...He encontrado la siguiente demostración del desarrollo en series de potencias de la función generatriz de los números de Bernoulli. https://cadadr.org/san-salvador/2017-02-bernoulli/bernoulli.pdf página 15. Demuestra pues que \( \displaystyle\frac{xe^x}{e^x-1}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{B_k\displaystyle\frac{x^n}{n!}} \). Eso es casi mi función ...
En otras partes vas a encontrar: \( \displaystyle\frac{x}{e^x-1}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{B_k\displaystyle\frac{x^n}{n!}} \)
Como \( \dfrac{xe^x}{e^x-1} = \dfrac{x}{e^x-1} + x \) la diferencia está en la definición de \( B_1 \) (si \( +\frac{1}{2} \) o \( -\frac{1}{2} \)) , el resto es igual.
Para ver el radio de convergencia sin recurrir a variable compleja podés usar la aproximación \( |B_n| = 2 \dfrac{n!}{(2\pi)^n}\quad,\; \) si \( n \) par y \( B_n=0\quad\; \) si \( n \) impar (\( n>1 \)).
y aplicar el criterio del cociente.
Para terminar el ejercicio, pongo mi cálculo del radio de convergencia aquí para que ustedes me indiquen si ven algún fallo.
Tenemos pues que \( \dfrac{x}{e^x-1}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{B_n}{n!}x^n} \). De acuerdo con la aproximación de Abdulai tenemos que \( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{|B_n|}{n!}x^n}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{|B_{2n}|}{(2n)!}x^{2n}}+\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{|B_{2n+1}|}{(2n+1)!}x^{2n+1}}=\underbrace{\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{2 \dfrac{n!}{(2\pi)^n}}{(n)!}x^{n}}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{2}{(2\pi)^n}x^n}_{n\,par}} \).
Aplicando el criterio del cociente al término general de la serie, definido por \( a_n:=\displaystyle\frac{2}{(2\pi)^n}x^n \) , con n par, tenemos que:
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\displaystyle\frac{x}{2\pi} \), lo cual implica que la serie converge si y solo si \( |x|<2\pi \).
Por tanto si \( x\in{}B(0,2\pi)\setminus \left\{{0}\right\} \) se tiene que la serie \( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{B_n}{n!}x^n} \) converge absolutamente, y en consecuencia también lo hará sin valor absoluto.
Esto prueba que le radio de convergencia de la serie es \( R=2\pi \).
Muchas gracias por su ayuda
