[sedeort]

Claro que se dilata el aro pero quizás no sea lo mismo que si está abierto linealmente. De hecho, yo obtuve una cantidad en su dilatación, diferente a la tuya.

La superficie del aro a la que me refiero que hay que introducir en la ecuación de dilatación superficial es su superficie interior (aunque paradójicamente no haya vidrio en ella). Pero digo que el comportamiento del aro dilatándose es equivalente al de una placa  círcular de vidrio.
Encontré esta resolución por internet. Mira a ver si la encuentras equivocada también.
https://www.fisimat.com.mx/problema-3-de-dilatacion-superficial/

E incluso me atrevería a decir otras curiosas afirmaciones que dejo para más tarde para no liar mucho la cosa.

[robinlambada]

Claro que se dilata el aro pero quizás no sea lo mismo que si está abierto linealmente. De hecho, yo obtuve una cantidad en su dilatación, diferente a la tuya.

La superficie del aro a la que me refiero que hay que introducir en la ecuación de dilatación superficial es su superficie interior (aunque paradójicamente no haya vidrio en ella). Pero digo que el comportamiento del aro dilatándose es equivalente al del círculo bidimensional de vidrio.
Encontré esta resolución por internet. Mira a ver si la encuentras equivocada también.
https://www.fisimat.com.mx/problema-3-de-dilatacion-superficial/

En este caso si es una equivocación utilizar el coeficiente de dilatación superficial, por que no usa el correcto, es decir aproxima \( \alpha_s=2 \alpha_l \)(*) y esto solo es valido en el caso que los incrementos de temperatura no sean elevados, en este caso la temperatura pasa de 20ºC a 5700ºC según el y es demasiado elevado para usar (*)
En general se puede usar tanto el coeficiente lineal como el superficial para hacer cualquier problema, pero hay que utilizar los datos adecuados y las relaciones correctas o con mayor aproximación.
Si tengo el coeficiente lineal, no me debo complicar.
La única razón que veo para que use el coeficiente de dilatación superficial, es que le dan el área de la base del cilindro y le da "pereza" calcular su radio

Pero a un área de 15 cm² le corresponde un radio de aproximadamente 2'1857 cm entonces \( \Delta r=0'1857 \)

Utilizando la misma aproximación que el usa, es decir que  \( \Delta r=\alpha_l \cdot{}r \Delta T \)

Se llega a que \( T_f=5480'322\,ºC \) , diferencia que se explica por la utilización de  \( \alpha_s=2 \alpha_l \), lo cual responsable de la discrepancia, el término \( (\alpha_l \Delta T )^2 \) ya no es despreciable frente a  \( 2\cdot{}\alpha_l \Delta T  \) , porque:

 \( \displaystyle\frac{(\alpha_l \Delta T )^2}{2\cdot{}\alpha_l \Delta T }\approx{}0'05 \) que es considerable.

Aun así el dato obtenido se puede aproximar mejor si se usa \( \displaystyle\frac{r_1}{r_0}=e^{\Delta T\cdot{}\alpha_l} \) en vez de  \( \Delta r=\alpha_l \cdot{}r \Delta T \)

E incluso me atrevería a decir otras curiosas afirmaciones que dejo para más tarde para no liar mucho la cosa.

¡¡Lia, Lia!!.  ¡Atrévete!.

Para eso estamos, para debatir ,para  liarla y luego desliarla.     

[robinlambada]

Ahora la voy a liar yo un poco, no lo he comentado antes por no verlo necesario, pero el coeficiente de dilatación no es constante en general con la temperatura, depende de esta , pero si las variaciones de temperatura no son muy grandes se puede considerar constante.

En este último caso pasar de 20ºC a 5480ºC es un aumento considerable, lo que ocurre es que la relación \( \alpha=\alpha (T) \) se debe hallar experimentalmente y varía para cada material y entonces habria que resolver una ecuación diferencial no necesariamente tan trivial , para calcular la dilatación.

Saludos.

 

[sedeort]

Sí, en el problema del enlace la ∆T es muy grande y es difícil que ningún coeficiente sea cte en esos rangos. El lineal tampoco se podría aplicar entonces. El que planteó el problema dio unos datos demasiado extremos. Pero ese no sería el fondo para rebatir que no se pueda usar el coeficiente superficial.

En esta sintonía, vamos a liarla un poco más con otra de mis  "curiosidades" (veo que no te importa, jeje):
Una botella de vidrio de 1l de capacidad a 0°C se calienta a 100°C. Cuál es su nueva capacidad? \( \alpha_{v}=7'2•10^{-5} K^{-1} \)

[robinlambada]

Sí, en el problema del enlace la ∆T es muy grande y es difícil que ningún coeficiente sea cte en esos rangos. El lineal tampoco se podría aplicar entonces. El que planteó el problema dio unos datos demasiado extremos. Pero ese no sería el fondo para rebatir que no se pueda usar el coeficiente superficial.

En esta sintonía, vamos a liarla un poco más con otra de mis  "curiosidades" (veo que no te importa, jeje):
Una botella de vidrio de 1l de capacidad a 0°C se calienta a 100°C. Cuál es su nueva capacidad? \( \alpha_{v}=7'2•10^{-5} K^{-1} \)

Si  \( \alpha_{v}=7'2•10^{-5} K^{-1} \) se a obtenido experimentalmente para la botella en cuestión entonces y suponiéndolo constante, en ese caso

\( V_1=V_0 e^{\Delta T\cdot{}\alpha_v} \)

[sedeort]

A mí lo que me sorprende es  que con un coeficiente de dilatación del vidrio se pueda obtener la capacidad interior (que no es de vidrio) de la botella. Se está haciendo como si fuese maciza. Y además, el resultado parece no depender de la forma del recipiente.

Si en vez de una botella te hubiese dicho un cuenco de vidrio de 1l, el aumento en su capacidad sería la misma?
(El \( \alpha_v \) es el mismo dato de antes porque se supone sacado de una tabla).

[Richard R Richard]

Está última versión del problema yo la atacaría así
Cada dimensión lineal del vidrio expande con \( 1+\alpha_{lv} \Delta T \)
Luego el volumen expandiera con \( (1+\alpha_{lv} \Delta T)^3 \) habiendo hecho el desarrollo del polinomio y eliminado factores despreciables (o aproximando por Taylor)

Esto es muy similar a
\( 1+3\alpha_{lv} \Delta T \)
Si al principio tenías Vo de Hg
Ahora tienes

 \( Vo(1+\alpha_{vHg} \Delta T) \)
Como las secciones son iguales entonces

 \( \dfrac{Vf}{Vo}=\dfrac{hf}{ho}=\dfrac{(1+\alpha_{vHg} \Delta T)}{1+3\alpha_{lv} \Delta T} \)


El resultado si depende de la forma del recipiente,depende de la sección donde has marcado la cota 10cm.(en tu problema la hemos supuesto constante aunque dilate,no variable con cambio abrupto de seccion)
Fíjate que un termómetro usa perfectamente justamente esa condición,el bulbo expande su volumen pero el volumen expandido atraviesa una sección pequeña por eso se eleva gran altura para hacer más precisa la medida.


.

Saludos Feliz año Nuevo!!!

[robinlambada]

A mí lo que me sorprende es  que con un coeficiente de dilatación del vidrio se pueda obtener la capacidad interior (que no es de vidrio) de la botella. Se está haciendo como si fuese maciza. Y además, el resultado parece no depender de la forma del recipiente.

Si en vez de una botella te hubiese dicho un cuenco de vidrio de 1l, el aumento en su capacidad sería la misma?
(El \( \alpha_v \) es el mismo dato de antes porque se supone sacado de una tabla).

Es que los coeficientes de dilatación se calculan con materiales macizos  y de forma experimental, por eso hice la puntualización un poco pícara de:

Si  \( \alpha_{v}=7'2•10^{-5} K^{-1} \) se a obtenido experimentalmente para la botella en cuestión entonces y suponiéndolo constante, en ese caso

\( V_1=V_0 e^{\Delta T\cdot{}\alpha_v} \)

Es decir si el  coeficiente volumétrico es el obtenido para esa botella, es claro que se puede usar directamente lo que puse, pero efectivamente sin este importante dato, el aumento de capacidad depende de la forma de la botella y hay que suponer que la botella al dilatarse no se deforma. He puesto a posta la forma más sencilla, y quiero recalcar que es importante el coeficiente que te dan y si utilizas otro debes conocer la relación entre ellos o asumir el error que puedes cometer.

[sedeort]

Volviendo al problema original. Estaba intrigado porque no nos salía la misma solución.
Y es que he detectado un error en tus cálculos, robin. Donde dices:
\( \displaystyle\frac{r_1}{r_0}=e^{\Delta T\cdot{}\alpha_l}\approx{}1'0018016 \)
realmente es 1'0011807.

Tu resultado correcto debería ser entonces ∆h=0'15966 cm.
A mí y a Richard nos salía 0'1584 cm.
Ahora sí están bastante bastante cercanas todas.

[robinlambada]

Volviendo al problema original. Estaba intrigado porque no nos salía la misma solución.
Y es que he detectado un error en tus cálculos, robin. Donde dices:
\( \displaystyle\frac{r_1}{r_0}=e^{\Delta T\cdot{}\alpha_l}\approx{}1'0018016 \)
realmente es 1'0011807.

Tu resultado correcto debería ser entonces ∆h=0'15966 cm.
A mí y a Richard nos salía 0'1584 cm.
Ahora sí están bastante bastante cercanos.

Tienes razón, habré tenido algún despiste con la calculadora.
Gracias , lo corrijo