[jorge_nunez]

Buenos días. ¿Cómo andan? Tengo problemas con un ejercicio. Dice lo siguiente.

Una bolita de masa \( m \) se halla engarzada a un aro circular de radio \( R \) y sujeta a un resorte de constante elástica \( k \) y longiutd natural \( l_o=\frac{Rπ}{2} \). El sistema se encuentra rotando al rededor de un eje fijo perpendicular al aro con una velocidad angular de \( Ω=Ω_o+γt \). Resuelva el problema desde un sistema de referencia fijo al aro. (adjunté la imagen que aparece en el ejercicio, al cual le agregué los ejes que usé y el diagrama de cuerpo libre hecho por mi).

a) Indique las fuerzas y pseudofuerzas que actúan sobre la masa y escriba las ecuaciones de Newton para t>0.
b) Halle los puntos de equilibrio y resuelva la ecuación de movimiento considerando que inicialmente \( m \) se encuentra en reposo (con respecto al aro) en \( θ=θ_o \).

Una cosa antes de explicar lo que intenté: las notaciones cambian mucho según el libro o la universidad a la que uno vaya. Obviamente, yo usé la que me explicaron en la mía, asique prefiero aclarar antes de que empiecen a leer la resolución:
- \( Ω(t) \) es la velocidad angular y \( γ \) es la aceleración angular.
- Las pseudofuerzas las voy a anotar más abajo cuando resuelva, pero puede que tengan diferentes notaciones. Aún así, creo que se va a entender, pero cualquier cosa me preguntan.

Bien... lo que hice fue:

Inciso a) Hice el DCL (adjunto). Las fuerzas en azul son reales y las fuerzas en rojo son pseudofuerzas. Busqué las tres pseudofuerzas, considernado:

\( \overline{Ω}=Ω\widehat{z} \); \( \bar{γ}=γ\hat{z} \); \( \bar{r}=r\hat{r} \) y \( V_{rot}=rθ'\hat{θ} \)

Entonces:

·\( \bar{F}_{cent}=-m\overline{Ω}X(\overline{Ω}X\overline{r})=mΩ^2r\hat{r} \)
·\( \bar{F}_{cor}=-2m\bar{Ω}X\bar{V}_{rot}=-2mΩrθ'\hat{θ} \)
·\( F_{γ}=-m\bar{γ}X\bar{r}=mγr\hat{θ} \)

Por la segunda ley de Newton:
\( \hat{r}: mΩ^2r-mgcos(θ)-N=0 \) (es igual a 0 porque el radio no cambia y \( r''=0 \))
\( \hat{θ}: mγr+k(l_o-θ)-2mΩrθ'=mθ'' \)
\( \hat{z}: 0 \) (no hay ninguna fuerza actuando en este eje)

Creo que esto es correcto. El problema viene en el punto b)

Inciso b) Los puntos de equilibrio, que los llamo \( θ_{eq} \), son tales que \( θ''=0 \). Aplicando esto en la segunda ecuación:

\( mγr+k(l_o-θ)-2mΩrθ'=0 \)

Reacomodando, obtengo:

\( mγr+kl_o=kθ+2mΩrθ' \)

Y hasta ahí llego. No sé cómo sacarme de encima \( θ' \). Si intento integrar también tendría que integrar \( θ \) y no me sirve (creo).

Y en cuanto a la ecuación de movimiento, usé la misma ecuación y llego a:

\( γr+\frac{k}{m}l_o=θ''+2Ωrθ'+\frac{k}{m}θ \)

Puedo pensar en la solución general como la suma de una solución homogénea más una particular. La particular puede ser una constante C. Reemplazando llego a:

\( C=\frac{m}{k}γr+l_o \)

Pero no sé cómo obtener la homogénea. ¿Alguna ayuda?.

Muchas gracias.

[Richard R Richard]

Hola Jorge las fuerzas ficticias son siempre un lio, espero poderte guiar,
porque crees que hay fuerza de coriolis, así como indica el grafico,
no veo intervenir en la solucion del problema la constante elastica, o almenos no detecto la notación.Edito la vi en Theta
porque el resorte seguiria una curva de la circunferencia?, es así el dibujo?, o es tu interpretación?..


mi forma de verlo es la bola es libre no viaja en el mismo radio que el aro, el angulo que forma el resorte y la tangente a la circunferencia, depende de la centrifuga y la aceleracion tangencial,el resorte se estira recto a medida que acelera, eso cambia el radio y entonces si  produce coriolis, pero como tu lo planteas no.


la fuerza tangencial y centrifuga serian responsables del estirmiento del resorte, y coriolis del cambio del angulo, ,  Bienvenidas otras ideas muchos ojos ven mas que dos.

[jorge_nunez]

Hola Richard. Gracias por responder. En cuanto a tus consultas:
1. En realidad, el DCL lo hice después de calcular las fuerzas. Lo tendría que haber aclarado. Por lo tanto, la fuerza de coriolis queda así porque es cómo la calculé.
2. La constante elástica es \( k \). La uso en la ecuación en el eje \( \hat{θ} \) (que es la que uso para resolver el inciso b).
3. El resorte sigue una curva por el dibujo. La figura de la izquierda es sacada del enunciado mismo, excepto los ejes \( r, θ \) y \( z \) que los agregué yo para que vieran el sistema que usé. En otros ejercicios de la guía usan el mismo método (resorte que sigue una curva) y los resultados dan bien. Sería como que el resorte esta "enganchado" en el aro.

Según mi planteo, tiene fuerza de coriolis porque la calculo con \( F_{cor}=-2m\bar{Ω}X\bar{V}_{rot} \), donde \( {V}_{rot} \) es la velocidad medida por el observador no inercial. El radio no se modifica, pero el angulo sí, siendo entonces \( \bar{V}_{rot}=rθ'\hat{θ} \).

Igual, como bien dijiste, las fuerzas ficticias son complicadas y es muy probable que me haya confundido, pero no veo en dónde.

[jorge_nunez]

Ahora que lo pienso, en realidad el ángulo tampoco se modifica porque el observador esta rotando junto al aro, por lo que no ve el ángulo aumentar. Tiene sentido que no haya coriolis. Voy a ver si puedo preguntar en la clase, pero en realidad este es un ejercicio de una guía vieja y ya no ven rotaciones aceleradas, por lo que no sé si me lo van a contestar. Encima las clases virtuales no ayudan a poder hacer preguntas por separado.

Gracias.

[Richard R Richard]

Bueno, y si el movimiento esta restrigido a la circunferencia, la centrifuga es perpendicular a la circunferencia, luego su accion como fuerza es nula, el resorte se estiraría unicamente para compensar a la aceleración angular.

[jorge_nunez]

Bueno, y si el movimiento esta restrigido a la circunferencia, la centrifuga es perpendicular a la circunferencia, luego su accion como fuerza es nula, el resorte se estiraría unicamente para compensar a la aceleración angular.

No entendí lo de la acción de la fuerza centrífuga es nula. ¿Significa que es 0 o que no provoca aceleración? La parte del resorte la entiendo.

La fuerza \( F_γ \) ¿existe? (para el observador no inercial) y \( F_{cor} \) ¿no existiría?

Porque lo volví a pensar y el observador no inercial si ve que varía el ángulo, pero no podría explicar el movimiento usando únicamente la fuerza del resorte.

[Richard R Richard]

Hola fíjate que el anillo y la bola son solidarios a la circunferencia radialmente, es decir la fuerza centrifuga actúa sobre ellos, pero la circunferencia impide que se muevan por medio una fuerza de reacción o vinculo normal, luego el aporte es \( F_c+N=0 \) en dirección radial, el observador del anillo, solo ve estirarse el resorte , porque hay una fuerza que acelera el sistema tangencialmente, toda la fuerza de coriolis y centrifuga es contenida por la reacción de la circunferencia .

[jorge_nunez]

Ya casi lo tengo, pero sigo sin entender por qué al calcular la fuerza de colioris me queda un resultado en el eje \( \hat{θ} \). ¿Esta bien el modo que uso para calcularla o se tendría que hacer de otra forma que termine siendo nula?

Edit: me parece que mi error principal es al calcular \( \bar{V}_{rot} \), que, por lo que tenía entendido, es la velocidad que observa alguien en el sistema no inercial. Según esa lógica, sólo vería velocidad en el eje \( \hat{θ} \) y sería igual a \( \bar{V}_{rot}=rθ'\hat{θ} \) ¿Me estoy confundiendo al calcularla o directamente no es lo que pienso?

[Richard R Richard]

Para mi coriolis  es la aceleracion que provoca una trayectoria curva desde la óptica del observador acelerado , pero en este caso la partícula no esta libre, solo puede seguir la órbita solidaria a la circunferencia, alejándose o acercándose según sea la aceleración tangencial.
Espera algún otro aporte que lo confirme o me contradiga.

[jorge_nunez]

Ok. Sin coriolis se vuelve sencillo el problema (al menos, así pareciera) asique espero que tengas razón jaja

¿Conoces algún buen libro que hable bien del tema de sistemas no inerciales rotacionales? Los que me recomiendan en la universidad no son lo suficientemente buenos.