Rincón Matemático

Matemática => Matemáticas Generales => Mensaje iniciado por: Mariomarquez en 31 Julio, 2020, 04:56 pm

Título: Duda con la notación del símbolo sumatorio
Publicado por: Mariomarquez en 31 Julio, 2020, 04:56 pm
Hola me he encontrado con un ejercicio en el que hay que demostrar por inducción que la siguiente ecuación:
\(
\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}{}(-1)^k(2k+1) \)

es proporcional a \( n \). Mi duda en principio es ¿qué significa el superindice \( 2n \)?Estoy acostumbrado a ver \( n \) pero si \( 2n \) es un numero también¿Por qué ponerlo?

Un saludo.
Título: Re: Duda con la notación del símbolo sumatorio
Publicado por: Luis Fuentes en 31 Julio, 2020, 05:08 pm
Hola

Hola me he encontrado con un ejercicio en el que hay que demostrar por inducción que la siguiente ecuación:
\(
\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}{}(-1)^k(2k+1) \)

es proporcional a \( n \). Mi duda en principio es ¿qué significa el superindice \( 2n \)?Estoy acostumbrado a ver \( n \) pero si \( 2n \) es un numero también¿Por qué ponerlo?

No entiendo del todo la duda. En general cuando uno escribe para \( a<b \) enteros:

\( \displaystyle\sum_{k=a}^{b}{}f(k) \)

quieres decir que el índice \( k \) recorre todos los valores enteros entre \( a \) y \( b \), sumando el valor de \( f(k) \) en todos ellos. Es decir:

\( \displaystyle\sum_{k=a}^{b}{}f(k)=f(a)+f(a+1)+f(a+2)+\ldots+f(b) \)

En tu caso:

\( \displaystyle\sum_{k=1}^{2n}{}(-1)^k(2k+1)=(-1)^1(2\cdot 1+1)+\color{red}(-1)^2(2\cdot 2+1)+(-1)^3(2\cdot 3+1)+\ldots+(-1)^{2n}(2\cdot (2n)+1)\color{black} \)

Por ejemplo:

- Para \( n=1 \) queda:

\( \displaystyle\sum_{k=1}^{2}{}(-1)^k(2k+1)=(-1)^1(2\cdot 1+1)+(-1)^2(2\cdot 2+1)=-3+5=2 \)

- Para \( n=2 \) queda:

\( \displaystyle\sum_{k=1}^{4}{}(-1)^k(2k+1)=(-1)^1(2\cdot 1+1)+(-1)^2(2\cdot 2+1)+(-1)^3(2\cdot 3+1)+(-1)^4(2\cdot 4+1)=-3+5-7+9=4 \)

...

Saludos.

CORREGIDO (gracias manooooh)
Título: Re: Duda con la notación del símbolo sumatorio
Publicado por: Masacroso en 31 Julio, 2020, 05:09 pm
Hola me he encontrado con un ejercicio en el que hay que demostrar por inducción que la siguiente ecuación:
\(
\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}{}(-1)^k(2k+1) \)

es proporcional a \( n \). Mi duda en principio es ¿qué significa el superindice \( 2n \)?Estoy acostumbrado a ver \( n \) pero si \( 2n \) es un numero también¿Por qué ponerlo?

Un saludo.

Puede ser porque la relación sólo se cumple cuando el número de sumandos es par, de ahí lo de \( 2n \).
Título: Re: Duda con la notación del símbolo sumatorio
Publicado por: manooooh en 31 Julio, 2020, 11:26 pm
Hola Luis

Creo que tienes una pequeña errata al expandir la sumatoria:

En tu caso:

\( \displaystyle\sum_{k=1}^{2n}{}(-1)^k(2k+1)=(-1)^1(2\cdot 1+1)+\color{red}(-1)^2+(2\cdot 2+1)\color{black}+\color{red}(-1)^3+(2\cdot 3+1)\color{black}+\ldots+(-1)^{2n}(2\cdot (2n)+1) \)

Las sumas en rojo deberían ser productos.

Saludos
Título: Re: Duda con la notación del símbolo sumatorio
Publicado por: Luis Fuentes en 01 Agosto, 2020, 05:40 pm
Hola

Las sumas en rojo deberían ser productos.

¡Gracias! Ya lo he corregido.

Saludos.