Bueno, y si el movimiento esta restrigido a la circunferencia, la centrifuga es perpendicular a la circunferencia, luego su accion como fuerza es nula, el resorte se estiraría unicamente para compensar a la aceleración angular.
Paul Allen Tipler
Es una solución utilizando la referencia inercial.
Saludos
No es correcto.
Por la segunda ley de Newton:
\( \hat{r}: mΩ^2r-mgcos(θ)-N=0 \) (es igual a 0 porque el radio no cambia y \( r''=0 \))
\( \hat{θ}: mγr+k(l_o-θ)-2mΩrθ'=mθ'' \)
\( \hat{z}: 0 \) (no hay ninguna fuerza actuando en este eje)
Creo que esto es correcto.
Pero has cometido un error al calcular la Fuerza de Coriolis, ya que es perpendicular a la velocidad \( V_R \) y al la velocidad angular, por tanto tendrá dirección radial.
No es correcto.
En la primera no es cero la aceleración aunque no cambie el radio, pero si existe respecto del sistema rotatorio una aceleración centrípeta , ya que la masa gira circularmente respecto a este con velocidad angular \( \theta ' \) además te falta añadir la fuerza de Coriolis que es radial.
La segunda ecuación, dimensionalmente esta mal mezclas resta de ángulo con longitud del resorte y al segundo término de la igualdad le falta el radio, además le sobra el término de la fuerza de Coriolis que es radial.
Saludos.
Se me olvidaba:No es correcto.
Por la segunda ley de Newton:
\( \hat{r}: mΩ^2r-mgcos(θ)-N=0 \) (es igual a 0 porque el radio no cambia y \( r''=0 \))
\( \hat{θ}: mγr+k(l_o-θ)-2mΩrθ'=mθ'' \)
\( \hat{z}: 0 \) (no hay ninguna fuerza actuando en este eje)
Creo que esto es correcto.
En la primera no es cero la aceleración aunque no cambie el radio, pero si existe respecto del sistema rotatorio una aceleración centrípeta , ya que la masa gira circularmente respecto a este con velocidad angular \( \theta ' \) además te falta añadir la fuerza de Coriolis que es radial.
La segunda ecuación, dimensionalmente esta mal mezclas resta de ángulo con longitud del resorte y al segundo término de la igualdad le falta el radio, además le sobra el término de la fuerza de Coriolis que es radial.
Saludos.
Correcto.Se me olvidaba:No es correcto.
Por la segunda ley de Newton:
\( \hat{r}: mΩ^2r-mgcos(θ)-N=0 \) (es igual a 0 porque el radio no cambia y \( r''=0 \))
\( \hat{θ}: mγr+k(l_o-θ)-2mΩrθ'=mθ'' \)
\( \hat{z}: 0 \) (no hay ninguna fuerza actuando en este eje)
Creo que esto es correcto.
En la primera no es cero la aceleración aunque no cambie el radio, pero si existe respecto del sistema rotatorio una aceleración centrípeta , ya que la masa gira circularmente respecto a este con velocidad angular \( \theta ' \) además te falta añadir la fuerza de Coriolis que es radial.
La segunda ecuación, dimensionalmente esta mal mezclas resta de ángulo con longitud del resorte y al segundo término de la igualdad le falta el radio, además le sobra el término de la fuerza de Coriolis que es radial.
Saludos.
A ver entonces si entendí bien.
1. La primera ecuación tiene aceleración centrífuga para permitir el movimiento circular de la bolita. Tendría que igualarla a \( mR(θ')^2 \). Además, tengo que agregar la fuerza de Coriolis.
2. En la segunda tengo que reemplazar \( θ \) por \( θR \) en la parte del resorte y \( mθ'' \) por \( mRθ'' \), y sacar el termino de coriolis.
Una vez hechas esas correcciones, el problema debería salir.
\( \vec{r(t)}=rsen(\psi+\theta)\vec{i}+rcos(\psi+\theta)\vec{j} \)
La velocidad, considerando \( \psi'=\Omega \)
\( \vec{r'(t)}=rcos(\psi+\theta)(\Omega+\theta')\vec{i}-rsen(\psi-\theta)(\Omega-\theta')\vec{j} \)
Una última cosa, no quiero ser pesado, pero el enunciado no es nada claro, no te dice nada del plano de giro del aro.
¿Estas seguro que la gravedad influye? es decir, ¿estas seguro que gira verticalmente ? o ¿puede girar el aro en un plano horizontal? si es esto último se simplifica los puntos de equilibrio, ya que la gravedad se anula con la componente normal y no hay movimiento verticalmente.
Para los puntos de equilibrio en este caso, tendrías que ver que en dirección \( \hat{\theta} \) si no hay aceleración en el sistema no inercial, la fuerza elástica se iguala a la de inercia y la velocidad también es cero ya que la fuerza de inercia es constante y al serlo también la elástica quiere decir que el resorte no se estira ni se encoge , por ello la masa se halla en reposo respecto al S.R. rotatorio y desaparece la aceleración de Coriolis.
En otro caso es bastante más complejo ya que el resorte se estiraría y encogería en función de si la masa sube o baja ( suponemos el aro en un plano vertical ) lo que si ocurriría a largo plazo , es que la fuerza de inercia de la aceleración del aro se compensa con la fuerza del resorte que se opone, se podría considerar esta nueva posición del resorte como un nuevo punto de "equilibrio" del resorte ( con una nueva\( l_o \)) y a partir de entonces, solo afectarían la fuerza elástica y la componente tangencial de la gravitatoria que se oponen , produciendo un movimiento oscilante circular respecto al sistema no inercial. Pero ya digo que este caso es más complejo.
Hola
Las leyes de Newton, son válidas en las referencias inerciales, entiendo que bajo ciertas circunstancias se utilizan las referencias móviles. Un análisis para referencias inerciales lo muestro, adjunto un esquema :
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=114583.0;attach=22302)
La referencia XY es inercial, solidaria a la tierra.Hay un extremo del resorte solidario al aro y forma un ángulo \( \psi \) con la parte positiva del eje Y, la velocidad angular de su radio vector es igual a la velocidad angular del aro \( \psi'=\Omega \)
; mientras el resorte abraza un arco \( \theta \), en consecuencia la posición de la bolita queda determinada por el ángulo \( \psi+\theta \), su vector posición para un t genérico será :
\( \vec{r(t)}=rsen(\psi+\theta)\vec{i}+rcos(\psi+\theta)\vec{j} \)
La velocidad, considerando \( \psi'=\Omega \)
\( \vec{r'(t)}=rcos(\psi+\theta)(\Omega+\theta')\vec{i}-rsen(\psi+\theta)(\Omega+\theta')\vec{j} \)
Su aceleración
\( \vec{r''(t)}=r(-sen(\psi+\theta)(\Omega+\theta')^2+cos(\psi+\theta)(\gamma+\theta''))\vec{i}-r(cos(\psi+\theta)(\Omega+\theta')^2+sen(\psi+\theta)(\gamma+\theta''))\vec{j} \)
Por otro lado la suma de fuerzas (elástica y normal) será :
\( \vec{F}=N(sen(\psi+\theta)\vec{i}+cos(\psi+\theta)\vec{j})+k(l_0-r \theta)(cos(\psi+\theta)\vec{i}-sen(\psi+\theta)\vec{j}) \)
Aplicando la 2da Ley de Newton
\( \vec{F}=m\vec{r''(t)} \)
Continuando con el análisis del problema, utilizando una referencia inercial XY, y considerando que el aro rota en un plano horizontal, paralelo a tierra. El esquema es el mismo, ahí se indica el sentido de rotación del aro, considerándolo positivo ; se esta suponiendo que \( \psi \) es el ángulo determinado por el extremo del resorte fijo al aro y \( \theta \) el ángulo determinado por el extremo móvil del resorte y el extremo fijo del resorte (arco que abraza el resorte), es obvio que el extremo móvil coincide con la bolita, los sentidos positivos de ambos ángulos estan mostrados en el esquema; en esas condiciones \( \psi \) es un ángulo respecto a la referencia inercial; mientras que \( \theta \) es un ángulo respecto a la referencia solidaria al aro; por ello la obtención de \( \theta(t) \) es la solución que se pide, aún cuando este dentro de un análisis con referencia inercial, en esas circunstancias es válido, no entiendo bien la observación de robinlambada, en otras palabras \( \vec{r(t)} \) y \( \psi' \) son lo que he puesto :Hola
Las leyes de Newton, son válidas en las referencias inerciales, entiendo que bajo ciertas circunstancias se utilizan las referencias móviles. Un análisis para referencias inerciales lo muestro, adjunto un esquema :
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=114583.0;attach=22302)
La referencia XY es inercial, solidaria a la tierra.Hay un extremo del resorte solidario al aro y forma un ángulo \( \psi \) con la parte positiva del eje Y, la velocidad angular de su radio vector es igual a la velocidad angular del aro \( \psi'=\Omega \)
; mientras el resorte abraza un arco \( \theta \), en consecuencia la posición de la bolita queda determinada por el ángulo \( \psi+\theta \), su vector posición para un t genérico será :
\( \vec{r(t)}=rsen(\psi+\theta)\vec{i}+rcos(\psi+\theta)\vec{j} \)
La velocidad, considerando \( \psi'=\Omega \)
\( \vec{r'(t)}=rcos(\psi+\theta)(\Omega+\theta')\vec{i}-rsen(\psi+\theta)(\Omega+\theta')\vec{j} \)
Su aceleración
\( \vec{r''(t)}=r(-sen(\psi+\theta)(\Omega+\theta')^2+cos(\psi+\theta)(\gamma+\theta''))\vec{i}-r(cos(\psi+\theta)(\Omega+\theta')^2+sen(\psi+\theta)(\gamma+\theta''))\vec{j} \)
Por otro lado la suma de fuerzas (elástica y normal) será :
\( \vec{F}=N(sen(\psi+\theta)\vec{i}+cos(\psi+\theta)\vec{j})+k(l_0-r \theta)(cos(\psi+\theta)\vec{i}-sen(\psi+\theta)\vec{j}) \)
Aplicando la 2da Ley de Newton
\( \vec{F}=m\vec{r''(t)} \)
Continuando :
Dirección x
\( Nsen(\psi+\theta)+k(l_0-r \theta)cos(\psi+\theta)=mr \ (-sen(\psi+\theta)(\Omega+\theta')^2+cos(\psi+\theta)(\gamma+\theta'')) \) Ec. 1
Dirección y
\( Ncos(\psi+\theta)-k(l_0-r \theta)sen(\psi+\theta)=-mr \ (cos(\psi+\theta)(\Omega+\theta')^2+sen(\psi+\theta)(\gamma+\theta'')) \) Ec. 2
Multiplicando la Ec. 1 por \( cos(\psi+\theta) \) y la Ec. 2 por \( -sen(\psi+\theta) \) y sumando ambas ecuaciones se tiene :
\( k(l_0-r \theta)=mr(\gamma+\theta'') \)
Poniendo en la forma adecuada :
\( \theta''+(\frac{k}{m}) \ \theta=(\frac{\pi k}{2m}-\gamma) \)
Esto se puede resolver es la suma de la solución homogénea y una solución particular, considerando las condiciones iniciales :
\( \theta(0)=\theta_0=\frac{\pi}{2} \)
\( \theta'(0)=\Omega_0 \) tiene la misma velocidad angular, que el aro.
Terminaré de desarrollar el problema el lunes si Dios quiere.
Saludos
Nota 1: El sentido de rotación del aro, se ha considerado positivo, esto no es lo que usualmente se considera (positivo sentido antihorario) pero teniendo esta consideración los resultados son objetivos,
En resumidas cuentas la diferencia entre resolver con fuerzas ficticias en un SRnI y sin ellas en un SRI es un simple pasaje de términos, y en interpretarlos correctamente a cada uno.
Continuando con el análisis del problema, utilizando una referencia inercial XY, y considerando que el aro rota en un plano horizontal, paralelo a tierra. El esquema es el mismo, ahí se indica el sentido de rotación del aro, considerándolo positivo ; se esta suponiendo que \( \psi \) es el ángulo determinado por el extremo del resorte fijo al aro y \( \theta \) el ángulo determinado por el extremo móvil del resorte y el extremo fijo del resorte (arco que abraza el resorte), es obvio que el extremo móvil coincide con la bolita, los sentidos positivos de ambos ángulos estan mostrados en el esquema; en esas condiciones \( \psi \) es un ángulo respecto a la referencia inercial; mientras que \( \theta \) es un ángulo respecto a la referencia solidaria al aro; por ello la obtención de \( \theta(t) \) es la solución que se pide, aún cuando este dentro de un análisis con referencia inercial, en esas circunstancias es válido, no entiendo bien la observación de robinlambada, en otras palabras \( \vec{r(t)} \) y \( \psi' \) son lo que he puesto :
Poniendo en la forma adecuada :Ya que la fuerza de inercia que experimenta la bola debida al giro del aro que es constante, desde un S.R.no I. sería aproximadamente equivalente a si colgamos verticalmente del resorte una masa que haga la misma función que la fuerza de inercia.
\( \theta''+(\frac{k}{m}) \ \theta=(\frac{\pi k}{2m}-\gamma) \)
Esto se puede resolver es la suma de la solución homogénea y una solución particular, considerando las condiciones iniciales :
\( \theta(0)=\theta_0=\frac{\pi}{2} \)
\( \theta'(0)=\Omega_0 \) tiene la misma velocidad angular, que el aro.
Hola:Continuando con el análisis del problema, utilizando una referencia inercial XY, y considerando que el aro rota en un plano horizontal, paralelo a tierra. El esquema es el mismo, ahí se indica el sentido de rotación del aro, considerándolo positivo ; se esta suponiendo que \( \psi \) es el ángulo determinado por el extremo del resorte fijo al aro y \( \theta \) el ángulo determinado por el extremo móvil del resorte y el extremo fijo del resorte (arco que abraza el resorte), es obvio que el extremo móvil coincide con la bolita, los sentidos positivos de ambos ángulos estan mostrados en el esquema; en esas condiciones \( \psi \) es un ángulo respecto a la referencia inercial; mientras que \( \theta \) es un ángulo respecto a la referencia solidaria al aro; por ello la obtención de \( \theta(t) \) es la solución que se pide, aún cuando este dentro de un análisis con referencia inercial, en esas circunstancias es válido, no entiendo bien la observación de robinlambada, en otras palabras \( \vec{r(t)} \) y \( \psi' \) son lo que he puesto :
Hemos interpretado de forma diferente como se mide el ángulo \( \theta \), tu lo mides como la amplitud angular del resorte, y yo pensé que lo medias desde la posición de equilibrio del resorte hasta el extremo unido a la masa, es decir que \( \theta \) , según mi interpretación mediría la variación angular del extremo del resorte respecto de su posición de equilibrio. Entonce visto así la consideración de signos es correcta.
Entonces si no interpretado mal, \( \theta\geq{}0\, \forall{}t \) , entendiendo que el resorte no se puede comprimir una cantidad negativa (por razones físicas)
También era previsible en cierta medida tu ecuación , desde el punto de vista de un S.R. no inercial:Cita de: delmarPoniendo en la forma adecuada :Ya que la fuerza de inercia que experimenta la bola debida al giro del aro que es constante, desde un S.R.no I. sería aproximadamente equivalente a si colgamos verticalmente del resorte una masa que haga la misma función que la fuerza de inercia.
\( \theta''+(\frac{k}{m}) \ \theta=(\frac{\pi k}{2m}-\gamma) \)
Esto se puede resolver es la suma de la solución homogénea y una solución particular, considerando las condiciones iniciales :
\( \theta(0)=\theta_0=\frac{\pi}{2} \)
\( \theta'(0)=\Omega_0 \) tiene la misma velocidad angular, que el aro.
Es decir un observador situado en el extremo fijo del resorte (girando con este ) vería el "mismo" efecto que si se colgara de repente una masa de un muelle verticalmente ( salvo la curvatura circular del muelle) , observaría un oscilador armónico.
Saludos.