cuando dices "\( \left(\sum_{k\geqslant 0}\frac{x^k}{(k+1)!}\right)^{-1}
\)" significa entiendo \( \displaystyle\frac{1}{\sum_{k\geqslant 0}\frac{x^k}{(k+1)!}
} \).
Exacto.
Si eso es así no entiendo muy bien de donde sale.
Sale de que \( e^x=\sum_{k\geqslant 0}x^k/k! \).
Es decir, que lo que yo esperaría es que la serie de potencias fuera, \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{\displaystyle\frac{1}{n}(-1)^{n+1}x^n} \).
No es eso. La serie de Maclaurin de la función del ejercicio tiene por coeficientes los números de Bernoulli divididos por factoriales, que son los coeficientes que te iban saliendo antes, es decir que en un entorno del cero
\( \displaystyle{
\frac{x}{e^x-1}=\sum_{k\geqslant 0}B_k \frac{x^k}{k!}
} \)
donde los \( B_k \) son los números de Bernoulli. Desde luego el ejercicio no es tan sencillo.
Aparte de eso, no se si el demostrar que existe la serie reciproca formal de potencias es un teorema que prueba que si eso pasa entonces la serie de potencias de \( f \) es precisamente la que tu mencionas. En caso de ser así se trata de algo que también tendría que probar en mi ejercicio.
Gracias y un saludo.
Eso ya no lo sé, dependerá de la teoría que conozcas. El camino de arriba me parece más sencillo que el intentar mostrar que las derivadas en el cero existen, habría que intentar el otro camino, el cual con algo de álgebra, y algún que otro teorema, se reduce a demostrar que los límites
\( \displaystyle{
\lim_{x\to 0}\left(x\partial ^n\frac1{e^x-1}+n\partial ^{n-1}\frac1{e^x-1}\right),\quad n\geqslant 1
} \)
existen y son finitos. Se sigue de la fórmula de derivadas consecutivas para el producto (y la continuidad uniforme de \( f \) y de que \( f' \) está acotada en \( [-1,1]\setminus \{0\} \), que implican que el límite de la derivada sea la derivada en el origen), mira
aquí.
