es que son polinomios que se anulan en todos los elementos del anillo.

La intervención de geómetracat descarta muchísimos casos, desde luego, no obstante, creo que sólo funciona para anillos unitarios (insisto en que ya es mucho, ya) ¿no?

Para mí todos los anillos son unitarios (y además únicamente estaba pensando en anillos conmutativos). No he pensado qué pasa con los no unitarios, la verdad.

[geómetracat]

Está mal.

Un ejemplo con anillo de coeficientes infinito (si no me he colado):

Spoiler

El polinomio \[ a_1x(x-1) \] con anillo de coeficientes \[ (\Bbb Z/(2))[a_1,a_2,a_3, \dots]/(a_1^2,a_2^2,a_3^2,\dots, a_1-a_2a_3,a_3-a_4a_5,a_5-a_6a_7,\dots) \]
La idea es que los elementos son sumas de productos de \[ a_i \] y (quizás) \[ 1 \]. En cualquier caso alguno de \[ x \] o \[ x-1 \] se compone de sumas de productos de los \[ a_i \] (sin término \[ +1 \]). Por otro lado, como \[ a_1 \] es divisible por todos los demás \[ a_i \] y \[ a_i^2=0 \] para todo \[ i \], \[ a_1a_i=0 \] para todo \[ i \].

[cerrar]

Efectivamente me había colado. Aunque el polinomio se anula en todos los elementos del anillo, no es divisible por elementos de la forma \[ a_i+a_j \].

[martiniano]

Yo había entrado para aportar la típica tontería intrascendente, y es que el polinomio que di también cumple la propiedad en anillos de la forma \[ \mathbb{Z_2^n[x]} \].

No, esos no valen porque (por ejemplo en el caso \[ n=2 \]) no son divisibles por los elementos \[ (0,1) \] o \[ (1,0) \].

Cierto. Me confié por lo de que todos los elementos del anillo son raíces.

Un saludo.