Rincón Matemático

Disciplinas relacionadas y temas generales => Temas de Física => Mensaje iniciado por: jorge_nunez en 14 Octubre, 2020, 06:00 pm

Título: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: jorge_nunez en 14 Octubre, 2020, 06:00 pm
Buenos días. ¿Cómo andan? Tengo problemas con un ejercicio. Dice lo siguiente.

Una bolita de masa \( m \) se halla engarzada a un aro circular de radio \( R \) y sujeta a un resorte de constante elástica \( k \) y longiutd natural \( l_o=\frac{Rπ}{2} \). El sistema se encuentra rotando al rededor de un eje fijo perpendicular al aro con una velocidad angular de \( Ω=Ω_o+γt \). Resuelva el problema desde un sistema de referencia fijo al aro. (adjunté la imagen que aparece en el ejercicio, al cual le agregué los ejes que usé y el diagrama de cuerpo libre hecho por mi).

a) Indique las fuerzas y pseudofuerzas que actúan sobre la masa y escriba las ecuaciones de Newton para t>0.
b) Halle los puntos de equilibrio y resuelva la ecuación de movimiento considerando que inicialmente \( m \) se encuentra en reposo (con respecto al aro) en \( θ=θ_o \).

Una cosa antes de explicar lo que intenté: las notaciones cambian mucho según el libro o la universidad a la que uno vaya. Obviamente, yo usé la que me explicaron en la mía, asique prefiero aclarar antes de que empiecen a leer la resolución:
- \( Ω(t) \) es la velocidad angular y \( γ \) es la aceleración angular.
- Las pseudofuerzas las voy a anotar más abajo cuando resuelva, pero puede que tengan diferentes notaciones. Aún así, creo que se va a entender, pero cualquier cosa me preguntan.

Bien... lo que hice fue:

Inciso a) Hice el DCL (adjunto). Las fuerzas en azul son reales y las fuerzas en rojo son pseudofuerzas. Busqué las tres pseudofuerzas, considernado:

\( \overline{Ω}=Ω\widehat{z} \); \( \bar{γ}=γ\hat{z} \); \( \bar{r}=r\hat{r} \) y \( V_{rot}=rθ'\hat{θ} \)

Entonces:

·\( \bar{F}_{cent}=-m\overline{Ω}X(\overline{Ω}X\overline{r})=mΩ^2r\hat{r} \)
·\( \bar{F}_{cor}=-2m\bar{Ω}X\bar{V}_{rot}=-2mΩrθ'\hat{θ} \)
·\( F_{γ}=-m\bar{γ}X\bar{r}=mγr\hat{θ} \)

Por la segunda ley de Newton:
\( \hat{r}: mΩ^2r-mgcos(θ)-N=0 \) (es igual a 0 porque el radio no cambia y \( r''=0 \))
\( \hat{θ}: mγr+k(l_o-θ)-2mΩrθ'=mθ'' \)
\( \hat{z}: 0 \) (no hay ninguna fuerza actuando en este eje)

Creo que esto es correcto. El problema viene en el punto b)

Inciso b) Los puntos de equilibrio, que los llamo \( θ_{eq} \), son tales que \( θ''=0 \). Aplicando esto en la segunda ecuación:

\( mγr+k(l_o-θ)-2mΩrθ'=0 \)

Reacomodando, obtengo:

\( mγr+kl_o=kθ+2mΩrθ' \)

Y hasta ahí llego. No sé cómo sacarme de encima \( θ' \). Si intento integrar también tendría que integrar \( θ \) y no me sirve (creo).

Y en cuanto a la ecuación de movimiento, usé la misma ecuación y llego a:

\( γr+\frac{k}{m}l_o=θ''+2Ωrθ'+\frac{k}{m}θ \)

Puedo pensar en la solución general como la suma de una solución homogénea más una particular. La particular puede ser una constante C. Reemplazando llego a:

\( C=\frac{m}{k}γr+l_o \)

Pero no sé cómo obtener la homogénea. ¿Alguna ayuda?.

Muchas gracias.
Título: Re: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: Richard R Richard en 14 Octubre, 2020, 07:33 pm
Hola Jorge las fuerzas ficticias son siempre un lio, espero poderte guiar,
porque crees que hay fuerza de coriolis, así como indica el grafico,
no veo intervenir en la solucion del problema la constante elastica, o almenos no detecto la notación.Edito la vi en Theta
porque el resorte seguiria una curva de la circunferencia?, es así el dibujo?, o es tu interpretación?..


mi forma de verlo es la bola es libre no viaja en el mismo radio que el aro, el angulo que forma el resorte y la tangente a la circunferencia, depende de la centrifuga y la aceleracion tangencial,el resorte se estira recto a medida que acelera, eso cambia el radio y entonces si  produce coriolis, pero como tu lo planteas no.


la fuerza tangencial y centrifuga serian responsables del estirmiento del resorte, y coriolis del cambio del angulo, ,  Bienvenidas otras ideas muchos ojos ven mas que dos.
Título: Re: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: jorge_nunez en 14 Octubre, 2020, 07:47 pm
Hola Richard. Gracias por responder. En cuanto a tus consultas:
1. En realidad, el DCL lo hice después de calcular las fuerzas. Lo tendría que haber aclarado. Por lo tanto, la fuerza de coriolis queda así porque es cómo la calculé.
2. La constante elástica es \( k \). La uso en la ecuación en el eje \( \hat{θ} \) (que es la que uso para resolver el inciso b).
3. El resorte sigue una curva por el dibujo. La figura de la izquierda es sacada del enunciado mismo, excepto los ejes \( r, θ \) y \( z \) que los agregué yo para que vieran el sistema que usé. En otros ejercicios de la guía usan el mismo método (resorte que sigue una curva) y los resultados dan bien. Sería como que el resorte esta "enganchado" en el aro.

Según mi planteo, tiene fuerza de coriolis porque la calculo con \( F_{cor}=-2m\bar{Ω}X\bar{V}_{rot} \), donde \( {V}_{rot} \) es la velocidad medida por el observador no inercial. El radio no se modifica, pero el angulo sí, siendo entonces \( \bar{V}_{rot}=rθ'\hat{θ} \).

Igual, como bien dijiste, las fuerzas ficticias son complicadas y es muy probable que me haya confundido, pero no veo en dónde.
Título: Re: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: jorge_nunez en 14 Octubre, 2020, 07:49 pm
Ahora que lo pienso, en realidad el ángulo tampoco se modifica porque el observador esta rotando junto al aro, por lo que no ve el ángulo aumentar. Tiene sentido que no haya coriolis. Voy a ver si puedo preguntar en la clase, pero en realidad este es un ejercicio de una guía vieja y ya no ven rotaciones aceleradas, por lo que no sé si me lo van a contestar. Encima las clases virtuales no ayudan a poder hacer preguntas por separado.

Gracias.
Título: Re: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: Richard R Richard en 14 Octubre, 2020, 08:38 pm
Bueno, y si el movimiento esta restrigido a la circunferencia, la centrifuga es perpendicular a la circunferencia, luego su accion como fuerza es nula, el resorte se estiraría unicamente para compensar a la aceleración angular.
Título: Re: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: jorge_nunez en 14 Octubre, 2020, 10:23 pm
Bueno, y si el movimiento esta restrigido a la circunferencia, la centrifuga es perpendicular a la circunferencia, luego su accion como fuerza es nula, el resorte se estiraría unicamente para compensar a la aceleración angular.

No entendí lo de la acción de la fuerza centrífuga es nula. ¿Significa que es 0 o que no provoca aceleración? La parte del resorte la entiendo.

La fuerza \( F_γ \) ¿existe? (para el observador no inercial) y \( F_{cor} \) ¿no existiría?

Porque lo volví a pensar y el observador no inercial si ve que varía el ángulo, pero no podría explicar el movimiento usando únicamente la fuerza del resorte.
Título: Re: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: Richard R Richard en 15 Octubre, 2020, 12:23 am
Hola fíjate que el anillo y la bola son solidarios a la circunferencia radialmente, es decir la fuerza centrifuga actúa sobre ellos, pero la circunferencia impide que se muevan por medio una fuerza de reacción o vinculo normal, luego el aporte es \( F_c+N=0 \) en dirección radial, el observador del anillo, solo ve estirarse el resorte , porque hay una fuerza que acelera el sistema tangencialmente, toda la fuerza de coriolis y centrifuga es contenida por la reacción de la circunferencia .
Título: Re: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: jorge_nunez en 15 Octubre, 2020, 12:34 am
Ya casi lo tengo, pero sigo sin entender por qué al calcular la fuerza de colioris me queda un resultado en el eje \( \hat{θ} \). ¿Esta bien el modo que uso para calcularla o se tendría que hacer de otra forma que termine siendo nula?

Edit: me parece que mi error principal es al calcular \( \bar{V}_{rot} \), que, por lo que tenía entendido, es la velocidad que observa alguien en el sistema no inercial. Según esa lógica, sólo vería velocidad en el eje \( \hat{θ} \) y sería igual a \( \bar{V}_{rot}=rθ'\hat{θ} \) ¿Me estoy confundiendo al calcularla o directamente no es lo que pienso?
Título: Re: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: Richard R Richard en 15 Octubre, 2020, 12:43 am
Para mi coriolis  es la aceleracion que provoca una trayectoria curva desde la óptica del observador acelerado , pero en este caso la partícula no esta libre, solo puede seguir la órbita solidaria a la circunferencia, alejándose o acercándose según sea la aceleración tangencial.
Espera algún otro aporte que lo confirme o me contradiga.
Título: Re: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: jorge_nunez en 15 Octubre, 2020, 12:52 am
Ok. Sin coriolis se vuelve sencillo el problema (al menos, así pareciera) asique espero que tengas razón jaja

¿Conoces algún buen libro que hable bien del tema de sistemas no inerciales rotacionales? Los que me recomiendan en la universidad no son lo suficientemente buenos.
Título: Re: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: Richard R Richard en 15 Octubre, 2020, 01:28 am

Yo la carrera la hice , leyendo el Tipler


Paul Allen Tipler


536 paginas
Isbn
8431402776
Isbn13
9788431402778




y el Resnick
David Halliday; Robert Resnick
 páginas 568
Isbn
9702402573
Isbn13
9789702402572








Título: Re: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: delmar en 15 Octubre, 2020, 02:29 am
Hola

Las leyes de Newton, son válidas en las referencias inerciales, entiendo que bajo ciertas circunstancias se utilizan las referencias móviles. Un análisis para referencias inerciales lo muestro, adjunto un esquema :

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=114583.0;attach=22302)

La referencia XY es inercial, solidaria a la tierra.Hay un extremo del resorte solidario al aro y forma un ángulo \( \psi \) con la parte positiva del eje Y, la velocidad angular de su radio vector es igual a la velocidad angular del aro \( \psi'=\Omega \)
; mientras el resorte abraza un arco \( \theta \), en consecuencia la posición de la bolita queda determinada por el ángulo \( \psi+\theta \), su vector posición para un t genérico será :

\( \vec{r(t)}=rsen(\psi+\theta)\vec{i}+rcos(\psi+\theta)\vec{j} \)

La velocidad, considerando \( \psi'=\Omega \)

\( \vec{r'(t)}=rcos(\psi+\theta)(\Omega+\theta')\vec{i}-rsen(\psi+\theta)(\Omega+\theta')\vec{j} \)

Su aceleración

\( \vec{r''(t)}=r(-sen(\psi+\theta)(\Omega+\theta')^2+cos(\psi+\theta)(\gamma+\theta''))\vec{i}-r(cos(\psi+\theta)(\Omega+\theta')^2+sen(\psi+\theta)(\gamma+\theta''))\vec{j} \)

Por otro lado la suma de fuerzas (gravitatoria , elástica y normal) será :

\( \vec{F}=-mg\vec{j}+N(sen(\psi+\theta)\vec{i}+cos(\psi+\theta)\vec{j})+k(l_0-r \theta)(cos(\psi+\theta)\vec{i}-sen(\psi+\theta)\vec{j}) \)

Aplicando la 2da Ley de Newton

\( \vec{F}=m\vec{r''(t)} \)

Se hacen algunos arreglos y se llega a resolver el problema.

Saludos
Título: Re: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: jorge_nunez en 15 Octubre, 2020, 03:00 am
Paul Allen Tipler


Muchas gracias. El Resnick lo tengo, pero no lo leí muy en profundidad. Ahora me fijo. El de Tipler ¿es el que se llama "Física moderna"?


Delmar

Perdón, no entendí lo que quisiste decir.
Título: Re: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: delmar en 15 Octubre, 2020, 03:11 am
Es una solución utilizando la referencia inercial.

Saludos
Título: Re: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: jorge_nunez en 15 Octubre, 2020, 03:14 am
La primera vez que entré, sólo me apareció hasta el gráfico y no las cuentas  :o. Ahora me vuelvo a fijar tu respuesta y te contesto si la entendí.
Título: Re: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: jorge_nunez en 15 Octubre, 2020, 03:21 am
Es una solución utilizando la referencia inercial.

Saludos

Ya lo leí. Entiendo la resolución, pero nos piden plantear el problema desde un marco de referencia no inercial fijo al aro, por lo que pueden llegar a aparecer las fuerzas de coriolis, centrífuga y de Euler. En sí, no es tan difícil, pero llego a ecuaciones que no puedo resolver.
Título: Re: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: Richard R Richard en 15 Octubre, 2020, 12:37 pm
Si el sistema rotara a velocidad constante, la posición del anillo es constante en el SRnI, luego no habría que introducir coriolis para explicar su movimiento.
Si el anillo se aleja del anclaje es debido a la aceleración que le da el resorte, el cambio de ángulo que barre se debe a un equilibrio entre la centrífuga y la normal de la circunferencia en contacto con el anillo.
Título: Re: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: robinlambada en 15 Octubre, 2020, 07:57 pm
Buenas.
Primero hay que dejar claro cual es el S.R. No inercial.
Entiendo que el aro esta girando con una aceleración angular, también que un extremo del resorte está fijo al aro y gira con la misma velocidad angular que este, el otro extremo esta fijo a la masa que se puede deslizar por el aro y por tanto la velocidad angular de la masa es distinta a la del aro y por tanto a la del otro extremo del resorte. (todo esto visto desde un S.R. inercial.)

Si tomamos como S.R. no inercial su origen el centro del aro, un eje el radio que va del centro al extremo del muelle (solidario al aro ) y otro perpendicular a este en el plano del aro, entonces, si existe fuerza de Coriolis ya que la masa se desplaza con velocidad distinta de cero respecto al extremo opuesto del resorte, ya que se puede estirar y encoger, y su velocidad respecto a este como comento Jorge es \( V_R=r\theta ' \hat{\theta} \)

Pero has cometido un error al calcular la Fuerza de Coriolis, ya que es perpendicular a la velocidad \( V_R \) y al la velocidad angular, por tanto tendrá dirección radial.

Solo he visto la primera parte de la resolución, si modificas este apunte, ya los demás deben de salirte.

Saludos.
P.D.:La clave aquí es saber cual es el sistema no inercial y lo normal es el que yo planteo, es decir uno rotatorio con velocidad angular \( \Omega \)
Título: Re: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: robinlambada en 15 Octubre, 2020, 08:13 pm
Se me olvidaba:

Por la segunda ley de Newton:
\( \hat{r}: mΩ^2r-mgcos(θ)-N=0 \) (es igual a 0 porque el radio no cambia y \( r''=0 \))
\( \hat{θ}: mγr+k(l_o-θ)-2mΩrθ'=mθ'' \)
\( \hat{z}: 0 \) (no hay ninguna fuerza actuando en este eje)

Creo que esto es correcto.
No es correcto.
En la primera no es cero la aceleración aunque no cambie el radio, pero si existe respecto del sistema rotatorio una aceleración centrípeta , ya que la masa gira circularmente respecto a este con velocidad angular \( \theta ' \) además te falta añadir la fuerza de Coriolis que es radial.

La segunda ecuación, dimensionalmente esta mal mezclas resta de ángulo con longitud del resorte y al segundo término de la igualdad le falta el radio, además le sobra el término de la fuerza de Coriolis que es radial.

Saludos.
Título: Re: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: jorge_nunez en 16 Octubre, 2020, 02:10 am

Pero has cometido un error al calcular la Fuerza de Coriolis, ya que es perpendicular a la velocidad \( V_R \) y al la velocidad angular, por tanto tendrá dirección radial.


Es verdad. Error casi infantil.

Gracias.
Título: Re: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: jorge_nunez en 16 Octubre, 2020, 02:13 am

No es correcto.
En la primera no es cero la aceleración aunque no cambie el radio, pero si existe respecto del sistema rotatorio una aceleración centrípeta , ya que la masa gira circularmente respecto a este con velocidad angular \( \theta ' \) además te falta añadir la fuerza de Coriolis que es radial.

La segunda ecuación, dimensionalmente esta mal mezclas resta de ángulo con longitud del resorte y al segundo término de la igualdad le falta el radio, además le sobra el término de la fuerza de Coriolis que es radial.

Saludos.

Ya entendí. La segunda ecuación la voy a tener que pensar un poco más, porque el resorte se estira en una curva y en este momento estoy muy cansado como para pensar cómo hacerlo, pero ya entendí el error.

Gracias.
Título: Re: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: jorge_nunez en 16 Octubre, 2020, 04:27 am
Se me olvidaba:

Por la segunda ley de Newton:
\( \hat{r}: mΩ^2r-mgcos(θ)-N=0 \) (es igual a 0 porque el radio no cambia y \( r''=0 \))
\( \hat{θ}: mγr+k(l_o-θ)-2mΩrθ'=mθ'' \)
\( \hat{z}: 0 \) (no hay ninguna fuerza actuando en este eje)

Creo que esto es correcto.
No es correcto.
En la primera no es cero la aceleración aunque no cambie el radio, pero si existe respecto del sistema rotatorio una aceleración centrípeta , ya que la masa gira circularmente respecto a este con velocidad angular \( \theta ' \) además te falta añadir la fuerza de Coriolis que es radial.

La segunda ecuación, dimensionalmente esta mal mezclas resta de ángulo con longitud del resorte y al segundo término de la igualdad le falta el radio, además le sobra el término de la fuerza de Coriolis que es radial.

Saludos.

A ver entonces si entendí bien.

1. La primera ecuación tiene aceleración centrífuga para permitir el movimiento circular de la bolita. Tendría que igualarla a \( mR(θ')^2 \). Además, tengo que agregar la fuerza de Coriolis.
2. En la segunda tengo que reemplazar \( θ \) por \( θR \) en la parte del resorte y \( mθ'' \) por \( mRθ'' \), y sacar el termino de coriolis.

Una vez hechas esas correcciones, el problema debería salir.
Título: Re: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: robinlambada en 16 Octubre, 2020, 07:07 pm
Se me olvidaba:

Por la segunda ley de Newton:
\( \hat{r}: mΩ^2r-mgcos(θ)-N=0 \) (es igual a 0 porque el radio no cambia y \( r''=0 \))
\( \hat{θ}: mγr+k(l_o-θ)-2mΩrθ'=mθ'' \)
\( \hat{z}: 0 \) (no hay ninguna fuerza actuando en este eje)

Creo que esto es correcto.
No es correcto.
En la primera no es cero la aceleración aunque no cambie el radio, pero si existe respecto del sistema rotatorio una aceleración centrípeta , ya que la masa gira circularmente respecto a este con velocidad angular \( \theta ' \) además te falta añadir la fuerza de Coriolis que es radial.

La segunda ecuación, dimensionalmente esta mal mezclas resta de ángulo con longitud del resorte y al segundo término de la igualdad le falta el radio, además le sobra el término de la fuerza de Coriolis que es radial.

Saludos.

A ver entonces si entendí bien.

1. La primera ecuación tiene aceleración centrífuga para permitir el movimiento circular de la bolita. Tendría que igualarla a \( mR(θ')^2 \). Además, tengo que agregar la fuerza de Coriolis.
2. En la segunda tengo que reemplazar \( θ \) por \( θR \) en la parte del resorte y \( mθ'' \) por \( mRθ'' \), y sacar el termino de coriolis.

Una vez hechas esas correcciones, el problema debería salir.
Correcto.

Saludos.
Título: Re: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: jorge_nunez en 16 Octubre, 2020, 07:37 pm
Muchísimas gracias a todos los que respondieron. Voy a intentar hacer el ejercicio hoy para asegurarme que no me quede ninguna duda.

Saludos.
Título: Re: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: robinlambada en 16 Octubre, 2020, 07:44 pm
Pero tienes otro pequeño error que acabo de advertir en la ecuación de fuerzas tangenciales, ojo que la fuerza elástica se opone a la fuerza inercial del aro girando  \( mγr \), por tanto si el aro gira de forma horaria el muelle se encoje de su posición inicial debida a la fuerza de inercia  \( mγr \) en sentido antihorario y el muelle para restablecer el equilibrio de fuerzas se opone con una fuerza elástica en sentido horario, y al revés si el aro gira en sentido anti horario, en todo caso la fuerza  \( mγr \) y \( k(l_o-rθ) \) tienen sentidos opuestos y por tanto signos opuestos.

Si pones  \( k(l_o-rθ) \) das a entender que el muelle se encoje, por tanto asumes giro horario, en caso de anti horario sería  \( k(l_o+rθ) \)

Además siempre \( \vec{\Omega} \) y \( \vec{\theta} \), tienen sentido de giro contrarios.

Por ese pequeño detalle delmar cometió un desliz en:

\( \vec{r(t)}=rsen(\psi+\theta)\vec{i}+rcos(\psi+\theta)\vec{j} \)

La velocidad, considerando \( \psi'=\Omega \)

\( \vec{r'(t)}=rcos(\psi+\theta)(\Omega+\theta')\vec{i}-rsen(\psi-\theta)(\Omega-\theta')\vec{j} \)


\( \vec{r(t)}=rsen(\psi-\theta)\vec{i}+rcos(\psi-\theta)\vec{j} \)

Esto sería así si \( \psi \) mide el ángulo de giro del aro desde posición la de equilibrio del resorte en el instante inicial hasta la posición de equilibrio del resorte en un instante t.

\( \vec{r'(t)}=rcos(\psi-\theta)(\Omega-\theta')\vec{i}-rsen(\psi-\theta)(\Omega-\theta')\vec{j} \)

En todo caso siempre las velocidades angulares se oponen.

Título: Re: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: robinlambada en 16 Octubre, 2020, 08:10 pm
Una última cosa, no quiero ser pesado, pero el enunciado no es nada claro, no te dice nada del plano de giro del aro.

¿Estas seguro que la gravedad influye? es decir, ¿estas seguro que gira verticalmente ? o ¿puede girar el aro en un plano horizontal? si es esto último se simplifica los puntos de equilibrio, ya que la gravedad se anula con la componente normal y no hay movimiento verticalmente.

Para los puntos de equilibrio en este caso, tendrías que ver que en dirección \( \hat{\theta} \) si no hay aceleración en el sistema no inercial, la fuerza elástica se iguala a la de inercia y la velocidad también es cero ya que la fuerza de inercia es constante y al serlo también la elástica, quiere decir que el resorte no se estira ni se encoge , por ello la masa se halla en reposo respecto al S.R. rotatorio y desaparece la aceleración de Coriolis.


En otro caso es bastante más complejo ya que el resorte se estiraría y encogería en función de si la masa sube o baja ( suponemos el aro en un plano vertical ) lo que si ocurriría a largo plazo , es que la fuerza de inercia de la aceleración del aro se compensa con la fuerza del resorte que se opone, se podría considerar esta nueva posición del resorte como un nuevo punto de "equilibrio" del resorte ( con una nueva \(  l_o \)) y a partir de entonces, solo afectarían la fuerza elástica y la componente tangencial de la gravitatoria que se oponen , produciendo un movimiento oscilante circular respecto al sistema no inercial. Pero ya digo que este caso es más complejo.
Título: Re: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: jorge_nunez en 16 Octubre, 2020, 10:02 pm
Una última cosa, no quiero ser pesado, pero el enunciado no es nada claro, no te dice nada del plano de giro del aro.

¿Estas seguro que la gravedad influye? es decir, ¿estas seguro que gira verticalmente ? o ¿puede girar el aro en un plano horizontal? si es esto último se simplifica los puntos de equilibrio, ya que la gravedad se anula con la componente normal y no hay movimiento verticalmente.

Para los puntos de equilibrio en este caso, tendrías que ver que en dirección \( \hat{\theta} \) si no hay aceleración en el sistema no inercial, la fuerza elástica se iguala a la de inercia y la velocidad también es cero ya que la fuerza de inercia es constante y al serlo también la elástica quiere decir que el resorte no se estira ni se encoge , por ello la masa se halla en reposo respecto al S.R. rotatorio y desaparece la aceleración de Coriolis.


En otro caso es bastante más complejo ya que el resorte se estiraría y encogería en función de si la masa sube o baja ( suponemos el aro en un plano vertical ) lo que si ocurriría a largo plazo , es que la fuerza de inercia de la aceleración del aro se compensa con la fuerza del resorte que se opone, se podría considerar esta nueva posición del resorte como un nuevo punto de "equilibrio" del resorte ( con una nueva\(  l_o \)) y a partir de entonces, solo afectarían la fuerza elástica y la componente tangencial de la gravitatoria que se oponen , produciendo un movimiento oscilante circular respecto al sistema no inercial. Pero ya digo que este caso es más complejo.

No sos pesado. Al contrario, mientras más claro me quede el enunciado mejor.

Coincido en que el enunciado no es claro. En algunos ejercicios, anotan para dónde apunta la gravedad y no hay ambigüedad, pero en otros no. La verdad, asumí que era vertical sin pensarlo. Podría hacer el ejercicio como si fuera un plano horizontal y más adelante preguntale a los profesores de qué manera gira (no me acuerdo si lo dije, pero este cuatrimestre no están viendo sistemas rotantes con fuerza de Euler, asique tendría que consulatrlo por separado).

Muchas gracias
Título: Re: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: jorge_nunez en 17 Octubre, 2020, 02:19 am
Bueno a ver. Lo volví a hacer. Esta vez en un plano horizontal para simplificar las cosas. Si esta bien, lo puedo llegar a intentar con gravedad.

Primero, me di cuenta que la velocidad angular, en el sistema de referencia que elegí, es \( \bar{Ω}=-Ω\hat{z} \) y no positiva como había puesto antes.

Por otra parte, una duda con respecto a la parte del resorte y lo que anotaste sobre el signo. En sí, no tuve en cuenta la dirección de \( F_γ \), si no solamente el resorte. Lo que hago es \( \hat{r}: mγR+k(l_o-Rθ) \). Si el resorte se comprime, entonces \( (l_o-Rθ)>0 \) y la fuerza será positiva, lo que concuerda con el eje. Si \( (l_o-Rθ)<0 \), la fuerza elástica es negativa y también concuerda con el sistema de referencia.

En fin, ahora a lo que hice:

Ajunté una imagen con el nuevo DCL.

Inciso a): Lo que cambia acá es: \( \bar{Ω}=-Ω\hat{z} \), \( \bar{V}_{rot}=-Rθ'\hat{θ} \) y \( \bar{γ}=-γ\hat{z} \) (a lo que agrego que \( \bar{r}=R\hat{r} \)). Las fuerzas inerciales entonces son:

· \( F_{cent}=-m\bar{Ω}X(\bar{Ω}X\bar{r})=mΩ\hat{z}X(-Ω\hat{z}XR\hat{r})= \)\( mΩ^2R\hat{r} \)
· \( F_{cor}=-2m\bar{Ω}xV_{rot}=2mΩ\hat{z}X(-Rθ')\hat{θ}= \)\( 2mΩRθ'\hat{r} \)
· \( F_γ=-m\hat{γ}X\hat{r}=-m(-γ\hat{z)}XR\hat{r}= \)\( mγR\hat{θ} \)

Entonces, las ecuaciones de Newton quedan:

(1) \( \hat{r}: -mRθ'^2=mΩ^2R+2mΩRθ'-F_V \)
(2) \( \hat{θ}: mRθ''=mγR+kR(\frac{π}{2}-θ) \)
(3) \( \hat{z}: 0=N-mg \)

Inciso b): En los puntos de equilibrio (los llamo \( θ_{eq} \)), la aceleración se anula. Según la ecuación (2):

\( 0=mγR+kR(\frac{π}{2}-θ_{eq}) \)
\( 0=mγ+k\frac{π}{2}-kθ_{eq} \)
\( kθ_{eq}=mγ+k\frac{π}{2} \)

\( θ_{eq}=\frac{m}{k}γ+\frac{π}{2} \)

Para encontrar la ecuación de movimiento, uso la misma ecuación (2):

\( mθ''=mγ+k(\frac{π}{2}-θ) \)
\( mθ''=mγ+k\frac{π}{2}-kθ \)
\( mθ''+kθ=mγ+k\frac{π}{2} \)
\( θ''+\frac{k}{m}θ=γ+\frac{πk}{2m} \)

Llamo \( ω^2=\frac{k}{m} \). Una posible solución para esta ecuación diferencial es:

\( θ(t)=Acos(ωt+α_o)+\frac{m}{k}γ+\frac{π}{2} \) (me salteé la parte en la que busco la solución particular porque creo que es sencilla).

Y, por las condiciones iniciales (de nuevo, me salteo las cuentas, pero \( θ'(0)=0 \) y \( θ(0)=ϕ_o \), y sale).

\( θ(t)=(ϕ_o-\frac{m}{k}γ-\frac{π}{2})cos(ωt)+(\frac{m}{k}γ+\frac{π}{2}) \)
Título: Re: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: delmar en 18 Octubre, 2020, 01:22 am
Continuando con el análisis del problema, utilizando una referencia inercial XY, y  considerando que el aro  rota en un plano horizontal, paralelo a tierra. El esquema es el mismo, ahí se indica el sentido de rotación del aro, considerándolo positivo ; se esta suponiendo que \( \psi \) es el ángulo determinado por el extremo del resorte fijo al aro y \( \theta \) el ángulo determinado por el extremo móvil del resorte y el extremo fijo del resorte (arco que abraza el resorte), es obvio que el extremo móvil coincide con la bolita, los sentidos positivos de ambos ángulos estan mostrados en el esquema; en esas condiciones \( \psi \) es un ángulo respecto a la referencia inercial; mientras que \( \theta \) es un ángulo respecto a la referencia solidaria al aro; por ello la obtención de \( \theta(t) \) es la solución que se pide, aún cuando este dentro de  un análisis con referencia inercial, en esas circunstancias es válido, no entiendo bien la observación de robinlambada, en otras palabras \( \vec{r(t)} \) y \( \psi' \) son lo que he puesto  :

Hola

Las leyes de Newton, son válidas en las referencias inerciales, entiendo que bajo ciertas circunstancias se utilizan las referencias móviles. Un análisis para referencias inerciales lo muestro, adjunto un esquema :

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=114583.0;attach=22302)

La referencia XY es inercial, solidaria a la tierra.Hay un extremo del resorte solidario al aro y forma un ángulo \( \psi \) con la parte positiva del eje Y, la velocidad angular de su radio vector es igual a la velocidad angular del aro \( \psi'=\Omega \)
; mientras el resorte abraza un arco \( \theta \), en consecuencia la posición de la bolita queda determinada por el ángulo \( \psi+\theta \), su vector posición para un t genérico será :

\( \vec{r(t)}=rsen(\psi+\theta)\vec{i}+rcos(\psi+\theta)\vec{j} \)

La velocidad, considerando \( \psi'=\Omega \)

\( \vec{r'(t)}=rcos(\psi+\theta)(\Omega+\theta')\vec{i}-rsen(\psi+\theta)(\Omega+\theta')\vec{j} \)

Su aceleración

\( \vec{r''(t)}=r(-sen(\psi+\theta)(\Omega+\theta')^2+cos(\psi+\theta)(\gamma+\theta''))\vec{i}-r(cos(\psi+\theta)(\Omega+\theta')^2+sen(\psi+\theta)(\gamma+\theta''))\vec{j} \)

Por otro lado la suma de fuerzas (elástica y normal) será :

\( \vec{F}=N(sen(\psi+\theta)\vec{i}+cos(\psi+\theta)\vec{j})+k(l_0-r \theta)(cos(\psi+\theta)\vec{i}-sen(\psi+\theta)\vec{j}) \)

Aplicando la 2da Ley de Newton

\( \vec{F}=m\vec{r''(t)} \)


Continuando :

Dirección x

\( Nsen(\psi+\theta)+k(l_0-r \theta)cos(\psi+\theta)=mr \ (-sen(\psi+\theta)(\Omega+\theta')^2+cos(\psi+\theta)(\gamma+\theta'')) \) Ec. 1

Dirección y

\( Ncos(\psi+\theta)-k(l_0-r \theta)sen(\psi+\theta)=-mr \ (cos(\psi+\theta)(\Omega+\theta')^2+sen(\psi+\theta)(\gamma+\theta'')) \) Ec. 2

Multiplicando la Ec. 1 por \( cos(\psi+\theta) \) y la Ec. 2 por \( -sen(\psi+\theta) \) y sumando ambas ecuaciones se tiene :

\( k(l_0-r \theta)=mr(\gamma+\theta'') \)

Poniendo en la forma adecuada :

\( \theta''+(\frac{k}{m}) \ \theta=(\frac{\pi k}{2m}-\gamma) \)

Esto se puede resolver es la suma de la solución homogénea y una solución particular, considerando las condiciones iniciales :

\( \theta(0)=\theta_0=\frac{\pi}{2} \)

\( \theta'(0)=\Omega_0 \) tiene la misma velocidad angular, que el aro.

Terminaré de desarrollar el problema el lunes si Dios quiere.

Saludos

Nota 1: El sentido de rotación del aro, se ha considerado positivo, esto no es lo que usualmente se considera (positivo sentido antihorario) pero teniendo esta consideración los resultados son objetivos,

Título: Re: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: Richard R Richard en 18 Octubre, 2020, 05:15 pm
En un Principio plantee el sistema de referencia solidario a la base del resorte, pero veo que , lo han resuelto suponiendo el origen de coordenadas en el centro de la circunferencia, para lo cual el sistema es un SRnI acelerado angular mente con modulo iguala a la aceleración tangencial sobre el radio constante.
Desde ese sistema de referencia, lo que hay que explicar es el estiramiento y acortamiento del resorte, la falta de aceleración radial y en dirección al eje de giro es compensada por el vinculo del anillo sobre la circunferencia.


En resumidas cuentas la diferencia entre resolver con fuerzas ficticias  en un SRnI  y sin ellas en un SRI es un simple pasaje de términos, y en interpretarlos correctamente a cada uno.
Título: Re: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: jorge_nunez en 18 Octubre, 2020, 08:30 pm
Continuando con el análisis del problema, utilizando una referencia inercial XY, y  considerando que el aro  rota en un plano horizontal, paralelo a tierra. El esquema es el mismo, ahí se indica el sentido de rotación del aro, considerándolo positivo ; se esta suponiendo que \( \psi \) es el ángulo determinado por el extremo del resorte fijo al aro y \( \theta \) el ángulo determinado por el extremo móvil del resorte y el extremo fijo del resorte (arco que abraza el resorte), es obvio que el extremo móvil coincide con la bolita, los sentidos positivos de ambos ángulos estan mostrados en el esquema; en esas condiciones \( \psi \) es un ángulo respecto a la referencia inercial; mientras que \( \theta \) es un ángulo respecto a la referencia solidaria al aro; por ello la obtención de \( \theta(t) \) es la solución que se pide, aún cuando este dentro de  un análisis con referencia inercial, en esas circunstancias es válido, no entiendo bien la observación de robinlambada, en otras palabras \( \vec{r(t)} \) y \( \psi' \) son lo que he puesto  :

Hola

Las leyes de Newton, son válidas en las referencias inerciales, entiendo que bajo ciertas circunstancias se utilizan las referencias móviles. Un análisis para referencias inerciales lo muestro, adjunto un esquema :

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=114583.0;attach=22302)

La referencia XY es inercial, solidaria a la tierra.Hay un extremo del resorte solidario al aro y forma un ángulo \( \psi \) con la parte positiva del eje Y, la velocidad angular de su radio vector es igual a la velocidad angular del aro \( \psi'=\Omega \)
; mientras el resorte abraza un arco \( \theta \), en consecuencia la posición de la bolita queda determinada por el ángulo \( \psi+\theta \), su vector posición para un t genérico será :

\( \vec{r(t)}=rsen(\psi+\theta)\vec{i}+rcos(\psi+\theta)\vec{j} \)

La velocidad, considerando \( \psi'=\Omega \)

\( \vec{r'(t)}=rcos(\psi+\theta)(\Omega+\theta')\vec{i}-rsen(\psi+\theta)(\Omega+\theta')\vec{j} \)

Su aceleración

\( \vec{r''(t)}=r(-sen(\psi+\theta)(\Omega+\theta')^2+cos(\psi+\theta)(\gamma+\theta''))\vec{i}-r(cos(\psi+\theta)(\Omega+\theta')^2+sen(\psi+\theta)(\gamma+\theta''))\vec{j} \)

Por otro lado la suma de fuerzas (elástica y normal) será :

\( \vec{F}=N(sen(\psi+\theta)\vec{i}+cos(\psi+\theta)\vec{j})+k(l_0-r \theta)(cos(\psi+\theta)\vec{i}-sen(\psi+\theta)\vec{j}) \)

Aplicando la 2da Ley de Newton

\( \vec{F}=m\vec{r''(t)} \)


Continuando :

Dirección x

\( Nsen(\psi+\theta)+k(l_0-r \theta)cos(\psi+\theta)=mr \ (-sen(\psi+\theta)(\Omega+\theta')^2+cos(\psi+\theta)(\gamma+\theta'')) \) Ec. 1

Dirección y

\( Ncos(\psi+\theta)-k(l_0-r \theta)sen(\psi+\theta)=-mr \ (cos(\psi+\theta)(\Omega+\theta')^2+sen(\psi+\theta)(\gamma+\theta'')) \) Ec. 2

Multiplicando la Ec. 1 por \( cos(\psi+\theta) \) y la Ec. 2 por \( -sen(\psi+\theta) \) y sumando ambas ecuaciones se tiene :

\( k(l_0-r \theta)=mr(\gamma+\theta'') \)

Poniendo en la forma adecuada :

\( \theta''+(\frac{k}{m}) \ \theta=(\frac{\pi k}{2m}-\gamma) \)

Esto se puede resolver es la suma de la solución homogénea y una solución particular, considerando las condiciones iniciales :

\( \theta(0)=\theta_0=\frac{\pi}{2} \)

\( \theta'(0)=\Omega_0 \) tiene la misma velocidad angular, que el aro.

Terminaré de desarrollar el problema el lunes si Dios quiere.

Saludos

Nota 1: El sentido de rotación del aro, se ha considerado positivo, esto no es lo que usualmente se considera (positivo sentido antihorario) pero teniendo esta consideración los resultados son objetivos,

Entiendo, pero el enunciado pide hacerlo desde un sistema de referencia no inercial desde el aro. Por conveniencia, y como no especifican qué parte del aro, tomo el centro del mismo.

Por otra parte, tenes razón que suelen tomar sentido antihorario. De hecho, lo hacen, pero en principio me confundí yo. En realidad, ES antihorario y en la última resolución que intenté lo tomé así.
Título: Re: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: jorge_nunez en 18 Octubre, 2020, 08:35 pm
En resumidas cuentas la diferencia entre resolver con fuerzas ficticias  en un SRnI  y sin ellas en un SRI es un simple pasaje de términos, y en interpretarlos correctamente a cada uno.

Sisi. El profesor nos dice lo mismo. Cada sistema tiene sus complicaciones, pero el no inercial tiene una complicación conceptual que lo hace más difícil. La idea es que aprendamos cuando nos conviene uno y cuando otro.
Título: Re: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: robinlambada en 19 Octubre, 2020, 08:10 pm
Hola:
Continuando con el análisis del problema, utilizando una referencia inercial XY, y  considerando que el aro  rota en un plano horizontal, paralelo a tierra. El esquema es el mismo, ahí se indica el sentido de rotación del aro, considerándolo positivo ; se esta suponiendo que \( \psi \) es el ángulo determinado por el extremo del resorte fijo al aro y \( \theta \) el ángulo determinado por el extremo móvil del resorte y el extremo fijo del resorte (arco que abraza el resorte), es obvio que el extremo móvil coincide con la bolita, los sentidos positivos de ambos ángulos estan mostrados en el esquema; en esas condiciones \( \psi \) es un ángulo respecto a la referencia inercial; mientras que \( \theta \) es un ángulo respecto a la referencia solidaria al aro; por ello la obtención de \( \theta(t) \) es la solución que se pide, aún cuando este dentro de  un análisis con referencia inercial, en esas circunstancias es válido, no entiendo bien la observación de robinlambada, en otras palabras \( \vec{r(t)} \) y \( \psi' \) son lo que he puesto  :


Hemos interpretado de forma diferente como se mide el ángulo \( \theta \), tu lo mides como la amplitud angular del resorte, y yo pensé que lo medias  desde la posición de equilibrio del resorte hasta el extremo unido a la masa, es decir que \( \theta \) , según mi interpretación mediría la variación angular del extremo del resorte respecto de su posición de equilibrio. Entonce visto así la consideración de signos es correcta.

Entonces si no interpretado mal, \( \theta\geq{}0\, \forall{}t \) , entendiendo que el resorte no se puede comprimir una cantidad negativa (por razones físicas)

También era previsible en cierta medida tu ecuación , desde el punto de vista de un S.R. no inercial:
Cita de: delmar
Poniendo en la forma adecuada :

\( \theta''+(\frac{k}{m}) \ \theta=(\frac{\pi k}{2m}-\gamma) \)

Esto se puede resolver es la suma de la solución homogénea y una solución particular, considerando las condiciones iniciales :

\( \theta(0)=\theta_0=\frac{\pi}{2} \)

\( \theta'(0)=\Omega_0 \) tiene la misma velocidad angular, que el aro.

Ya que la fuerza de inercia que experimenta la bola debida al giro del aro que es constante, desde un S.R.no I.  sería aproximadamente equivalente a si colgamos verticalmente del resorte una masa que haga la misma función que la fuerza de inercia.

 Es decir un observador situado en el extremo fijo del resorte  (girando con este ) vería el "mismo" efecto que si se colgara de repente una masa  de un muelle verticalmente ( salvo la curvatura circular del muelle) , observaría un oscilador armónico.

Saludos.
Título: Re: Sistemas no inerciales rotantes.
Publicado por: delmar en 19 Octubre, 2020, 09:01 pm
Continuando con el análisis utilizando una referencial inercial para resolver el problema.

La ecuación es :

\( \theta''+(\frac{k}{m}) \ \theta=(\frac{\pi k}{2m}-\gamma) \) con las condiciones iniciales

\( \theta(0)=\frac{\pi}{2} \)

\( \theta'(0)=\Omega_0 \)

Resolviendo :

\( d=0^2-4(\frac{k}{m})=\frac{-4k}{m}<0 \) esto implica la solución general homogénea :

\( \theta_h(t)=c_1cos At+c_2 sen At \)

Donde \( A=\sqrt[ ]{\frac{k}{m}} \)

La solución particular, por el método del wronskiano,  \( \theta_p(t)=v_1(t)cos At+v_2(t)sen At \) donde \( v_1,v_2 \) son funciones a determinar a partir de la siguiente ecuación :

\( V'(t)=R(t)W^{-1}(t)\begin{pmatrix}{0}\\{1}\end{pmatrix} \) donde \( R(t)=(\frac{\pi k}{2m}-\gamma), \ \ V'(t)=\begin{pmatrix}{v_1'(t)}\\{v_2'(t)}\end{pmatrix}, \ W=\begin{pmatrix}{u_1}&{u_2}\\{u'_1}&{u'_2}\end{pmatrix} \), donde \( u_1=cos At, \ \ u_2=sen At \)

Denominando \( F=(\frac{\pi k}{2m}-\gamma) \) las soluciones son :

\( v'_1(t)=\frac{-FsenAt}{A}\Rightarrow{v_1(t)=\frac{Fcos At}{A^2}} \)

\( v'_2(t)=\frac{Fcos At}{A}\Rightarrow{v_2(t)=\frac{Fsen At}{A^2}} \)

La solución particular será :

\( \theta_p(t)=\frac{Fcos^2 At}{A^2}+\frac{Fsen^2 At}{A^2} \)


Luego la solución general de la ecuación real es decir la no homonénea es :

\( \theta(t)=\frac{Fcos^2 At}{A^2}+\frac{Fsen^2 At}{A^2}+c_1cos At+c_2 sen At \)

Las condiciones iniciales :

\( \theta(0)=\frac{\pi}{2} \)

\( \theta'(0)=\Omega_0 \)

Permiten hallar las constantes desconocidas \( c_1,c_2 \)

Saludos


Hola:
Continuando con el análisis del problema, utilizando una referencia inercial XY, y  considerando que el aro  rota en un plano horizontal, paralelo a tierra. El esquema es el mismo, ahí se indica el sentido de rotación del aro, considerándolo positivo ; se esta suponiendo que \( \psi \) es el ángulo determinado por el extremo del resorte fijo al aro y \( \theta \) el ángulo determinado por el extremo móvil del resorte y el extremo fijo del resorte (arco que abraza el resorte), es obvio que el extremo móvil coincide con la bolita, los sentidos positivos de ambos ángulos estan mostrados en el esquema; en esas condiciones \( \psi \) es un ángulo respecto a la referencia inercial; mientras que \( \theta \) es un ángulo respecto a la referencia solidaria al aro; por ello la obtención de \( \theta(t) \) es la solución que se pide, aún cuando este dentro de  un análisis con referencia inercial, en esas circunstancias es válido, no entiendo bien la observación de robinlambada, en otras palabras \( \vec{r(t)} \) y \( \psi' \) son lo que he puesto  :


Hemos interpretado de forma diferente como se mide el ángulo \( \theta \), tu lo mides como la amplitud angular del resorte, y yo pensé que lo medias  desde la posición de equilibrio del resorte hasta el extremo unido a la masa, es decir que \( \theta \) , según mi interpretación mediría la variación angular del extremo del resorte respecto de su posición de equilibrio. Entonce visto así la consideración de signos es correcta.

Entonces si no interpretado mal, \( \theta\geq{}0\, \forall{}t \) , entendiendo que el resorte no se puede comprimir una cantidad negativa (por razones físicas)

También era previsible en cierta medida tu ecuación , desde el punto de vista de un S.R. no inercial:
Cita de: delmar
Poniendo en la forma adecuada :

\( \theta''+(\frac{k}{m}) \ \theta=(\frac{\pi k}{2m}-\gamma) \)

Esto se puede resolver es la suma de la solución homogénea y una solución particular, considerando las condiciones iniciales :

\( \theta(0)=\theta_0=\frac{\pi}{2} \)

\( \theta'(0)=\Omega_0 \) tiene la misma velocidad angular, que el aro.

Ya que la fuerza de inercia que experimenta la bola debida al giro del aro que es constante, desde un S.R.no I.  sería aproximadamente equivalente a si colgamos verticalmente del resorte una masa que haga la misma función que la fuerza de inercia.

 Es decir un observador situado en el extremo fijo del resorte  (girando con este ) vería el "mismo" efecto que si se colgara de repente una masa  de un muelle verticalmente ( salvo la curvatura circular del muelle) , observaría un oscilador armónico.

Saludos.

robinlambada la confusión viene de interpretar de manera diferente los términos, es muy acertada la observación marcada en azul.

Un saludo