Autor Tema: Duda con la notación del símbolo sumatorio

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31 Julio, 2020, 04:56 pm
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Mariomarquez

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi$$
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Hola me he encontrado con un ejercicio en el que hay que demostrar por inducción que la siguiente ecuación:
\(
\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}{}(-1)^k(2k+1) \)

es proporcional a \( n \). Mi duda en principio es ¿qué significa el superindice \( 2n \)?Estoy acostumbrado a ver \( n \) pero si \( 2n \) es un numero también¿Por qué ponerlo?

Un saludo.

31 Julio, 2020, 05:08 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola me he encontrado con un ejercicio en el que hay que demostrar por inducción que la siguiente ecuación:
\(
\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}{}(-1)^k(2k+1) \)

es proporcional a \( n \). Mi duda en principio es ¿qué significa el superindice \( 2n \)?Estoy acostumbrado a ver \( n \) pero si \( 2n \) es un numero también¿Por qué ponerlo?

No entiendo del todo la duda. En general cuando uno escribe para \( a<b \) enteros:

\( \displaystyle\sum_{k=a}^{b}{}f(k) \)

quieres decir que el índice \( k \) recorre todos los valores enteros entre \( a \) y \( b \), sumando el valor de \( f(k) \) en todos ellos. Es decir:

\( \displaystyle\sum_{k=a}^{b}{}f(k)=f(a)+f(a+1)+f(a+2)+\ldots+f(b) \)

En tu caso:

\( \displaystyle\sum_{k=1}^{2n}{}(-1)^k(2k+1)=(-1)^1(2\cdot 1+1)+\color{red}(-1)^2(2\cdot 2+1)+(-1)^3(2\cdot 3+1)+\ldots+(-1)^{2n}(2\cdot (2n)+1)\color{black} \)

Por ejemplo:

- Para \( n=1 \) queda:

\( \displaystyle\sum_{k=1}^{2}{}(-1)^k(2k+1)=(-1)^1(2\cdot 1+1)+(-1)^2(2\cdot 2+1)=-3+5=2 \)

- Para \( n=2 \) queda:

\( \displaystyle\sum_{k=1}^{4}{}(-1)^k(2k+1)=(-1)^1(2\cdot 1+1)+(-1)^2(2\cdot 2+1)+(-1)^3(2\cdot 3+1)+(-1)^4(2\cdot 4+1)=-3+5-7+9=4 \)

...

Saludos.

CORREGIDO (gracias manooooh)

31 Julio, 2020, 05:09 pm
Respuesta #2

Masacroso

  • Moderador Global
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Hola me he encontrado con un ejercicio en el que hay que demostrar por inducción que la siguiente ecuación:
\(
\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}{}(-1)^k(2k+1) \)

es proporcional a \( n \). Mi duda en principio es ¿qué significa el superindice \( 2n \)?Estoy acostumbrado a ver \( n \) pero si \( 2n \) es un numero también¿Por qué ponerlo?

Un saludo.

Puede ser porque la relación sólo se cumple cuando el número de sumandos es par, de ahí lo de \( 2n \).

31 Julio, 2020, 11:26 pm
Respuesta #3

manooooh

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Hola Luis

Creo que tienes una pequeña errata al expandir la sumatoria:

En tu caso:

\( \displaystyle\sum_{k=1}^{2n}{}(-1)^k(2k+1)=(-1)^1(2\cdot 1+1)+\color{red}(-1)^2+(2\cdot 2+1)\color{black}+\color{red}(-1)^3+(2\cdot 3+1)\color{black}+\ldots+(-1)^{2n}(2\cdot (2n)+1) \)

Las sumas en rojo deberían ser productos.

Saludos

01 Agosto, 2020, 05:40 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Las sumas en rojo deberían ser productos.

¡Gracias! Ya lo he corregido.

Saludos.