Hola
Hola me he encontrado con un ejercicio en el que hay que demostrar por inducción que la siguiente ecuación:
\(
\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}{}(-1)^k(2k+1) \)
es proporcional a \( n \). Mi duda en principio es ¿qué significa el superindice \( 2n \)?Estoy acostumbrado a ver \( n \) pero si \( 2n \) es un numero también¿Por qué ponerlo?
No entiendo del todo la duda. En general cuando uno escribe para \( a<b \) enteros:
\( \displaystyle\sum_{k=a}^{b}{}f(k) \)
quieres decir que el índice \( k \) recorre todos los valores enteros entre \( a \) y \( b \), sumando el valor de \( f(k) \) en todos ellos. Es decir:
\( \displaystyle\sum_{k=a}^{b}{}f(k)=f(a)+f(a+1)+f(a+2)+\ldots+f(b) \)
En tu caso:
\( \displaystyle\sum_{k=1}^{2n}{}(-1)^k(2k+1)=(-1)^1(2\cdot 1+1)+\color{red}(-1)^2(2\cdot 2+1)+(-1)^3(2\cdot 3+1)+\ldots+(-1)^{2n}(2\cdot (2n)+1)\color{black} \)
Por ejemplo:
- Para \( n=1 \) queda:
\( \displaystyle\sum_{k=1}^{2}{}(-1)^k(2k+1)=(-1)^1(2\cdot 1+1)+(-1)^2(2\cdot 2+1)=-3+5=2 \)
- Para \( n=2 \) queda:
\( \displaystyle\sum_{k=1}^{4}{}(-1)^k(2k+1)=(-1)^1(2\cdot 1+1)+(-1)^2(2\cdot 2+1)+(-1)^3(2\cdot 3+1)+(-1)^4(2\cdot 4+1)=-3+5-7+9=4 \)
...
Saludos.
CORREGIDO (gracias manooooh)
