Le eche un vistazo al enlace pero puede que sea que no entendí la notación correctamente pero acorde con Leibniz el límite quedaría
\( \displaystyle\lim_{x \to 0}{(\displaystyle\frac{x}{e^x-1})^{n)}}=\displaystyle\lim_{x \to 0}{\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x)^{n-k}(\displaystyle\frac{1}{e^x-1})^{n}}} \) no?
Son derivadas en vez de potencias, el límite quedaría
\( \displaystyle{
\lim_{x\to 0}\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{d^k}{dx^k}(x)\frac{d^{n-k}}{dx^{n-k}}\left(\frac1{e^x-1}\right)=\lim_{x\to 0 }\left(x\frac{d^n}{dx^n}\frac1{e^x-1}+n\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\frac1{e^x-1}\right),\quad n\geqslant 1
} \)
He utilizado esta vez la notación de Leibniz para las derivadas, esto \( \frac{d}{dx} \) y esto \( \partial \) representan lo mismo, la derivada de la función, siendo \( \frac{d^n}{dx^n} \) y \( \partial ^n \) la notación para la \( n \)-ava derivada consecutiva.
Una idea es hallar una forma aproximada de la \( n \)-ava derivada de \( \frac1{e^x-1} \) que nos permita deducir que tal límite siempre existe, y la forma aproximada podría buscarse inspeccionando las primeras derivadas (las formas que adoptan) y luego intentando verificar que es así con inducción. Por ejemplo
\( \displaystyle{
\frac{d}{dx}(e^x-1)^{-1}=-(e^x-1)^{-2}e^x,\, \frac{d^2}{dx^2}(e^x-1)=2(e^x-1)^{-2}e^{2x}+\frac{d}{dx}(e^x-1)^{-1},\, \ldots
} \)
La verdad es que no parece bonito ni sencillo, al derivar se va complicando bastante, se podría (quizá) utilizar la fórmula
de la regla de la cadena sucesiva, igualmente me parece horrible.
Sin embargo lo de la serie formal de potencias parece más asequible (digo que parece porque conozco el camino): si una serie (formal) de potencias \( \sum_{k\geqslant 0}a_k x^k \) tiene \( a_0\neq 0 \) se puede demostrar que existe una serie formal de potencias \( \sum_{k\geqslant 0}b_kx^k \) tal que \( \left(\sum_{k\geqslant 0}a_k x^k\right)\left(\sum_{k\geqslant 0}b_kx^k\right)=1 \). Se genera la sucesión de los \( b_k \) miembro a miembro en recursión, empezando desde \( b_0=a_0^{-1} \), es decir tenemos que \( \left(\sum_{k\geqslant 0}a_k x^k\right)\left(\sum_{k\geqslant 0}b_kx^k\right)=\sum_{k\geqslant 0}c_kx^k=1 \), por tanto debe ocurrir que \( c_0=1 \) y \( c_k=0 \) para todo \( k\geqslant 1 \), y como \( c_n=\sum_{k=1}^n a_k b_{n-k} \) entonces
\( \displaystyle{
0=\sum_{k=1}^{n-1}a_kb_{n-k}+b_na_0+a_nb_0\implies b_n=-a_na_0^{-2}-a_0^{-1}\sum_{k=1}^{n-1}a_kb_{n-k}
} \)
Y una demostración de que la serie recíproca tiene radio de convergencia positivo cuando la serie de partida lo tiene la puedes ver
aquí.
