[sedeort]

Un cilindro de vidrio contiene mercurio hasta una altura de 10 cm a 0°C. Calcular el cambio que experimenta la altura de Hg si el cilindro y su contenido elevan su temperatura a 100°C.
Coeficiente de dilatación lineal del vidrio \( \alpha_{l,vid}=1'18•10^{-5} K^{-1} \)   
Coeficiente de dilatación cúbica del mercurio \( \alpha_{v,Hg}=1'82•10^{-4} K^{-1} \)


Os dejo este problema que creo tiene aspectos interesantes para discutir.

[robinlambada]

Hola

Un cilindro de vidrio contiene mercurio hasta una altura de 10 cm a 0°C. Calcular el cambio que experimenta la altura de Hg si el cilindro y su contenido elevan su temperatura a 100°C.
Datos: Coeficiente de dilatación lineal del vidrio 1,18 10-5 K-1 y coeficiente de dilatación cúbica del mercurio 1,82 10-4 K-1

Os dejo este problema que creo tiene aspectos interesantes para discutir.

No me parece demasiado interesante, pero es solo mi opinión.  En todo caso si podríamos considerar despreciable la dilatación del vidreo, pero como nos dan el coeficiente de dilatación lineal se puede hacer exacto, en último término si se debe dar en vez del coeficiente de dilatación lineal el superficial del vidrio, pero solo es un matiz.
Mi solucióm:

Spoiler

\( \displaystyle\frac{h_1}{h_0}\approx{}\displaystyle\frac{1'0183666}{(\color{red}1'0011807\color{black})^2} \)

CORREGIDO

[cerrar]

Saludos.

[sedeort]

Robinlambada, gracias por tu participación pero la solución que se pide es ∆h (en cm).

Por otro lado, por si lo necesitarais, os recuerdo que para estos sólidos isótopos los coeficientes de dilatación superficial y volumétrica (o cúbica) se pueden obtener aproximándolos al doble y al triple del coeficiente lineal, respectivamente.

El meollo está en cómo es la dilatación del cilindro de vidrio. Parece que la solución es independinte de su diámetro y su grosor ya que no los dan como datos.

[Richard R Richard]

Hola como no te dan la sección del tubo, si podés prescindir de la dilatación lineal del vidrio en lo que sería la circunferencia o sección, por lo tanto el tubo sólo se va a expandir linealmente sobre la longitud del tubo, en cambio el mercurio si lo hará volumétricamente, cómo te dan el coeficiente de dilatación volumétrica este afecta solamente en relación directa, en cambio si te dieran el coeficiente de dilatación lineal del mercurio, sí deberías multiplicar por 3 el coeficiente[size=78%], debido al desarrollo de Taylor del volumen, pero repito este no es el caso.[/size]
Como la longitud entre dos divisiones del tubo aumentado su separación se requieren menos divisiones para registrar el mismo volumen ,pero a la vez el volumen del Mercurio habrá aumentado, por lo cual la medida final es igual a la medida original por el incremento del volumen de mercurio sobre el incremento de la escala.

[sedeort]

Richard, el ∆h que se pide es absoluto y objetivo.
No se ha dicho por ningún lado que el tubo sea graduado ni que tenga marcas que "se muevan" con la dilatación.

[robinlambada]

Robinlambada, gracias por tu participación pero la solución que se pide es ∆h (en cm).

Por otro lado, por si lo necesitarais, os recuerdo que para estos sólidos isótopos los coeficientes de dilatación superficial y volumétrica (o cúbica) se pueden obtener aproximándolos al doble y al triple del coeficiente lineal, respectivamente.

El meollo está en cómo es la dilatación del cilindro de vidrio. Parece que la solución es independinte de su diámetro y su grosor ya que no los dan como datos.

Ah, gracias, no me había percatado que dan la altura inicial 10 cm.

\( \Delta h=\displaystyle\frac{h_1-h_o}{h_o}h_o=\left({\displaystyle\frac{h_1}{h_0}-1}\right)h_o \)

Sutituyendo: \( \Delta h=0'147071 \ cm \)

Saludos.

[robinlambada]

Hola.

Hola como no te dan la sección del tubo, si podés prescindir de la dilatación lineal del vidrio en lo que sería la circunferencia o sección, por lo tanto el tubo sólo se va a expandir linealmente sobre la longitud del tubo, en cambio el mercurio si lo hará volumétricamente, cómo te dan el coeficiente de dilatación volumétrica este afecta solamente en relación directa, en cambio si te dieran el coeficiente de dilatación lineal del mercurio, sí deberías multiplicar por 3 el coeficiente[size=78%], debido al desarrollo de Taylor del volumen, pero repito este no es el caso.[/size]
Como la longitud entre dos divisiones del tubo aumentado su separación se requieren menos divisiones para registrar el mismo volumen ,pero a la vez el volumen del Mercurio habrá aumentado, por lo cual la medida final es igual a la medida original por el incremento del volumen de mercurio sobre el incremento de la escala.

No es necesario que se considere el aumento de diámetro de la base del tubo despreciable, al darte el coeficiente de dilatación se puede calcular en función del radio y el volumen queda en función del radio y de la altura.

Al dividir el volumen final entre el inicial del mercurio, este queda solo en función del cociente de alturas y se puede calcular numéricamente este cociente de alturas.

Yo he utilizado que \( \Delta T\cdot{}\alpha_v=\ln \left |{\displaystyle\frac{V_1}{V_0}}\right | \) y  \( \Delta T\cdot{}\alpha_l=\ln \left |{\displaystyle\frac{r_1}{r_0}}\right | \)

Saludos.

[Richard R Richard]

El ∆h que se pide es absoluto y objetivo.
No se ha dicho por ningún lado que el tubo sea graduado ni que tenga marcas sujetas a la dilatación.

Entonces el problema se hace mucho más sencillo y más aburrido.


si no hay marcas en el tubo es entonces el vidrio puede expandirse linealmente todo lo que vos quieras y la medición del mercurio no tiene porqué cambiar en nada mas que la dilatación volumétrica del mercurio que es directamente proporcional.

[sedeort]

Richard, y la dilatación esperada en el diámetro del tubo de vidrio? (Lo que contrarestaría el efecto del aumento volumétrico del mercurio).

Robin, la solución en mi poder difiere de la tuya en casi un 10%.

[Richard R Richard]

A ver eso es lo que te intentaba explicar cómo no te dan la sección  ni el diámetro no podés aplicar la dilatación lineal del vidrio sobre ellos , el volumen del Mercurio es finito y depende de la sección, entonces si tengo más o menos diámetro influye en la dilatación pero cómo no te la dan como dato, nada puedes hacer por calcularla a menos que quieras dejarlo en función de, pero cómo veo que ya tienes un resultado este seguro no depende de la sección.