[robinlambada]

Robin, la solución en mi poder difiere de la tuya en casi un 10%.

Igual me he equivocado en los cálculos. Los detallo por si vemos el posible error.

De: \( \Delta T\cdot{}\alpha_v=\ln \left |{\displaystyle\frac{V_1}{V_0}}\right | \)  y  \( \Delta T\cdot{}\alpha_l=\ln \left |{\displaystyle\frac{r_1}{r_0}}\right | \)

Obtenemos:  \( \displaystyle\frac{V_1}{V_0}=e^{\Delta T\cdot{}\alpha_v}\approx{}1'0183666 \)  y  \( \displaystyle\frac{r_1}{r_0}=e^{\Delta T\cdot{}\alpha_l}\approx{}\color{red}1'0011807\color{black} \)

Por otro lado:  \( \displaystyle\frac{V_1}{V_0}=\displaystyle\frac{\pi r_1^2h_1}{\pi r_o^2h_o}=\left({\displaystyle\frac{r_1}{r_0}}\right)^2\displaystyle\frac{h_1}{h_o} \)

Sustituyendo y despejando: \( \displaystyle\frac{h_1}{h_0}\approx{}\displaystyle\frac{1'0183666}{(\color{red}1'0011807\color{black})^2} \) y

\( \Delta h=\displaystyle\frac{h_1-h_o}{h_o}h_o=\left({\displaystyle\frac{h_1}{h_0}-1}\right)h_o=\color{red}0'15966\color{black} \, cm \)

No he detectado ningún error.

Descríbenos cual es el método que te da una variación del 10%.
Yo no he hecho ninguna aproximación en las fórmulas solo en los resultados numéricos, pero con un error mucho menor al 10%, pienso que el método que difiere es una aproximación peor que la mía.

Saludos.
CORREGIDO Gracias sedeort

[Richard R Richard]

Para mí tiene más sentido tu primer resultado robinlambada
\( H=Ho\dfrac{1+\alpha_{vHg}\Delta T}{(1+\alpha_{lv}\Delta T)^2}=10.158cm \)

[sedeort]

Correcto, Richard.

Yo lo hice restando las siguientes dos contribuciones a la variación de altura que se produce en el nivel de mercurio.
La primera, que sube el nivel debido a la dilatación volumétrica del mercurio.
Y la segunda, que lo baja debido a la dilatación "superficial" del vidrio, la que se produce al aumentar el radio del tubo.

\( \Delta h_{Hg}=\alpha_{vHg}h_0∆T \)
\( \Delta h_{v}=2\alpha_{lv}h_0∆T \)
__________________________________________
\( \Delta h_{Hg}-\Delta h_v=0'158  cm \)

Las dos primeras expresiones proceden de las definiciones de coeficientes de dilatación en donde he simplificado la Sección del tubo ( V=S•h ).

Atención, puse sólo 2 veces la dilatación lineal del vidrio porque su dilatación en la dirección longitudinal del tubo no afecta al nivel de mercurio (como dijo anteriormente Richard).

[robinlambada]

Para mí tiene más sentido tu primer resultado robinlambada
\( H=Ho\dfrac{1+\alpha_{vHg}\Delta T}{(1+\alpha_{lv}\Delta T)^2}=10.158cm \)

Esta aproximación es buena cuando el volumen o la longitud prácticamente no varían y se pueden considerar constantes.

La definición del coeficientes de dilatación volumétrico es:

\( \alpha=\displaystyle\frac{1}{V}\left({\frac{{\partial V}}{{\partial T}}}\right) \) Si suponemos que el incremento de volumen o longitud solo depende de la temperatura pasamos a:

\( \alpha_v\cdot{}dT=\displaystyle\frac{dV}{V} \) y \( \alpha_l\cdot{}dT=\displaystyle\frac{dr}{r} \) (1), integrando se obtiene:

\( \Delta T\cdot{}\alpha_v=\ln \left |{\displaystyle\frac{V_1}{V_0}}\right | \) y  \( \Delta T\cdot{}\alpha_l=\ln \left |{\displaystyle\frac{r_1}{r_0}}\right | \)

Que son las fórmulas que use.


Si suponemos el volumen constante y el diámetro del vidrio también constante.integrando (1), llegamos a:

\( \Delta T\cdot{}\alpha_v=\dfrac{\Delta V}{V_0} \) y  \( \Delta T\cdot{}\alpha_l=\displaystyle\frac{\Delta r}{r_0} \)

y de estas se obtiene la expresión de Richard.

\( H=Ho\dfrac{1+\alpha_{vHg}\Delta T}{(1+\alpha_{lv}\Delta T)^2}=10.158cm \)

Pero se esta suponiendo que el aumento de volumen y longitud es despreciable frente al volumen y longitud inicial y esta es una aproximación innecesaria para resolver el problema que le quita precisión al resultado y en este caso no facilita el cálculo.

Saludos.

[sedeort]

Una pregunta.
Por qué ponéis sólo \( \alpha_{l} \) cuando os referís a la dilatación del vidrio en la dirección radial? No existe ninguna varilla lineal de vidrio en este problema.
La "dilatación" de la sección del tubo, por el aumento de su radio, se debe considerar como una dilatación "superficial" y si acaso se debería usar \(   \alpha_{s}= 2\alpha_{l} \) .
No?

Esto último me parece muy curioso porque utilizariamos el dato de  \( \alpha_{s, vidrio} \) en la dilatación superficial de un agujero vacío.

[robinlambada]

Una pregunta.
Por qué ponéis sólo \( \alpha_{l} \) cuando os referís a la dilatación del vidrio en la dirección radial? No existe ninguna varilla lineal de vidrio en este problema.
La "dilatación" de la sección del tubo, por el aumento de su radio, se debe considerar como una dilatación "superficial" y si acaso se debería usar \(   \alpha_{s}= 2\alpha_{l} \) .
No?

Esto último me parece muy curioso porque utilizariamos el dato de  \( \alpha_{s, vidrio} \) en la dilatación de un agujero vacío.

Te respondo con brevedad por que debo irme ahora.

No hace falta que el vidrio sea un filamento unidimensional, pero independientemente de la forma del vidrio nos interesa el aumento del radio, de hecho lo que nos da el problema es el coeficiente lineal, no el superficial.

Saludos y Feliz 2021

[sedeort]

Robin, no estoy de acuerdo. Y aunque te den el coeficiente lineal es posible que el que tengas que utilizar sea el superficial (que es simplemente el doble pero es difícil encontrarlo tabulado).
Te propongo un problema muy sencillo para que entiendas mi posición (puedes dejarlo para el año que viene, jeje)
Un aro de vidrio de 10 cm de radio a 0°C se calienta hasta 100 °C. Calcula el radio final.
Cómo lo harías?

Feliz Año Nuevo a todos!

[robinlambada]

Robin, no estoy de acuerdo. Y aunque te den el coeficiente lineal es posible que el que tengas que utilizar sea el superficial (que es simplemente el doble pero es difícil encontrarlo tabulado).
Te propongo un problema muy sencillo para que entiendas mi posición (puedes dejarlo para el año que viene, jeje)
Un aro de vidrio de 10 cm de radio a 0°C se calienta hasta 100 °C. Calcula el radio final.
Cómo lo harías?

Feliz Año Nuevo a todos!

Lo haría exactamente igual que en el anterior ejercicio, directamente.

\( \displaystyle\frac{r_1}{r_0}=e^{\Delta T\cdot{}\alpha_l}\approx{}1'0018016 \)  y \( \Delta r=\displaystyle\frac{r_1-r_o}{r_o}r_o=\left({\displaystyle\frac{r_1}{r_0}-1}\right)r_0=0'018016\, cm \)

y también se podría hacer calculando primero \( \Delta l \) y dividiendo entre \( 2\pi \)  es decir \( \Delta r=\displaystyle\frac{\Delta l}{2\pi} \)

Pero es un poco más largo y al final da lo mismo \( \Delta l=\left({\displaystyle\frac{l_1}{l_0}-1}\right)l_0=0'0018016\cdot{}2\pi r_0 \)

[sedeort]

El aro se dilata exactamente lo mismo que un disco plano del mismo tamaño. Luego yo utilizaría la expresión de dilatación superficial siendo su coeficiente el doble del lineal.
De esta forma me sale un radio final de 10'011793 cm, que difiere considerablemente con el tuyo.

Ten en cuenta que el aro es cerrado y quizás la expresión de la dilatación lineal no se pueda aplicar.

[robinlambada]

El aro se dilata exactamente lo mismo que un disco plano del mismo tamaño. Luego yo utilizaría la expresión de dilatación superficial siendo su coeficiente el doble del lineal.
De esta forma me sale un radio final de 10'011793 cm, que difiere considerablemente con el tuyo.

En principio dimensioalmente el aro se dilata lo mismo que un disco, es decir  , si aplico la dilatación lineal para calcular el radio final de un disco plano que se dilata por aumento de temperatura me debe dar el valor correcto, eso es lo que yo he hecho.

Utilizar el coeficiente de dilatación superficial es complicarse la vida, además habría que dividirlo entre 2 y esto es una aproximación, por tanto conlleva un cierto error.

Normalmente se usa el coeficiente de dilatación lineal en sólidos, además ( aunque se usa sobre todo en alambres o sólidos en los que su geometría es predominantemente unidimensional) se puede usar para calcular el aumento de tamaño de un sólido volumétrico en una sola dirección ( o dimensión)

La dilatación superficial solo es el doble que la lineal en aproximación y bajo unas determinadas condiciones, pero solo es una aproximación.
La demostración es sencilla:
Incluso partiendo de la aproximación usual ( que no deja de ser una aproximación) suponiendo el incremento de tamaño despreciable frente al tamaño original , lo cual no siempre es cierto, sobre todo en los gases.

\( S_1\approx{}(1+\alpha_s \Delta T) S_0 \) (1)

\( L_1\approx{}(1+\alpha_l \Delta T) L_0 \) (2)

Para un cuadrado \( S=L^2 \) ( tomando como cierta la aproximación)

Elevando (2) al cuadrado: \( S_1=L_1^2 =(1+\alpha_l \Delta T)^2 L_0^2 \)

\( S_1=(1+2\cdot{}\alpha_l \Delta T + (\alpha_l \Delta T )^2  )S_0 \) (3)

Comparando (3) con (1)

\( 1+2\cdot{}\alpha_l \Delta T + (\alpha_l \Delta T )^2 =1+\alpha_s \Delta T \)  , y solo si despreciamos el término  \( (\alpha_l \Delta T )^2

 \) suponiendo que "es muy pequeño" frente al resto, llegamos la aproximación : \( \alpha_s \approx{}2\cdot{}\alpha_l  \)

Es decir aproximando una expresión ya de por si aproximada llegamos a la relación de que el coeficiente de dilatación superficial es aproximadamente el doble que el lineal.
De la misma manera desarrollando \( (1+\alpha_l \Delta T)^3 \) y despreciando términos, obtenemos que el volumétrico es aproximadamente el triple que el lineal.

Mira este enlace ( sobre todo el apartado Sólidos):
https://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_dilataci%C3%B3n#Linealidad_del_Coeficiente_de_Dilataci%C3%B3n_T%C3%A9rmica

Ten en cuenta que el aro es cerrado y quizás la expresión de la dilatación lineal no se pueda aplicar.

Que sea el aro cerrado no impide que haya dilatación lineal, y con mucho más sentido que la dilatación superficial se puede usar la lineal, ya que la geometría del aro es unidimensional, ¿es que un aro no se dilata por ser cerrado? ¿ de que superficie hablas en el aro si no existe tal superficie?

¿Tiene sentido calcular la superficie de un aro de grosor despreciable?

Te reitero que un cuerpo ya sea plano (aproximadamente bidimensional) ó tridimensional, se puede  utilizar el coeficiente de dilatación lineal para calcular la dilatación en una dirección.

De hecho los alambres realmente son tridimensionales (tienen grosor) y se aplica el coeficiente de dilatación lineal para calcular el estiramiento o contracción de este con la temperatura, independientemente que en otra dimensión también cambie su tamaño.