[jorge_nunez]

Continuando con el análisis del problema, utilizando una referencia inercial XY, y  considerando que el aro  rota en un plano horizontal, paralelo a tierra. El esquema es el mismo, ahí se indica el sentido de rotación del aro, considerándolo positivo ; se esta suponiendo que \( \psi \) es el ángulo determinado por el extremo del resorte fijo al aro y \( \theta \) el ángulo determinado por el extremo móvil del resorte y el extremo fijo del resorte (arco que abraza el resorte), es obvio que el extremo móvil coincide con la bolita, los sentidos positivos de ambos ángulos estan mostrados en el esquema; en esas condiciones \( \psi \) es un ángulo respecto a la referencia inercial; mientras que \( \theta \) es un ángulo respecto a la referencia solidaria al aro; por ello la obtención de \( \theta(t) \) es la solución que se pide, aún cuando este dentro de  un análisis con referencia inercial, en esas circunstancias es válido, no entiendo bien la observación de robinlambada, en otras palabras \( \vec{r(t)} \) y \( \psi' \) son lo que he puesto  :

Hola

Las leyes de Newton, son válidas en las referencias inerciales, entiendo que bajo ciertas circunstancias se utilizan las referencias móviles. Un análisis para referencias inerciales lo muestro, adjunto un esquema :



La referencia XY es inercial, solidaria a la tierra.Hay un extremo del resorte solidario al aro y forma un ángulo \( \psi \) con la parte positiva del eje Y, la velocidad angular de su radio vector es igual a la velocidad angular del aro \( \psi'=\Omega \)
; mientras el resorte abraza un arco \( \theta \), en consecuencia la posición de la bolita queda determinada por el ángulo \( \psi+\theta \), su vector posición para un t genérico será :

\( \vec{r(t)}=rsen(\psi+\theta)\vec{i}+rcos(\psi+\theta)\vec{j} \)

La velocidad, considerando \( \psi'=\Omega \)

\( \vec{r'(t)}=rcos(\psi+\theta)(\Omega+\theta')\vec{i}-rsen(\psi+\theta)(\Omega+\theta')\vec{j} \)

Su aceleración

\( \vec{r''(t)}=r(-sen(\psi+\theta)(\Omega+\theta')^2+cos(\psi+\theta)(\gamma+\theta''))\vec{i}-r(cos(\psi+\theta)(\Omega+\theta')^2+sen(\psi+\theta)(\gamma+\theta''))\vec{j} \)

Por otro lado la suma de fuerzas (elástica y normal) será :

\( \vec{F}=N(sen(\psi+\theta)\vec{i}+cos(\psi+\theta)\vec{j})+k(l_0-r \theta)(cos(\psi+\theta)\vec{i}-sen(\psi+\theta)\vec{j}) \)

Aplicando la 2da Ley de Newton

\( \vec{F}=m\vec{r''(t)} \)

Continuando :

Dirección x

\( Nsen(\psi+\theta)+k(l_0-r \theta)cos(\psi+\theta)=mr \ (-sen(\psi+\theta)(\Omega+\theta')^2+cos(\psi+\theta)(\gamma+\theta'')) \) Ec. 1

Dirección y

\( Ncos(\psi+\theta)-k(l_0-r \theta)sen(\psi+\theta)=-mr \ (cos(\psi+\theta)(\Omega+\theta')^2+sen(\psi+\theta)(\gamma+\theta'')) \) Ec. 2

Multiplicando la Ec. 1 por \( cos(\psi+\theta) \) y la Ec. 2 por \( -sen(\psi+\theta) \) y sumando ambas ecuaciones se tiene :

\( k(l_0-r \theta)=mr(\gamma+\theta'') \)

Poniendo en la forma adecuada :

\( \theta''+(\frac{k}{m}) \ \theta=(\frac{\pi k}{2m}-\gamma) \)

Esto se puede resolver es la suma de la solución homogénea y una solución particular, considerando las condiciones iniciales :

\( \theta(0)=\theta_0=\frac{\pi}{2} \)

\( \theta'(0)=\Omega_0 \) tiene la misma velocidad angular, que el aro.

Terminaré de desarrollar el problema el lunes si Dios quiere.

Saludos

Nota 1: El sentido de rotación del aro, se ha considerado positivo, esto no es lo que usualmente se considera (positivo sentido antihorario) pero teniendo esta consideración los resultados son objetivos,

Entiendo, pero el enunciado pide hacerlo desde un sistema de referencia no inercial desde el aro. Por conveniencia, y como no especifican qué parte del aro, tomo el centro del mismo.

Por otra parte, tenes razón que suelen tomar sentido antihorario. De hecho, lo hacen, pero en principio me confundí yo. En realidad, ES antihorario y en la última resolución que intenté lo tomé así.

[jorge_nunez]

En resumidas cuentas la diferencia entre resolver con fuerzas ficticias  en un SRnI  y sin ellas en un SRI es un simple pasaje de términos, y en interpretarlos correctamente a cada uno.

Sisi. El profesor nos dice lo mismo. Cada sistema tiene sus complicaciones, pero el no inercial tiene una complicación conceptual que lo hace más difícil. La idea es que aprendamos cuando nos conviene uno y cuando otro.

[robinlambada]

Hola:

Continuando con el análisis del problema, utilizando una referencia inercial XY, y  considerando que el aro  rota en un plano horizontal, paralelo a tierra. El esquema es el mismo, ahí se indica el sentido de rotación del aro, considerándolo positivo ; se esta suponiendo que \( \psi \) es el ángulo determinado por el extremo del resorte fijo al aro y \( \theta \) el ángulo determinado por el extremo móvil del resorte y el extremo fijo del resorte (arco que abraza el resorte), es obvio que el extremo móvil coincide con la bolita, los sentidos positivos de ambos ángulos estan mostrados en el esquema; en esas condiciones \( \psi \) es un ángulo respecto a la referencia inercial; mientras que \( \theta \) es un ángulo respecto a la referencia solidaria al aro; por ello la obtención de \( \theta(t) \) es la solución que se pide, aún cuando este dentro de  un análisis con referencia inercial, en esas circunstancias es válido, no entiendo bien la observación de robinlambada, en otras palabras \( \vec{r(t)} \) y \( \psi' \) son lo que he puesto  :

Hemos interpretado de forma diferente como se mide el ángulo \( \theta \), tu lo mides como la amplitud angular del resorte, y yo pensé que lo medias  desde la posición de equilibrio del resorte hasta el extremo unido a la masa, es decir que \( \theta \) , según mi interpretación mediría la variación angular del extremo del resorte respecto de su posición de equilibrio. Entonce visto así la consideración de signos es correcta.

Entonces si no interpretado mal, \( \theta\geq{}0\, \forall{}t \) , entendiendo que el resorte no se puede comprimir una cantidad negativa (por razones físicas)

También era previsible en cierta medida tu ecuación , desde el punto de vista de un S.R. no inercial:

Poniendo en la forma adecuada :

\( \theta''+(\frac{k}{m}) \ \theta=(\frac{\pi k}{2m}-\gamma) \)

Esto se puede resolver es la suma de la solución homogénea y una solución particular, considerando las condiciones iniciales :

\( \theta(0)=\theta_0=\frac{\pi}{2} \)

\( \theta'(0)=\Omega_0 \) tiene la misma velocidad angular, que el aro.

Ya que la fuerza de inercia que experimenta la bola debida al giro del aro que es constante, desde un S.R.no I.  sería aproximadamente equivalente a si colgamos verticalmente del resorte una masa que haga la misma función que la fuerza de inercia.

 Es decir un observador situado en el extremo fijo del resorte  (girando con este ) vería el "mismo" efecto que si se colgara de repente una masa  de un muelle verticalmente ( salvo la curvatura circular del muelle) , observaría un oscilador armónico.

Saludos.

[delmar]

Continuando con el análisis utilizando una referencial inercial para resolver el problema.

La ecuación es :

\( \theta''+(\frac{k}{m}) \ \theta=(\frac{\pi k}{2m}-\gamma) \) con las condiciones iniciales

\( \theta(0)=\frac{\pi}{2} \)

\( \theta'(0)=\Omega_0 \)

Resolviendo :

\( d=0^2-4(\frac{k}{m})=\frac{-4k}{m}<0 \) esto implica la solución general homogénea :

\( \theta_h(t)=c_1cos At+c_2 sen At \)

Donde \( A=\sqrt[ ]{\frac{k}{m}} \)

La solución particular, por el método del wronskiano,  \( \theta_p(t)=v_1(t)cos At+v_2(t)sen At \) donde \( v_1,v_2 \) son funciones a determinar a partir de la siguiente ecuación :

\( V'(t)=R(t)W^{-1}(t)\begin{pmatrix}{0}\\{1}\end{pmatrix} \) donde \( R(t)=(\frac{\pi k}{2m}-\gamma), \ \ V'(t)=\begin{pmatrix}{v_1'(t)}\\{v_2'(t)}\end{pmatrix}, \ W=\begin{pmatrix}{u_1}&{u_2}\\{u'_1}&{u'_2}\end{pmatrix} \), donde \( u_1=cos At, \ \ u_2=sen At \)

Denominando \( F=(\frac{\pi k}{2m}-\gamma) \) las soluciones son :

\( v'_1(t)=\frac{-FsenAt}{A}\Rightarrow{v_1(t)=\frac{Fcos At}{A^2}} \)

\( v'_2(t)=\frac{Fcos At}{A}\Rightarrow{v_2(t)=\frac{Fsen At}{A^2}} \)

La solución particular será :

\( \theta_p(t)=\frac{Fcos^2 At}{A^2}+\frac{Fsen^2 At}{A^2} \)


Luego la solución general de la ecuación real es decir la no homonénea es :

\( \theta(t)=\frac{Fcos^2 At}{A^2}+\frac{Fsen^2 At}{A^2}+c_1cos At+c_2 sen At \)

Las condiciones iniciales :

\( \theta(0)=\frac{\pi}{2} \)

\( \theta'(0)=\Omega_0 \)

Permiten hallar las constantes desconocidas \( c_1,c_2 \)

Saludos

Hola:

Continuando con el análisis del problema, utilizando una referencia inercial XY, y  considerando que el aro  rota en un plano horizontal, paralelo a tierra. El esquema es el mismo, ahí se indica el sentido de rotación del aro, considerándolo positivo ; se esta suponiendo que \( \psi \) es el ángulo determinado por el extremo del resorte fijo al aro y \( \theta \) el ángulo determinado por el extremo móvil del resorte y el extremo fijo del resorte (arco que abraza el resorte), es obvio que el extremo móvil coincide con la bolita, los sentidos positivos de ambos ángulos estan mostrados en el esquema; en esas condiciones \( \psi \) es un ángulo respecto a la referencia inercial; mientras que \( \theta \) es un ángulo respecto a la referencia solidaria al aro; por ello la obtención de \( \theta(t) \) es la solución que se pide, aún cuando este dentro de  un análisis con referencia inercial, en esas circunstancias es válido, no entiendo bien la observación de robinlambada, en otras palabras \( \vec{r(t)} \) y \( \psi' \) son lo que he puesto  :

Hemos interpretado de forma diferente como se mide el ángulo \( \theta \), tu lo mides como la amplitud angular del resorte, y yo pensé que lo medias  desde la posición de equilibrio del resorte hasta el extremo unido a la masa, es decir que \( \theta \) , según mi interpretación mediría la variación angular del extremo del resorte respecto de su posición de equilibrio. Entonce visto así la consideración de signos es correcta.

Entonces si no interpretado mal, \( \theta\geq{}0\, \forall{}t \) , entendiendo que el resorte no se puede comprimir una cantidad negativa (por razones físicas)

También era previsible en cierta medida tu ecuación , desde el punto de vista de un S.R. no inercial:

Poniendo en la forma adecuada :

\( \theta''+(\frac{k}{m}) \ \theta=(\frac{\pi k}{2m}-\gamma) \)

Esto se puede resolver es la suma de la solución homogénea y una solución particular, considerando las condiciones iniciales :

\( \theta(0)=\theta_0=\frac{\pi}{2} \)

\( \theta'(0)=\Omega_0 \) tiene la misma velocidad angular, que el aro.

Ya que la fuerza de inercia que experimenta la bola debida al giro del aro que es constante, desde un S.R.no I.  sería aproximadamente equivalente a si colgamos verticalmente del resorte una masa que haga la misma función que la fuerza de inercia.

Es decir un observador situado en el extremo fijo del resorte  (girando con este ) vería el "mismo" efecto que si se colgara de repente una masa  de un muelle verticalmente ( salvo la curvatura circular del muelle) , observaría un oscilador armónico.

Saludos.

Sí robinlambada la confusión viene de interpretar de manera diferente los términos, es muy acertada la observación marcada en azul.

Un saludo